第十章　統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例
第一講　隨機(jī)抽樣
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知識(shí)梳理·雙基自測(cè)
知識(shí)梳理
知識(shí)點(diǎn)一　總體、個(gè)體、樣本、樣本容量的概念
統(tǒng)計(jì)中所考察對(duì)象的全體構(gòu)成的集合看做總體，構(gòu)成總體的每個(gè)元素作為個(gè)體，從總體中抽取的__一部分個(gè)體__所組成的集合叫做樣本，樣本中個(gè)體的__數(shù)目__叫做樣本容量．
知識(shí)點(diǎn)二　簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣
一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)__不放回__地抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本(n≤N)，如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的__機(jī)會(huì)都相等__，就把這種抽樣方法叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．
最常用的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法有兩種：__抽簽法__和__隨機(jī)數(shù)表法__.
知識(shí)點(diǎn)三　系統(tǒng)抽樣
當(dāng)總體中的個(gè)體比較多且均衡時(shí)，首先把總體分成均衡的若干部分，然后__按照預(yù)先定出的規(guī)則__，從每一部分中抽取一個(gè)個(gè)體，得到所需要的樣本，這種抽樣方法叫做系統(tǒng)抽樣．
系統(tǒng)抽樣的步驟
一般地，假設(shè)要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本．
(1)先將總體的N個(gè)個(gè)體__編號(hào)__；
(2)確定__分段間隔k__，對(duì)編號(hào)進(jìn)行__分段__.當(dāng)(n是樣本容量)是整數(shù)時(shí)，取k＝；
(3)在第1段用__簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣__確定第一個(gè)個(gè)體編號(hào)l(k≤k)；
(4)按照一定的規(guī)則抽取樣本．通常是將l加上間隔k得到第2個(gè)個(gè)體編號(hào)__(l＋k)__，再加k得到第3個(gè)個(gè)體編號(hào)__(l＋2k)__，依次進(jìn)行下去，直到獲取整個(gè)樣本．
知識(shí)點(diǎn)四　分層抽樣
一般地，在抽樣時(shí)將總體分成互不交叉的層，然后按照__一定的比例__，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣．
分層抽樣的應(yīng)用范圍：當(dāng)總體是由__差異明顯的幾個(gè)部分__組成時(shí)，往往選用分層抽樣的方法．
重要結(jié)論
1．不論哪種抽樣方法， 總體中的每一個(gè)個(gè)體入樣的概率都是相同的．
2．系統(tǒng)抽樣一般也稱為等距抽樣，入樣個(gè)體的編號(hào)相差分段時(shí)間隔k的整數(shù)倍．
3．分層抽樣是按比例抽樣，每一層入樣的個(gè)體數(shù)為該層的個(gè)體數(shù)乘抽樣比．
雙基自測(cè)
題組一　走出誤區(qū)
1．(多選題)下列結(jié)論中正確的是(　AB　)
A．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是從總體中逐個(gè)不放回的抽取樣本
B．系統(tǒng)抽樣在起始部分抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣
C．要從1 002個(gè)學(xué)生中用系統(tǒng)抽樣的方法選取一個(gè)容量為20的樣本，需要剔除2個(gè)學(xué)生，這樣對(duì)被剔除者不公平
D．抽簽法中，先抽的人抽中的可能性大
題組二　走進(jìn)教材
2．(P100A組T2)某公司有員工500人，其中不到35歲的有125人，35～49歲的有280人，50歲以上的有95人，為了調(diào)查員工的身體健康狀況，從中抽取100名員工，則應(yīng)在這三個(gè)年齡段分別抽取人數(shù)為(　B　)
A．33,34,33 B．25,56,19
C．30,40,30 D．30,50,20
[解析]　因?yàn)?2528095＝255619，所以抽取人數(shù)分別為25,56,19.
3．(P59T2)某班共有52人，現(xiàn)根據(jù)學(xué)生的學(xué)號(hào)，用系統(tǒng)抽樣的方法，抽取一個(gè)容量為4的樣本，已知3號(hào)，29號(hào)，42號(hào)學(xué)生在樣本中，那么樣本中還有一個(gè)學(xué)生的學(xué)號(hào)是(　D　)
A．10 B．11
C．12 D．16
[解析]　從被抽中的3名學(xué)生的學(xué)號(hào)中可以看出學(xué)號(hào)間距為13，所以樣本中還有一個(gè)學(xué)生的學(xué)號(hào)是16，故選D．
題組三　考題再現(xiàn)
4．(2018·課標(biāo)全國(guó)Ⅲ)某公司有大量客戶，且不同年齡段客戶對(duì)其服務(wù)的評(píng)價(jià)有較大差異．為了解客戶的評(píng)價(jià)，該公司準(zhǔn)備進(jìn)行抽樣調(diào)查，可供選擇的抽樣方法有簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣，則最合適的抽樣方法是__分層抽樣__.
[解析]　因?yàn)椴煌挲g段客戶對(duì)其服務(wù)的評(píng)價(jià)有較大差異，所以根據(jù)三種抽樣方法的特點(diǎn)可知最合適的抽樣方法是分層抽樣．
5．(2019·課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)某學(xué)校為了解1 000名新生的身體素質(zhì)，將這些學(xué)生編號(hào)為1,2，…，1 000，從這些新生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取100名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測(cè)驗(yàn)．若46號(hào)學(xué)生被抽到，則下面4名學(xué)生中被抽到的是(　C　)
A．8號(hào)學(xué)生 B．200號(hào)學(xué)生
C．616號(hào)學(xué)生 D．815號(hào)學(xué)生
[解析]　將1 000名學(xué)生分成100組，每組10人，則每組抽取的號(hào)碼構(gòu)成公差為10的等差數(shù)列{an}，由題意知a5＝46，則an＝a5＋(n－5)×10＝10n－4，n∈N*，易知只有C選項(xiàng)滿足題意．故選C．

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究
考點(diǎn)一　簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣——自主練透
例1 (1)(2019·陜西模擬)某班級(jí)有男生20人，女生30人，從中抽取10人作為樣本，其中一次抽樣結(jié)果是：抽到了4名男生、6名女生，則下列命題正確的是(　A　)
A．這次抽樣可能采用的是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣
B．這次抽樣一定沒有采用系統(tǒng)抽樣
C．這次抽樣中每個(gè)女生被抽到的概率大于每個(gè)男生被抽到的概率
D．這次抽樣中每個(gè)女生被抽到的概率小于每個(gè)男生被抽到的概率
(2)(2019·山西大同)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從含有10個(gè)個(gè)體的總體中，抽取一個(gè)容量為3的樣本，其中某一個(gè)體a“第一次被抽到”的可能性與“第二次被抽到”的可能性分別是(　A　)
A．， B．，
C．， D．，
(3)(2020·山西大學(xué)附中診斷)某工廠利用隨機(jī)數(shù)表對(duì)生產(chǎn)的600個(gè)零件進(jìn)行抽樣測(cè)試，先將600個(gè)零件進(jìn)行編號(hào)，編號(hào)分別為001,002，…，599,600從中抽取60個(gè)樣本，如下提供隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行：
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42；84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04；32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
若從表中第6行第6列開始向右依次讀取3個(gè)數(shù)據(jù)，則得到的第6個(gè)樣本編號(hào)(　D　)
A．522 B．324
C．535 D．578
[解析]　(1)利用排除法求解．這次抽樣可能采用的是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，A正確；這次抽樣可能采用系統(tǒng)抽樣，男生編號(hào)為1～20，女生編號(hào)為21～50，間隔為5，依次抽取1號(hào)，6號(hào)，…，46號(hào)便可，B錯(cuò)誤；這次抽樣中每個(gè)女生被抽到的概率等于每個(gè)男生被抽到的概率，C和D均錯(cuò)誤，故選A．
(2)在抽樣過程中，個(gè)體a每一次被抽中的概率是相等的，因?yàn)榭傮w容量為10，故個(gè)體a“第一次被抽到”的可能性與“第二次被抽到”的可能性均為.故選A．
(3)從第6行第6列開始向右依次讀取3個(gè)數(shù)，依次得到的樣本為436,535,577,348,522,578，故選D．
名師點(diǎn)撥 ?
(1)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣滿足：①抽取的個(gè)體數(shù)有限；②逐個(gè)抽取；③不放回抽取；④等可能抽?。?br /> (2)抽簽法適用于總體中個(gè)體數(shù)較少的情況，隨機(jī)數(shù)表法適用于總體中個(gè)體數(shù)較多的情況．
考點(diǎn)二　系統(tǒng)抽樣——師生共研
例2 (1)(2019·甘肅張掖診斷)某校高三科創(chuàng)班共48人，班主任為了解學(xué)生高考前的心理狀況，將學(xué)生按1至48的學(xué)號(hào)用系統(tǒng)抽樣方法抽取8人進(jìn)行調(diào)查若抽到的最大學(xué)號(hào)為48，則抽到的最小學(xué)號(hào)為__6__.
(2)(2019·湖北模擬)將參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽的500名學(xué)生編號(hào)為：001,002，…，500，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為50的樣本，分組后，在第一組采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽得的號(hào)碼為003.這500名學(xué)生分別在三個(gè)考點(diǎn)考試，從001到200在第一考點(diǎn)，從201到355在第二考點(diǎn)，從356到500在第三考點(diǎn)，則第三考點(diǎn)被抽中的人數(shù)為(　A　)
A．14 B．15
C．16 D．21
[解析]　(1)系統(tǒng)抽樣的抽取間隔為＝6，則48－6×7＝6，則抽到的最小學(xué)號(hào)為6，故答案為6。
(2)由題意可知，將500名學(xué)生平均分成50組，每組10人，第k(k∈N*)組抽到的號(hào)碼為10(k－1)＋3.令356≤10(k－1)＋3≤500(k∈N*)，解得37≤k≤50，則滿足37≤k≤50的正整數(shù)k有14個(gè)，故第三考點(diǎn)被抽中的學(xué)生人數(shù)為14人．故選A．
名師點(diǎn)撥 ?
系統(tǒng)抽樣的特點(diǎn)
(1)適用于元素個(gè)數(shù)很多且均衡的總體．
(2)各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)均等．
(3)總體分組后，在起始部分抽樣時(shí)采用的是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．
(4)如果總體容量N能被樣本容量n整除，則抽樣間隔為k＝.如果總體容量N不能被樣本容量n整除，可隨機(jī)地從總體中剔除余數(shù)，然后再按系統(tǒng)抽樣的方法抽樣．
〔變式訓(xùn)練1〕
(2020·安徽黃山質(zhì)檢)某校高三(1)班共有48人，學(xué)號(hào)依次為1,2,3，…，48，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的辦法抽取一個(gè)容量為6的樣本．已知學(xué)號(hào)為3,11,19,35,43的同學(xué)在樣本中，那么還有一個(gè)同學(xué)的學(xué)號(hào)應(yīng)為(　A　)
A．27 B．26
C．25 D．24
[解析]　根據(jù)系統(tǒng)抽樣的規(guī)則——“等距離”時(shí)抽取，也就抽取的號(hào)碼差相等，根據(jù)抽出的序號(hào)可知學(xué)號(hào)之間的差為8，所以在19與35之間還有27，故選A．
考點(diǎn)三　分層抽樣——多維探究
角度1　求某層入樣的個(gè)體數(shù)
例3 (1)(2019·廣西南寧、玉林、貴港等市聯(lián)考)某學(xué)校共有教師300人，其中中級(jí)教師有120人，高級(jí)教師與初級(jí)教師的人數(shù)比為5：4.為了解教師專業(yè)發(fā)展要求，現(xiàn)采用分層抽樣的方法進(jìn)行調(diào)查，在抽取的樣本中有中級(jí)教師72人，則該樣本中的高級(jí)教師人數(shù)為__60__.
(2)(2019·寧波一模)調(diào)查某高中1 000名學(xué)生的身高情況得下表，已知從這批學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，抽到偏矮男生的概率為0.12，若用分層抽樣的方法，從這些學(xué)生中隨機(jī)抽取50名，問應(yīng)在偏高學(xué)生中抽取__11__名.

偏矮
正常
偏高
女生/人
100
273
y
男生/人
x
287
z
[解析]　(1)學(xué)校共有教師300人，其中中級(jí)教師有120人，
∴高級(jí)教師與初級(jí)教師的人數(shù)為300－120＝180人，
∵抽取的樣本中有中級(jí)教師72人，
∴設(shè)樣本人數(shù)為n，則＝，解得n＝180，
則抽取的高級(jí)教師與初級(jí)教師的人數(shù)為180－72＝108，
∵高級(jí)教師與初級(jí)教師的人數(shù)比為54，
∴該樣本中的高級(jí)教師人數(shù)為×108＝60.
故答案為60.
(2)由題意可知x＝1 000×0.12＝120，所以y＋z＝220.
所以偏高學(xué)生占學(xué)生總數(shù)的比例為＝，所以抽50名應(yīng)抽偏高學(xué)生50×＝11(人)．
角度2　求總體或樣本容量
例4 (1)(2020·湖南模擬)某工廠甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)了同一種產(chǎn)品，數(shù)量分別為120件，80件，60件．為了解它們的產(chǎn)品質(zhì)量是否存在顯著差異，用分層抽樣方法抽取了一個(gè)容量為n的樣本進(jìn)行調(diào)查，其中從丙車間的產(chǎn)品中抽取了3件，則n＝(　D　)
A．9 B．10
C．12 D．13
(2)交通管理部門為了解機(jī)動(dòng)車駕駛員(簡(jiǎn)稱駕駛員)對(duì)某新法規(guī)的知曉情況，對(duì)甲、乙、丙、丁四個(gè)社區(qū)做分層抽樣調(diào)查．假設(shè)四個(gè)社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為N，其中甲社區(qū)有駕駛員96人．若在甲、乙、丙、丁四個(gè)社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為12,21,25,43，則這四個(gè)社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)N為__808__.
[解析]　(1)由分層抽樣可得，＝，解得n＝13.故選D．
(2)由題意知抽樣比為，而四個(gè)社區(qū)一共抽取的駕駛員人數(shù)為12＋21＋25＋43＝101，故有＝，解得N＝808.故填808.
名師點(diǎn)撥 ?
進(jìn)行分層抽樣的相關(guān)計(jì)算時(shí)，常用到的兩個(gè)關(guān)系：
(1)＝；
(2)總體中某兩層的個(gè)體數(shù)之比等于樣本中這兩層所抽取的個(gè)體數(shù)之比__.
〔變式訓(xùn)練2〕
(1)(角度1)(2019·廣東廣州模擬)某公司生產(chǎn)A，B，C三種不同型號(hào)的轎車，產(chǎn)量之比依次為234，為檢驗(yàn)該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為n的樣本，若樣本中A種型號(hào)的轎車比B種型號(hào)的轎車少8輛，則n＝(　B　)
A．96 B．72
C．48 D．36
(2)(角度2)某高中計(jì)劃從全校學(xué)生中按年級(jí)采用分層抽樣方法抽取20名學(xué)生進(jìn)行心理測(cè)試，其中高三有學(xué)生900人，已知高一與高二共抽取了14人，則全校學(xué)生的人數(shù)為(　C　)
A．2 400 B．2 700
C．3 000 D．3 600
[解析]　(1)由題意得n－n＝－8，∴n＝72，故選B．
(2)設(shè)全校學(xué)生人數(shù)為n，
由題意可知＝，
解得n＝3 000，故選C．

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
名師講壇·素養(yǎng)提升
分層抽樣與概率相結(jié)合
例5 (2018·天津高考)已知某校甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240,160,160.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參加獻(xiàn)愛心活動(dòng)．
(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？
(2)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作．
①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；
②設(shè)M為事件“抽取的2名同學(xué)來自同一年級(jí)”，求事件M發(fā)生的概率．
[解析]　(1)由已知，甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為322，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人．
(2)①從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{C，G}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{D，G}，{E，F(xiàn)}，{E，G}，{F，G}，共21種．
②由(1)，不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中，來自甲年級(jí)的是A，B，C，來自乙年級(jí)的是D，E，來自丙年級(jí)的是F，G，則從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取的2名同學(xué)來自同一年級(jí)的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5種，
所以，事件M發(fā)生的概率P(M)＝.
名師點(diǎn)撥 ?
分層抽樣與概率相結(jié)合的題目是高考的熱點(diǎn)，解題時(shí)先根據(jù)分層抽樣確定人數(shù)，再利用古典概型求解相應(yīng)的概率．
〔變式訓(xùn)練3〕
某中學(xué)為了更好地開展社團(tuán)活動(dòng)，豐富同學(xué)們的課余生活，現(xiàn)用分層抽樣的方法從“模擬法庭”“街舞”“動(dòng)漫”“話劇”四個(gè)社團(tuán)中抽取若干人組成校社團(tuán)指導(dǎo)小組，有關(guān)數(shù)據(jù)見下表：
社團(tuán)
相關(guān)人數(shù)
抽取人數(shù)
模擬法庭
24
a
街舞
30
5
動(dòng)漫
b
4
話劇
12
c
(1)求a，b，c的值；
(2)若從“動(dòng)漫”與“話劇”社團(tuán)已抽取的人中選2人擔(dān)任指導(dǎo)小組組長(zhǎng)，求這2人分別來自這兩個(gè)社團(tuán)的概率．
[解析]　(1)由表可知抽取比例為＝，故a＝4，b＝24，c＝2.
(2)設(shè)“動(dòng)漫”社團(tuán)的4人分別為：A1，A2，A3，A4；“話劇”社團(tuán)的2人分別為：B1，B2.則從中任選2人的所有基本事件為：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A3，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)共15個(gè)．
其中2人分別來自這兩個(gè)社團(tuán)的基本事件為：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，共8個(gè)．
所以這2人分別來自這兩個(gè)社團(tuán)的概率P＝.
(或這2人分別來自這兩個(gè)社團(tuán)的概率P＝＝)

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