參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題）
1．（2019秋?長寧區(qū)期末）設(shè)θ為兩個非零向量、的夾角，已知當實數(shù)t變化時的最小值為2，則（　?。?br /> A．若θ確定，則唯一確定 B．若θ確定，則唯一確定
C．若確定，則θ唯一確定 D．若確定，則θ唯一確定
【解答】解：令f（t）22tt2；
∴△＝4（?）2﹣4?4?（cosθ﹣1）≤0恒成立，
當且僅當tcosθ時，f（t）取得最小值2，
∴（cosθ）22（cosθ）??2，
化簡 sin2θ＝2．
∴θ確定，則||唯一確定
故選：A．
2．（2020春?常州期中）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對邊分別為a、b、c，若，則∠B的大小是（　?。?br /> A． B． C． D．
【解答】解：由正弦定理可知，a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，（R為三角形外接圓半徑），
因為，
所以，，且A，B，C都為銳角，
所以，
所以﹣tanB＝tan（A+C），
整理可得，tan2B＝3，
故tanB，B．
故選：D．
3．（2019?西湖區(qū)校級模擬）如圖，O是坐標原點，M，N是單位圓上的兩點，且分別在第一和第三象限，則||的范圍為（　?。?br />
A．[0，） B．[0，2） C．[1，） D．[1，2）
【解答】解：可設(shè)M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），且0＜α，π＜β，
則||
，
由0＜α，π＜β，可得α﹣β，
即有cos（α﹣β）∈[﹣1，0），則||的范圍為[0，），
故選：A．
4．（2020?福建二模）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且（2b﹣c）cosA＝acosC，b＝2，若邊BC的中線等于3，則△ABC的面積為（　?。?br /> A．9 B． C．3 D．
【解答】解：由題意得，（2b﹣c）cosA＝acosC，
根據(jù)正弦定理得，（2sinB﹣sinC）cosA＝sinAcosC，
2sinBcosA＝sinAcosC+cosAsinC，
2sinBcosA＝sin（A+C），①
因為A+B+C＝180°，所以A+C＝180°﹣B，則sinB＝sin（A+C），
代入①得，cosA，
由0°＜A＜180°，得，A＝60°，
∵b＝2，若如圖邊BC的中線AD等于3，
∴2，兩邊平方可得：4222+2，可得4×32＝c2+12+2，整理可得c2+2c﹣24＝0，解得c＝2，或﹣4（舍去），
∴S△ABCbcsinA3．
故選：C．

5．（2020?大同模擬）在△ABC中，點P滿足，過點P的直線與AB，AC所在的直線分別交于點M，N，若，（λ＞0，μ＞0），則λ+μ的最小值為（　?。?br />
A． B． C． D．
【解答】解：∵△ABC中，，
點P滿足，∴∴
∵，（λ＞0，μ＞0），
∴
因為B，P，C三點共線，所以，，λ＞0，μ＞0
∴λ+μ＝（λ+μ）（）＝11
當且僅當μλ時取“＝”，則λ+μ的最小值為
故選：B．
6．（2020?麒麟?yún)^(qū)校級一模）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an+1＝an+a（n∈N*，a為常數(shù)），若平面內(nèi)的三個不共線的非零向量，，滿足，A，B，C三點共線且該直線不過O點，則S2010等于（　?。?br /> A．1005 B．1006 C．2010 D．2012
【解答】解：由an+1＝an+a得，an+1﹣an＝a；
∴{an}為等差數(shù)列；
由，所以A，B，C三點共線；
∴a1005+a1006＝a1+a2010＝1，
∴S20102010＝1005．
故選：A．
7．（2020?深圳模擬）著名數(shù)學家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱為歐拉線定理．設(shè)點O，H分別是△ABC的外心、垂心，且M為BC中點，則（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：如圖所示的Rt△ABC，其中角B為直角，則垂心H與B重合，

∵O為△ABC的外心，∴OA＝OC，即O為斜邊AC的中點，
又∵M為BC中點，∴，
∵M為BC中點，∴．
故選：D．
8．（2020?浙江模擬）若AB＝4，，平面內(nèi)一點P，滿足，sin∠PAB的最大值是（　?。?br /> A． B． C． D．
【解答】解：由向量關(guān)系A(chǔ)B＝4，，平面內(nèi)一點P，滿足，
可得PC是∠APB角平分線，∴PA＝3PB，
構(gòu)造阿波羅尼斯圓，A（﹣2，0），B（2，0），
設(shè)P（x，y），則：3，解得圓的方程為：（x）2+y2．圓的圓心坐標，半徑為
AP為圓Q切線時，∠PAB最大，sin∠PAB，
故選：C．

二．多選題（共4小題）
9．（2020春?濰坊月考）設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點，，則（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：顯然 成立，C對，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，D對，
∴，A錯，
∴，B錯，
故選：CD．
10．（2020春?如東縣校級月考）下列命題中，正確的是（　?。?br /> A．在△ABC中，A＞B，∴sinA＞sinB
B．在銳角△ABC中，不等式sinA＞cosB恒成立
C．在△ABC中，若acosA＝bcosB，則△ABC必是等腰直角三角形
D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，則△ABC必是等邊三角形
【解答】解：對于A，由A＞B，可得：a＞b，利用正弦定理可得：sinA＞sinB，正確；
對于B，在銳角△ABC中，A，B∈（0，），∵A+B，∴AB＞0，∴sinA＞sin（B）＝cosB，因此不等式sinA＞cosB恒成立，正確
對于C，在△ABC中，由acosA＝bcosB，利用正弦定理可得：sinAcosA＝sinBcosB，
∴sin2A＝sin2B，
∵A，B∈（0，π），
∴2A＝2B或2A＝2π﹣2B，
∴A＝B或，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，因此是假命題，C錯誤．
對于D，由于B＝600，b2＝ac，由余弦定理可得：b2＝ac＝a2+c2﹣ac，可得（a﹣c）2＝0，解得a＝c，可得A＝C＝B＝60°，故正確．
故選：ABD．
11．（2019秋?德城區(qū)校級月考）已知，是兩個單位向量，λ∈R時，|λ|的最小值為，則下列結(jié)論正確的是（　　）
A．，的夾角是
B．，的夾角是或
C．|＝1或
D．1或
【解答】解：∵，是兩個單位向量，且的最小值為，
∴的最小值為，
∴，
∴與的夾角為或，
∴或3，
∴或．
故選：BC．
12．（2019春?煙臺期末）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且（a+b）：（a+c）：（b+c）＝9：10：11，則下
列結(jié)論正確的是（　?。?br /> A．sinA：sinB：sinC＝4：5：6
B．△ABC是鈍角三角形
C．△ABC的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍
D．若c＝6，則△ABC外接圓半徑為
【解答】解：（a+b）：（a+c）：（b+c）＝9：10：11，可設(shè)a+b＝9t，a+c＝10t，b+c＝11t，
解得a＝4t，b＝5t，c＝6t，t＞0，
可得sinA：sinB：sinC＝a：b：c＝4：5：6，故A正確；
由c為最大邊，可得cosC0，即C為銳角，故B錯誤；
由cosA，由cos2A＝2cos2A﹣1＝21cosC，
由2A，C∈（0，π），可得2A＝C，故C正確；
若c＝6，可得2R，△ABC外接圓半徑為，故D正確．
故選：ACD．
三．填空題（共4小題）
13．（2020?和平區(qū)三模）如圖，在四邊形ABCD中，已知AB＝2，CD與以AB為直徑的半圓O相切于點D，且BC∥AD，若1，則BD＝　1　；此時　?。?br />
【解答】解：設(shè)∠ODB＝∠DBA＝α，，則∠DAB，
∵BC∥AD，∴∠ABC＝π﹣∠DAB，
而∠ABC＝∠DBA+∠DBC＝α+∠DBC，∴∠DBC，即BD⊥BC，
∴2×（2cosα）×cos（π﹣α）+0＝﹣1，
∴，∴，即，
在Rt△ABD中，BD，AD，∠ADO，
∴．
故答案為：1；．
14．（2020?呼和浩特二模）如圖，某濕地為拓展旅游業(yè)務(wù)，現(xiàn)準備在濕地內(nèi)建造一個觀景臺P，已知射線AB，AC為濕地兩邊夾角為120°的公路（長度均超過2千米），在兩條公路AB，AC上分別設(shè)立游客接送點M，N，且AM＝AN＝2千米，若要求觀景臺P與兩接送點所成角∠MPN與∠BAC相等，記∠PMA＝α，觀景臺P到M，N建造的兩條觀光線路PM與PN之和記為y，則把y表示為α的函數(shù)為y＝　4sin（α+30°），其中30°＜α＜90°?。划攦膳_觀光線路之和最長時，觀景臺P到A點的距離PA＝　2　千米．

【解答】解：由余弦定理可得MN2＝AM2+AN2﹣2AM?ANcos120°＝4+4﹣2×2×2×（）＝12，
則MN＝2
∵∠MPN＝∠BAC＝120°，∠PMA＝α，
∴∠ANM＝∠AMN＝30°，
∴∠PMN＝α﹣30°，
∴∠PNM＝90﹣α，
由正弦定理可得4，
∴PM＝4sin（90°﹣α）＝4cosα，PN＝4sin（α﹣30°）＝2sinα﹣2cosα，
∴y＝PM+PN＝4cosα+2sinα﹣2cosα＝2sinα+2cosα＝4sin（α+30°），其中30°＜α＜90°，
∴60°＜α+30°＜120°，
∴sin（α+30°）≤1，
∴當α＝60°時，此時PM+PM的長度最長，
此時PM＝PN＝2，
∴PA＝2，
故答案為：4sin（α+30°），其中30°＜α＜90°，2．
15．（2020?浙江）設(shè)，為單位向量，滿足|2|，，3，設(shè)，的夾角為θ，則cos2θ的最小值為　　．
【解答】解：設(shè)、的夾角為α，由，為單位向量，滿足|2|，
所以44?4﹣4cosα+1≤2，
解得cosα；
又，3，且，的夾角為θ，
所以?34?4+4cosα，
2?2+2cosα，
9610+6cosα；
則cos2θ，
所以cosα時，cos2θ取得最小值為．
故答案為：．
16．（2020?江蘇）在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D在邊BC上，延長AD到P，使得AP＝9．若m（m）（m為常數(shù)），則CD的長度是　0或?。?br />
【解答】解：如圖，以A為坐標原點，分別以AB，AC所在直線為x，y軸建立平面直角坐標系，
則B（4，0），C（0，3），
由m（m），得，
整理得：
＝﹣2m（4，0）+（2m﹣3）（0，3）＝（﹣8m，6m﹣9）．
由AP＝9，得64m2+（6m﹣9）2＝81，解得m或m＝0．
當m＝0時，，此時C與D重合，|CD|＝0；
當m時，直線PA的方程為yx，
直線BC的方程為，
聯(lián)立兩直線方程可得xm，y＝3﹣2m．
即D（，），
∴|CD|．
∴CD的長度是0或．
故答案為：0或．

四．解答題（共5小題）
17．（2020?運城模擬）△ABC的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA﹣sinC（sinB﹣sinC）．
（1）求角A；
（2）從三個條件：①a＝3；②b＝3；③△ABC的面積為3中任選一個作為已知條件，求△ABC周長的取值范圍．
【解答】解：（1）因為，所以，
得b2+c2﹣a2＝bc，所以，因為A∈（0，π），所以．
（2）分三種情況求解：
選擇①a＝3，
因為，
由正弦定理得，
即△ABC的周長，
因為，所以，
即△ABC周長的取值范圍是（6，9]．
選擇②b＝3．
因為，
由正弦定理得，
即△ABC的周長，
因為，所以，所以，
即△ABC周長的取值范圍是（6，+∞）．
選擇③．
因為，得bc＝12，
由余弦定理得a2＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（b+c）2﹣36，
即△ABC的周長，
因為，當且僅當時等號成立，
所以．
即△ABC周長的取值范圍是．
18．（2020?江蘇四模）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知cosA．
（1）若△ABC的面積為3，求的值；
（2）設(shè)（2sin，1），（cosB，cos），且∥，求sin（B﹣2C）的值．
【解答】解：（1）因為cosA，所以sinA
則S△ABC||?||sinA||?||＝3，即||?||，
又cosA，所以 ；
（2）因為∥，所以2sincoscosB，即sinB＝cosB，所以B，
因為sinA，cosA，sinB＝cosB，
所以sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，
cosC＝﹣cos（A+B）＝﹣cosAcosB+sinAsinB，
則sin2C＝2sinCcosC＝2，cos2C＝2cos2﹣1＝21，
所以sin（B﹣2C）＝sinBcos2C﹣cosBsin2C（）．
19．（2020?武昌區(qū)模擬）已知△ABC中三個內(nèi)角A，B，C所對的邊為a，b，c，且B，b＝2．
（1）若c，求sinA的值；
（2）當取得最大值時，求A的值．
【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理得，則sinC，
因為b＞c，所以C，
則sinA＝sin（π﹣B﹣C）＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC；
（2）bacosC＝2acosC＝2cosC
sinA（A）
sinA（cosAsinA）
＝2sin（2A）
當且僅當2A，即A時取到最大值．
20．（2020春?麗水期末）已知向量（cosx+sinx，cosx），（cosx﹣sinx，﹣2sinx），記函數(shù)f（x）?．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在上的取值范圍；
（Ⅱ）若g（x）＝f（x+t）為偶函數(shù)，求|t|的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）﹣2sinxcosx
＝cos2x﹣sin2xsin2x
＝cos2xsin2x＝2cos（2x），
因為x∈[0，]，則，所以﹣1≤cos（2x），
則f（x）的取值范圍為[﹣2，1]；
（Ⅱ）若g（x）＝f（x+t）＝2cos（2x+2t）為偶函數(shù)，
則2tkπ（k∈Z），即t（k∈Z），
故|t|的最小值為．
21．（2020?泰安模擬）在①asinCC；②5ccosB+4b＝5a；③（2b﹣a）cosC＝ccosA，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，然后解答補充完整的題目．
在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．且滿足______．
（1）求sinC；
（2）已知a+b＝5，△ABC的外接圓半徑為，求△ABC的邊AB上的高h．
【解答】解：選擇條件①：
（1）因為，
所以由正弦定理得，
即，
故，
又A∈（0，π），故sinA≠0，
所以．
由．
所以，
（2）由正弦定理得，
由余弦定理得，
所以，
于是得△ABC的面積，
所以，
選擇條件②：
（1）因為5ccosB+4b＝5a，
由正弦定理得5sinCcosB+4sinB＝5sinA，
即5sinCcosB+4sinB＝5sin（B+C）＝5sinBcosC+5cosBsinC，
于是sinB（4﹣5cosC）＝0，
在△ABC中，sinB≠0，
所以，，
（2）由正弦定理得，
由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2abcosC，
所以，
于是得△ABC的面積，
所以，
選擇條件③：
（1）因為（2b﹣a）cosC＝ccosA，
所以由正弦定理得（2sinB﹣sinA）cosC＝sinCcosA，
所以2sinBcosC＝sin（A+C）＝sinB，
因為B∈（0，π），
所以，
又C∈（0，π），
所以，
所以．
（2）由正弦定理得，
由余弦定理得，
所以，
于是得△ABC的面積，
所以．

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