1．理解并掌握一元二次方程根的判別式，能運用判別式，在不解方程的前提下判斷一元二次方程根的情況；(重點、難點)


2．通過一元二次方程根的情況的探究過程，體會從特殊到一般、猜想及分類討論的數(shù)學思想，提高觀察、分析、歸納的能力．





一、情境導入


1．你能說出我們共學過哪幾種解一元二次方程的方法嗎？


2．能力展示：分組比賽解方程．


(1)x2＋4＝4x；


(2)x2＋2x＝3；


(3)x2－x＋2＝0.


3．發(fā)現(xiàn)問題


觀察上面三個方程的根的情況，你有什么發(fā)現(xiàn)？


二、合作探究


探究點：一元二次方程根的判別式


【類型一】 利用根的判別式判斷一元二次方程根的情況


已知一元二次方程x2＋x＝1，下列判斷正確的是( )


A．該方程有兩個相等的實數(shù)根


B．該方程有兩個不相等的實數(shù)根


C．該方程無實數(shù)根


D．該方程根的情況不確定


解析：原方程變形為x2＋x－1＝0.∵b2－4ac＝1－4×1×(－1)＝5＞0，∴該方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選B.


方法總結：判斷一元二次方程根的情況的方法：利用根的判別式判斷一元二次方程根的情況時，要先把方程轉化為一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．當b2－4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當b2－4ac＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當b2－4ac＜0時，方程無實數(shù)根．


【類型二】 根據(jù)一元二次方程根的情況確定字母的取值范圍


若關于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是( )


A．k>－1 B．k>－1且k≠0


C．k0，,k≠0，))解得k>－1且k≠0.故選B.


易錯提醒：利用b2－4ac判斷一元二次方程根的情況時，容易忽略二次項系數(shù)不能等于0這一條件，本題容易誤選A.


【類型三】 一元二次方程根的判別式與三角形的綜合


已知a，b，c分別是△ABC的三邊長，求證：關于x的方程b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2＝0沒有實數(shù)根．


解析：欲證一元二次方程沒有實數(shù)根，只需證明它的判別式Δc，a＋c>b，b＋c>a.


證明：∵b為三角形一邊的長，∴b≠0，∴b2≠0，∴b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2＝0是關于x的一元二次方程．∴Δ＝(b2＋c2－a2)2－4b2c2＝(b2＋c2－a2＋2bc)(b2＋c2－a2－2bc)＝[(b＋c)2－a2][(b－c)2－a2]＝(b＋c＋a)(b＋c－a)(b－c＋a)(b－c－a)＝(a＋b＋c)[(b＋c)－a][(a＋b)－c][b－(a＋c)]．∵a，b，c是三角形三條邊的長，∴a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c>0，a＋b>c，b＋c>a，a＋c>b.∴(b＋c)－a>0，(a＋b)－c>0，b－(a＋c)

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17.3 一元二次方程的根的判別式

版本： 滬科版

年級： 八年級下冊

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