一．選擇題


1．等腰三角形一邊長等于5，一邊長等于9，則它的周長是（ ）


A．14B．23C．19D．19或23


2．在△ABC中，∠B＝30°，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，AD＝BD，DE＝CE，若△ADE為等腰三角形，則∠C的度數(shù)為（ ）


A．20°B．20°或30°C．30°或40°D．20°或40°


3．已知等腰三角形頂角的度數(shù)是30°，則底角的度數(shù)為（ ）


A．60°B．65°C．70°D．75°


4．如圖，△ABC中，以B為圓心，BC長為半徑畫弧，分別交AC、AB于D，E兩點(diǎn)，并連接BD，DE．若∠A＝30°，AB＝AC，則∠BDE的度數(shù)為何（ ）





A．45B．52.5C．67.5D．75


5．如圖，在△ABC中，∠A為鈍角，AB＝20cm，AC＝12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以3cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)以2cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)△APQ是等腰三角形時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是（ ）





A．2.5 sB．3 sC．3.5 sD．4 s


6．下列三角形：①三個(gè)角都等于60°；②有一個(gè)外角等于60°的等腰三角形；③三個(gè)外角（每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角）都相等的三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形，其中是等邊三角形的是（ ）


A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④


二．填空題


7．如圖，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射線OA上的點(diǎn)E滿足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度數(shù)為 ．





8．等腰三角形的一個(gè)外角度數(shù)為100°，則頂角度數(shù)為 ．


9．頂角為銳角的等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為50°，則該三角形的底角為 ．


10．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交AC于D，交AB于E，連接BD，若∠ADE＝40°，則∠DBC＝ ．





11．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，按C→B→A的路徑，以2cm每秒的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為 時(shí)，△ACP是等腰三角形．





12．如圖，點(diǎn)C為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，△ACD，△CBE是等邊三角形，AE交BD于點(diǎn)O，AE交CD于點(diǎn)P，BD交CE于點(diǎn)Q，連接OC，下列結(jié)論中：①PE＝BQ，②∠AOD＝60°，③EO＝BQ，④OC+OE＝OB，⑤OC平分∠AOB，正確的結(jié)論有 （只填序號）．





13．如圖，在第1個(gè)△A1BC中，∠B＝20°，A1B＝CB；在邊A1B上任取一點(diǎn)D，延長CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2個(gè)△A1A2D；在邊A2D上任取一點(diǎn)E，延長A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3個(gè)△A2A3E，…按此做法繼續(xù)下去，第2019個(gè)等腰三角形的底角度數(shù)是 ．





三．解答題


14．如圖，已知：△ABC中，AB＝AC，BD和CE分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，且相交于O點(diǎn)．


①試說明△OBC是等腰三角形；


②連接OA，試判斷直線OA與線段BC的關(guān)系，并說明理由．














15．如圖，在等邊三角形ABC中，D、E分別為AB、BC上的點(diǎn)，且AD＝BE，AE、CD相交于點(diǎn)F，AG⊥CD，垂足為G．求證：AF＝2FG．














16．已知，如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC至E，使CE＝CD．


（1）求證：DB＝DE；


（2）若點(diǎn)F是BE的中點(diǎn)，連接DF，且CF＝2，求等邊三角形△ABC的邊長．














17．已知，如圖，△ABC是正三角形，D，E，F(xiàn)分別是各邊上的一點(diǎn)，且AD＝BE＝CF．請你說明△DEF是正三角形．














18．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一點(diǎn)，過D分別向AB，AC引垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，CG是AB邊上的高．


（1）當(dāng)D點(diǎn)在BC的什么位置時(shí)，DE＝DF？并證明．


（2）DE，DF，CG的長之間存在著怎樣的等量關(guān)系？并加以證明：


（3）若D在底邊BC的延長線上，（2）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，又存在怎樣的關(guān)系？








參考答案


一．選擇題


1．解：當(dāng)腰長為5時(shí)，則三角形的三邊分別為5、5、9，滿足三角形的三邊關(guān)系，其周長為19；


當(dāng)腰長為9時(shí)，則三角形的三邊分別為9、9、5，滿足三角形的三邊關(guān)系，其周長為23；


綜上可知三角形的周長為19或23，


故選：D．


2．解：如圖所示，∵AD＝BD，∠B＝30°，


∴∠ADC＝60°，


∵DE＝CE，


∴可設(shè)∠C＝∠EDC＝α，則∠ADE＝60°﹣α，∠AED＝2α，


根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，∠DAE＝120°﹣α，


分三種情況：


①當(dāng)AE＝AD時(shí)，有60°﹣α＝2α，


解得α＝20°；


②當(dāng)DA＝DE時(shí)，有120°﹣α＝2α，


解得α＝40°；


③當(dāng)EA＝ED時(shí)，有120°﹣α＝60°﹣α，方程無解，


綜上所述，∠C的度數(shù)為20°或40°，


故選：D．





3．解：∵等腰三角形頂角的度數(shù)是30°，


∴底角的度數(shù)為（180°﹣30°）＝75°．


故選：D．


4．解：∵AB＝AC，


∴∠ABC＝∠ACB，


∵∠A＝30°，


∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣30°）＝75°，


∵以B為圓心，BC長為半徑畫弧，


∴BE＝BD＝BC，


∴∠BDC＝∠ACB＝75°，


∴∠CBD＝180°﹣75°﹣75°＝30°，


∴∠DBE＝75°﹣30°＝45°，


∴∠BED＝∠BDE＝（180°﹣45°）＝67.5°．


故選：C．


5．解：設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x，


在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，


點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒3cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)以每秒2cm的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，


當(dāng)△APQ是等腰三角形時(shí)，AP＝AQ，


AP＝20﹣3x，AQ＝2x


即20﹣3x＝2x，


解得x＝4．


故選：D．


6．解：①三個(gè)角都等于60°的三角形是等邊三角形；


②有一個(gè)外角等于60°的等腰三角形是鈍角三角形，不是等邊三角形；


③三個(gè)外角都相等，則三角形外角都是＝120°，


∴三角形的三個(gè)內(nèi)角都是60°，


∴三個(gè)外角都相等的三角形是等邊三角形；


④一腰上的中線也是這條腰上的高，則這條中線所在的直線是這條腰的垂直平分線，


∴腰與底相等，


∴一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形是等邊三角形，


故選：C．


二．填空題


7．


解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，


∴∠AOC＝30°，


①當(dāng)E在E1時(shí)，OE＝CE，


∵∠AOC＝∠OCE＝30°，


∴∠OEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°；


②當(dāng)E在E2點(diǎn)時(shí)，OC＝OE，


則∠OEC＝∠OCE＝（180°﹣30°）＝75°；


③當(dāng)E在E3時(shí)，OC＝CE，


則∠OEC＝∠AOC＝30°；


故答案為：120°或75°或30°．


8．解：當(dāng)100°的角是頂角的外角時(shí)，頂角的度數(shù)為180°﹣100°＝80°；


當(dāng)100°的角是底角的外角時(shí)，底角的度數(shù)為180°﹣100°＝80°，所以頂角的度數(shù)為180°﹣2×80°＝20°；


故頂角的度數(shù)為80°或20°．


故答案為：80°或20°．


9．解：如圖1，


∵△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠ADB＝90°，∠ABD＝50°，


∴在直角△ABD中，∠A＝90°﹣50°＝40°，


∴∠C＝∠ABC＝＝70°．


故答案為：70°．





10．解：∵DE是AB的垂直平分線，


∴DE⊥AB，


∴∠AED＝90°，


又∵∠ADE＝40°，


∴∠ABD＝∠A＝50°，


又∵AB＝AC，


∴∠ABC＝65°，


∴∠DBC＝15°．


故答案為：15°．


11．解：由題意可得，


第一種情況：當(dāng)AC＝CP時(shí)，△ACP是等腰三角形，如右圖1所示，


∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，按C→B→A的路徑，以2cm每秒的速度運(yùn)動(dòng)，


∴CP＝6cm，


∴t＝6÷2＝3秒；


第二種情況：當(dāng)CP＝PA時(shí)，△ACP是等腰三角形，如右圖2所示，


∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，按C→B→A的路徑，以2cm每秒的速度運(yùn)動(dòng)，


∴AB＝10cm，∠PAC＝∠PCA，


∴∠PCB＝∠PBC，


∴PA＝PC＝PB＝5cm，


∴t＝（CB+BP）÷2＝（8+5）÷2＝6.5秒；


第三種情況：當(dāng)AC＝AP時(shí)，△ACP是等腰三角形，如右圖3所示，


∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，按C→B→A的路徑，以2cm每秒的速度運(yùn)動(dòng)，


∴AP＝6cm，AB＝10cm，


∴t＝（CB+BA﹣AP）÷2＝（8+10﹣6）÷2＝6秒；











第四種情況：當(dāng)AC＝CP時(shí)，△ACP是等腰三角形，如右圖4所示，


作CD⊥AB于點(diǎn)D，


∵∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，tan∠A＝＝，


∴，AB＝10cm，


設(shè)CD＝4a，則AD＝3a，


∴（4a）2+（3a）2＝62，


解得，a＝，


∴AD＝3a＝，


∴AP＝2AD＝7.2cm，


∴t＝＝5.4s，


故答案為：3，6或6.5或5.4．














12．解：∵△ACD，△CBE是等邊三角形


∴BC＝CE，CD＝AC，∠BCD＝∠ACE


∴△ACE≌△DCB


∴∠AEC＝∠CBD，∠PCE＝∠QCB，BC＝EC


∴△BCQ≌△ECP


∴PE＝BQ①對，故EO≠BQ．③錯(cuò)


由上可知，∠CEA＝∠CBO，∠EQO＝∠BQC


∴△BCQ∽△E0Q


∴∠BCQ＝∠EOQ＝∠AOD＝60°②對．


∴∠POQ＝120°


∵△BCQ∽△E0Q


∴＝


∵∠OQC＝∠BQE


∴△OQC∽△EQB


∴∠COQ＝∠CEB＝60°


∴∠POC＝60°


∴OC平分∠AOB⑤對．


連接PQ，過點(diǎn)P做OP＝OM．


∵∠POM＝60°


∴△OPM為等邊三角形


∴∠OMC＝60°


∴∠PMC＝120°


又∵∠POQ＝120°


∴∠PMC＝∠POQ，易證PQ∥BC


∴∠OQP＝∠DBC


∵∠DBC＝∠AEC


∴∠OQP＝∠AEC


∵∠OPC＝∠OPC，∠AOC＝∠PCE＝60°


∴△CPO∽△EPC


∴∠PEC＝∠PCO


∴∠PCO＝∠OQP


又∵OP＝PM


∴△OPQ≌△MPC


∴MC＝OQ


∴OC+OE＝OP+OQ+OE＝PE+OQ＝QB+OQ＝OB④對．


故①②④⑤是正確的．





13．解：∵在△CBA1中，∠B＝20°，A1B＝CB，


∴∠BA1C＝＝80°，


∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，


∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×80°；


同理可得，


∠EA3A2＝（）2×80°，∠FA4A3＝（）3×80°，


∴第n個(gè)等腰三角形的底角度數(shù)是（）n﹣1×80°．


∴第2019個(gè)等腰三角形的底角度數(shù)為：，


故答案為


三．解答題


14．解：①∵在△ABC中，AB＝AC，


∴∠ABC＝∠BCA；


∵BD、CE分別平分∠ABC、∠BCA，


∴∠OBC＝∠BCO；


∴OB＝OC，


∴△OBC為等腰三角形．





②在△AOB與△AOC中．


∵，


∴△AOB≌△AOC（SSS）；


∴∠BAO＝∠CAO；


∴直線AO垂直平分BC．（等腰三角形頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合）


解法二：∵OB＝OC，AB＝AC，


∴OA垂直平分線段BC．


15．證明：∵等邊三角形ABC，


∴AB＝CA，∠ABE＝∠CAD＝60°，


在△ABE和△CAD中，，





∴△ABE≌△CAD（SAS）．


∴∠AEB＝∠CDA，又∠EAD為公共角，


∴△ADF∽△ABE．


∴∠AFD＝∠B＝60°．


∵AG垂直CD，即∠AGF＝90°，


∴∠GAF＝30°，


∴AF＝2FG（直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半）．





16．（1）證明：∵△ABC是等邊三角形


∴∠ABC＝∠ACB＝60°


又∵BD是中線


∴BD平分∠ABC


∴∠DBC＝∠ABC＝30°


∵CE＝CD


∴∠E＝∠CDE


又∵∠ACB＝∠E+∠CDE


∴∠E＝∠CDE＝30°


∴∠DBC＝∠E


∴DB＝DE





（2）解：由（1）可知DB＝DE


又∵點(diǎn)F是BE的中點(diǎn)


∴DF⊥BE


∵∠ACB＝60°


∴∠CDF＝180°﹣90°﹣60°＝30°


又∵△CDF為直角三角形


∴CF＝CD，∴CD＝4


∵BD是中線


∴AC＝2CD＝8


即等邊三角形△ABC的邊長為8．


17．解：∵△ABC為等邊三角形，且AD＝BE＝CF，


∴AE＝BF＝CD，


又∵∠A＝∠B＝∠C＝60°，


∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS），


∴DE＝EF＝FD，


∴△DEF是等邊三角形．





18．解：（1）當(dāng)點(diǎn)D在BC的中點(diǎn)時(shí)，DE＝DF，理由如下：


∵D為BC中點(diǎn)，


∴BD＝CD，


∵AB＝AC，


∴∠B＝∠C，


∵DE⊥AB，DF⊥AC，


∴∠DEB＝∠DFC＝90°，


在△BED和△CFD中


，


∴△BED≌△CFD（AAS），


∴DE＝DF．





（2）DE+DF＝CG．


證明：連接AD，


則S△ABC＝S△ABD+S△ACD，即AB?CG＝AB?DE+AC?DF，


∵AB＝AC，


∴CG＝DE+DF．





（3）當(dāng)點(diǎn)D在BC延長線上時(shí)，（2）中的結(jié)論不成立，但有DE﹣DF＝CG．


理由：連接AD，則S△ABD＝S△ABC+S△ACD，


即AB?DE＝AB?CG+AC?DF


∵AB＝AC，


∴DE＝CG+DF，


即DE﹣DF＝CG．


同理當(dāng)D點(diǎn)在CB的延長線上時(shí)，（2）中結(jié)論不成立，則有DF﹣DE＝CG，說明方法同上．














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13.3.1 等腰三角形

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