第四講　隨機(jī)事件的概率

ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知識(shí)梳理·雙基自測(cè)
知識(shí)梳理
知識(shí)點(diǎn)一　隨機(jī)事件和確定事件
(1)在條件S下，__必然要發(fā)生__的事件，叫做相對(duì)于條件S的必然事件，簡(jiǎn)稱必然事件．
(2)在條件S下，__不可能發(fā)生__的事件，叫做相對(duì)于條件S的不可能事件，簡(jiǎn)稱不可能事件．
(3)必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對(duì)于條件S的確定事件，簡(jiǎn)稱確定事件．
(4)在條件S下，__可能發(fā)生也可能不發(fā)生__的事件，叫做相對(duì)于條件S的隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱隨機(jī)事件．
知識(shí)點(diǎn)二　概率與頻率
(1)概率與頻率的概念：在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的__頻數(shù)__，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝為事件A出現(xiàn)的__頻率__.
(2)概率與頻率的關(guān)系：對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用__頻率fn(A)__來估計(jì)概率P(A)．
知識(shí)點(diǎn)三　互斥事件與對(duì)立事件
事件的關(guān)系與運(yùn)算

定義
符號(hào)表示
包含關(guān)系
若事件A__發(fā)生__，則事件B__一定發(fā)生__，這時(shí)稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)
__B?A(或A?B)__
相等關(guān)系
若B?A，且__A?B__，則稱事件A與事件B相等
__A＝B__
并事件
(和事件)
若某事件發(fā)生__當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生__，則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)
__A∪B(或A＋B)__
交事件
(積事件)
若某事件發(fā)生__當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生__，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)
__A∩B(或AB)__
互斥事件
若A∩B為__不可能__事件，則稱事件A與事件B互斥
__A∩B＝?__
對(duì)立事件
若A∩B為__不可能__事件，A∪B為__必然事件__，則稱事件A與事件B互為對(duì)立事件
__A∩B＝?，且A∪B＝Ω__
重要結(jié)論
概率的幾個(gè)基本性質(zhì)
(1)概率的取值范圍：__0≤P(A)≤1__.
(2)必然事件的概率：P(A)＝__1__.
(3)不可能事件的概率：P(A)＝__0__.
(4)概率的加法公式：若事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝__P(A)＋P(B)__.
(5)對(duì)立事件的概率：若事件A與事件B互為對(duì)立事件，則A∪B為必然事件．P(A∪B)＝__1__，P(A)＝__1－P(B)__.
雙基自測(cè)
題組一　走出誤區(qū)
1．(多選題)下列結(jié)論中正確的是(　AD　)
A．在大量重復(fù)試驗(yàn)中，概率是頻率的穩(wěn)定值
B．兩個(gè)事件的和事件是指兩個(gè)事件都得發(fā)生
C．?dāng)S一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個(gè)正面”“一正一反”“兩個(gè)反面”，這三個(gè)結(jié)果是等可能的
D．對(duì)立事件肯定是互斥事件、互斥事件不一定是對(duì)立事件
題組二　走進(jìn)教材
2．(P121T4)一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的對(duì)立事件是(　D　)
A．至多有一次中靶 B．兩次都中靶
C．只有一次中靶 D．兩次都不中靶
[解析]　“至少有一次中靶”的對(duì)立事件是“兩次都不中靶”．故選D．
3．(P133T4)同時(shí)擲兩個(gè)骰子，向上點(diǎn)數(shù)不相同的概率為____.
[解析]　擲兩個(gè)骰子一次，向上的點(diǎn)數(shù)共6×6＝36(種)可能的結(jié)果，其中點(diǎn)數(shù)相同的結(jié)果共有6種，所以點(diǎn)數(shù)不相同的概率P＝1－＝.
題組三　考題再現(xiàn)
4．(2018·課標(biāo)全國(guó)卷Ⅲ)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為(　B　)
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
[解析]　設(shè)事件A為“不用現(xiàn)金支付”，事件B為“既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付”，事件C為“只用現(xiàn)金支付”，則P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.15－0.45＝0.4故選B．
5．(2020·黑龍江大慶質(zhì)檢)某公司欲派甲、乙、丙3人到A，B兩個(gè)城市出差，每人只去1個(gè)城市，且每個(gè)城市必須有人去，則A城市恰好只有甲去的概率為(　B　)
A． B．
C． D．
[解析]　總的派法有：(甲、乙A)，(丙B)；(甲、乙B)，(丙A)；(甲丙A)，(乙B)；(甲，丙B)，(乙A)；(乙，丙A)(甲B)；(乙，丙B)，(甲A)，共6種(或CA＝6(種))，A城市恰好只有甲去有一種，故所求概率P＝.

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究
考點(diǎn)一　隨機(jī)事件的關(guān)系——自主練透
例1 (1)(2020·遼寧六校協(xié)作體期中)從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是(　C　)
A．“至少有1個(gè)白球”和“都是紅球”
B．“至少有2個(gè)白球”和“至多有1個(gè)紅球”
C．“恰有1個(gè)白球”和“恰有2個(gè)白球”
D．“至多有1個(gè)白球”和“都是紅球”
(2)(2019·中山模擬)從1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，其中：
①恰有一個(gè)是偶數(shù)和恰有一個(gè)是奇數(shù)；
②至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是奇數(shù)；
③至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù)；
④至少有一個(gè)是奇數(shù)和至少有一個(gè)是偶數(shù)．
上述事件中，是對(duì)立事件的是(　C　)
A．① B．②④
C．③ D．①③
(3)設(shè)條件甲：“事件A與事件B是對(duì)立事件”，結(jié)論乙：“概率滿足P(A)＋P(B)＝1”，則甲是乙的(　A　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
[解析]　(1)對(duì)于選項(xiàng)A，“至少有1個(gè)白球”和“都是紅球”是對(duì)立事件，不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)B，“至少有2個(gè)白球”表示取出2個(gè)球都是白色的，而“至多有1個(gè)紅球”表示取出的球1個(gè)紅球1個(gè)白球，或者2個(gè)都是白球，二者不是互斥事件，不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)C，“恰有1個(gè)白球”表示取出2個(gè)球1個(gè)紅球1個(gè)白球，與“恰有2個(gè)白球”是互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件，符合題意；對(duì)于選項(xiàng)D，“至多有1個(gè)白球”表示取出的2個(gè)球1個(gè)紅球1個(gè)白球，或者2個(gè)都是紅球，與“都是紅球”不是互斥事件，不符合題意．故選C．
(2)從1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)有3種情況：一奇一偶，2個(gè)奇數(shù)，2個(gè)偶數(shù)．其中“至少有一個(gè)是奇數(shù)”包含一奇一偶或2個(gè)奇數(shù)這兩種情況，它與兩個(gè)都是偶數(shù)是對(duì)立事件．又①中的事件可以同時(shí)發(fā)生，不是對(duì)立事件，故選C．
(3)若事件A與事件B是對(duì)立事件，則A∪B為必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1；投擲一枚硬幣3次，滿足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不一定是對(duì)立事件，如：事件A：“至少出現(xiàn)一次正面”，事件B：“出現(xiàn)3次正面”，則P(A)＝，P(B)＝，滿足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是對(duì)立事件，故甲是乙的充分不必要條件．
名師點(diǎn)撥 ?
(1)準(zhǔn)確把握互斥事件與對(duì)立事件的概念：①互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的事件，但也可以同時(shí)不發(fā)生；②對(duì)立事件是特殊的互斥事件，特殊在對(duì)立的兩個(gè)事件不可能都不發(fā)生，既有且僅有一個(gè)發(fā)生．
(2)判別互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩個(gè)事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件．
〔變式訓(xùn)練1〕
(2020·寧夏檢測(cè))抽查10件產(chǎn)品，設(shè)事件A為“至少有2件次品”，則事件A的對(duì)立事件為(　B　)
A．至多有2件次品 B．至多有1件次品
C．至多有2件正品 D．至少有2件正品
[解析]　∵“至少有n個(gè)”的反面是“至多有n－1個(gè)”，又∵事件A“至少有2件次品”，∴事件A的對(duì)立事件為“至多有1件次品”．
考點(diǎn)二　隨機(jī)事件的概率——多維探究
角度1　頻率與概率
例2 (2018·北京高考)電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：
電影類型
第一類
第二類
第三類
第四類
第五類
第六類
電影部數(shù)
140
50
300
200
800
510
好評(píng)率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值．
(1)從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率；
(2)隨機(jī)選取1部電影，估計(jì)這部電影沒有獲得好評(píng)的概率；
(3)電影公司為增加投資回報(bào)，擬改變投資策略，這將導(dǎo)致不同類型電影的好評(píng)率發(fā)生變化．假設(shè)表格中只有兩類電影的好評(píng)率數(shù)據(jù)發(fā)生變化．那么哪類電影的好評(píng)率增加0.1，哪類電影的好評(píng)率減少0.1，使得獲得好評(píng)的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達(dá)到最大？(只需寫出結(jié)論)
[解析]　(1)由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000，
第四類電影中獲得好評(píng)的電影部數(shù)是200×0.25＝50.
故所求概率為＝0.025.
(2)由題意知，樣本中獲得好評(píng)的電影部數(shù)是
140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1
＝56＋10＋45＋50＋160＋51
＝372.
故所求概率估計(jì)為1－＝0.814.
(3)增加第五類電影的好評(píng)率，減少第二類電影的好評(píng)率．
角度2　統(tǒng)計(jì)與概率
例3 (2020·云南名校適應(yīng)性月考)下邊莖葉圖表示的是甲、乙兩人在5次綜合測(cè)評(píng)中的成績(jī)，其中有一個(gè)數(shù)字被污損，則甲的平均成績(jī)超過乙的平均成績(jī)的概率是(　A　)

A． B．
C． D．
[解析]　記其中被污損的數(shù)字為x，由題知甲的5次綜合測(cè)評(píng)的平均成績(jī)是×(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，
乙的5次綜合測(cè)評(píng)的平均成績(jī)是
×(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x＋9)＝，
令90>，解得x

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