一、基礎(chǔ)知識(shí)批注——理解深一點(diǎn)
“任意一條直線”與“所有直線”是同義的，但與“無(wú)數(shù)條直線”不同，定義的實(shí)質(zhì)是直線與平面內(nèi)的所有直線都垂直.

1．直線與平面垂直
(1)直線和平面垂直的定義：
直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，
就說(shuō)直線l與平面α互相垂直.
(2)直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理：

文字語(yǔ)言
圖形語(yǔ)言
符號(hào)語(yǔ)言
判定定理
一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直?，則該直線與此平面垂直

?l⊥α
性質(zhì)定理
垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行

?a∥b

　
2．平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言
圖形語(yǔ)言
符號(hào)語(yǔ)言
判定定理
一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線?，則這兩個(gè)平面垂直

?α⊥β
性質(zhì)定理
兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直

?l⊥α

　[?要求一平面只需過(guò)另一平面的垂線．]

二、常用結(jié)論匯總——規(guī)律多一點(diǎn)

直線與平面垂直的五個(gè)結(jié)論
(1)若一條直線垂直于一個(gè)平面，則這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意直線．
(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面．
(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．
(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這一條直線與另一個(gè)平面也垂直．
(5)兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面．

三、基礎(chǔ)小題強(qiáng)化——功底牢一點(diǎn)


　(1)直線l與平面α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線都垂直，則l⊥α.(　　)
(2)若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則α⊥β.(　　)
(3)若兩平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×
(二)選一選
1．若l，m是兩條不同的直線，m垂直于平面α，則“l(fā)⊥m”是“l(fā)∥α”的(　　)
A．充分不必要條件　　　　　 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選B　∵m⊥α，若l∥α，則必有l(wèi)⊥m，即l∥α?l⊥m.但l⊥m?/ l∥α，
∵l⊥m時(shí)，l可能在α內(nèi)．
故“l(fā)⊥m”是“l(fā)∥α”的必要不充分條件．
2．設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l?α，m?β(　　)
A．若l⊥β，則α⊥β B．若α⊥β，則l⊥m
C．若l∥β，則α∥β D．若α∥β，則l∥m
解析：選A　∵l⊥β，l?α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正確．

3．設(shè)m，n表示兩條不同的直線，α，β表示兩個(gè)不同的平面，下列命題為真命題的是
(　　)
A．若m⊥α，α⊥β，則m∥β
B．若m∥α，m⊥β，則α⊥β
C．若m⊥n，m⊥α，則n∥α
D．若m∥α，n∥β，α⊥β，則m⊥n
解析：選B　對(duì)于A，m可以在β內(nèi)，故A錯(cuò)；對(duì)于C，n可以在α內(nèi)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，m與n可以平行，故D錯(cuò)．

(三)填一填
4．一平面垂直于另一平面的一條平行線，則這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是________．
解析：由線面平行的性質(zhì)定理知，該面必有一直線與已知直線平行．再根據(jù)“兩平行線中一條垂直于一平面，另一條也垂直于該平面”得出兩個(gè)平面垂直．
答案：垂直
5.已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，連接PB，PC，PA，AC，BD，則一定互相垂直的平面有________對(duì)．
解析：由于PD⊥平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD, 平面PBC⊥平面PDC，共7對(duì)．
答案：7



考點(diǎn)一　直線與平面垂直的判定與性質(zhì)

[典例]　如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)．求證：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
[證明]　(1)在四棱錐P-ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，
∴PA⊥CD，
又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC.∵AE?平面PAC，
∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
∵E是PC的中點(diǎn)，∴AE⊥PC.
由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，
∴AE⊥平面PCD.
∵PD?平面PCD，∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，
∴AB⊥平面PAD，
∵PD?平面PAD，
∴AB⊥PD.
又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.
[解題技法]　證明線面垂直的4種方法
(1)線面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α.
(2)面面垂直的性質(zhì)定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.
(3)性質(zhì)：①a∥b，b⊥α?a⊥α，②α∥β，a⊥β?a⊥α.
(4)α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l?l⊥γ.(客觀題可用)
[口訣歸納]
線面垂直的關(guān)鍵，定義來(lái)證最常見(jiàn)，
判定定理也常用，它的意義要記清.
平面之內(nèi)兩直線，兩線相交于一點(diǎn)，
面外還有一直線，垂直兩線是條件.
[題組訓(xùn)練]

1．(2019·安徽知名示范高中聯(lián)考)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC＝BB1，AB1∩A1B＝E，D為AC上的點(diǎn)，B1C∥平面A1BD.
(1)求證：BD⊥平面A1ACC1；
(2)若AB＝1，且AC·AD＝1，求三棱錐A-BCB1的體積．
解： (1)證明：如圖，連接ED，
∵平面AB1C∩平面A1BD＝ED，B1C∥平面A1BD，
∴B1C∥ED，
∵E為AB1的中點(diǎn)，
∴D為AC的中點(diǎn)，
∵AB＝BC，∴BD⊥AC.
∵A1A⊥平面ABC，BD?平面ABC，∴A1A⊥BD.
又∵A1A，AC是平面A1ACC1內(nèi)的兩條相交直線，
∴BD⊥平面A1ACC1.
(2)由AB＝1，得BC＝BB1＝1，
由(1)知AD＝AC，又AC·AD＝1，∴AC2＝2，
∴AC2＝2＝AB2＋BC2，∴AB⊥BC，
∴S△ABC＝AB·BC＝，
∴VA-BCB1＝VB1-ABC＝S△ABC·BB1＝××1＝.
2.如圖，S是Rt△ABC所在平面外一點(diǎn)，且SA＝SB＝SC，D為斜邊AC的中點(diǎn)．
(1)求證：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.
證明：(1)如圖所示，取AB的中點(diǎn)E，連接SE，DE，
在Rt△ABC中，D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)．
∴DE∥BC，∴DE⊥AB，
∵SA＝SB，∴SE⊥AB.
又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.
又SD?平面SDE，∴AB⊥SD.
在△SAC中，∵SA＝SC，D為AC的中點(diǎn)，∴SD⊥AC.
又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.
(2)∵AB＝BC，∴BD⊥AC，
由(1)可知，SD⊥平面ABC，又BD?平面ABC，
∴SD⊥BD，
又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.



[典例]　(2018·江蘇高考)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.
求證：(1)AB∥平面A1B1C；
(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.
[證明]　(1)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，
AB∥A1B1.
因?yàn)锳B?平面A1B1C，A1B1?平面A1B1C，
所以AB∥平面A1B1C.
(2)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，
四邊形ABB1A1為平行四邊形．
又因?yàn)锳A1＝AB，所以四邊形ABB1A1為菱形，
因此AB1⊥A1B.
因?yàn)锳B1⊥B1C1，BC∥B1C1，
所以AB1⊥BC.
因?yàn)锳1B∩BC＝B，A1B?平面A1BC，BC?平面A1BC，
所以AB1⊥平面A1BC.
因?yàn)锳B1?平面ABB1A1，
所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.

[解題技法]　證明面面垂直的2種方法
定義法
利用面面垂直的定義，即判定兩平面所成的二面角為直二面角，將證明面面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問(wèn)題
定理法
利用面面垂直的判定定理，即證明其中一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成證明線線垂直加以解決

[題組訓(xùn)練]

1．(2019·武漢調(diào)研)如圖，三棱錐P-ABC中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，PA⊥PC，PB＝2.
求證：平面PAC⊥平面ABC.
證明：取AC的中點(diǎn)O，連接BO，PO.
因?yàn)椤鰽BC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，
所以BO⊥AC，BO＝.
因?yàn)镻A⊥PC，所以PO＝AC＝1.
因?yàn)镻B＝2，所以O(shè)P2＋OB2＝PB2，所以PO⊥OB.
因?yàn)锳C∩OP＝O，
所以BO⊥平面PAC.
又OB?平面ABC，
所以平面PAC⊥平面ABC.
2.(2018·安徽淮北一中模擬)如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是AB，PD的中點(diǎn)，且PA＝AD.
求證：(1)AF∥平面PEC；
(2)平面PEC⊥平面PCD.
證明：(1)取PC的中點(diǎn)G，連接FG，EG，


∵F為PD的中點(diǎn)，G為PC的中點(diǎn)，
∴FG為△CDP的中位線，
∴FG∥CD，F(xiàn)G＝CD.
∵四邊形ABCD為矩形，E為AB的中點(diǎn)，
∴AE∥CD，AE＝CD.
∴FG＝AE，F(xiàn)G∥AE，
∴四邊形AEGF是平行四邊形，
∴AF∥EG，又EG?平面PEC，AF?平面PEC，
∴AF∥平面PEC.
(2)∵PA＝AD，F(xiàn)為PD中點(diǎn)，∴AF⊥PD，
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，
又∵CD⊥AD，AD∩PA＝A，
∴CD⊥平面PAD，
∵AF?平面PAD，
∴CD⊥AF.
又PD∩CD＝D，
∴AF⊥平面PCD.
由(1)知EG∥AF，
∴EG⊥平面PCD，
又EG?平面PEC，
∴平面PEC⊥平面PCD.


A級(jí)——保大分專(zhuān)練
1．設(shè)a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則能得出a⊥b的是(　　)
A．a(chǎn)⊥α，b∥β，α⊥β　　　　　 B．a(chǎn)⊥α，b⊥β，α∥β
C．a(chǎn)?α，b⊥β，α∥β D．a(chǎn)?α，b∥β，α⊥β
解析：選C　對(duì)于C項(xiàng)，由α∥β，a?α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故選C.
2．(2019·湘東五校聯(lián)考)已知直線m，l，平面α，β，且m⊥α，l?β，給出下列命題：
①若α∥β，則m⊥l；②若α⊥β，則m∥l；
③若m⊥l，則α⊥β；④若m∥l，則α⊥β.
其中正確的命題是(　　)
A．①④ B．③④
C．①② D．①③
解析：選A　對(duì)于①，若α∥β，m⊥α，l?β，則m⊥l，故①正確，排除B.對(duì)于④，若m∥l，m⊥α，則l⊥α，又l?β，所以α⊥β.故④正確．故選A.
3．已知PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，C為圓上異于A，B兩點(diǎn)的任一點(diǎn)，則下列關(guān)系不正確的是(　　)
A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC
C．AC⊥PB D．PC⊥BC
解析：選C　由PA⊥平面ACB?PA⊥BC，故A不符合題意；由BC⊥PA，BC⊥AC，PA∩AC＝A，可得BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，故B、D不符合題意；AC⊥PB顯然不成立，故C符合題意．
4.如圖，在四面體ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)的射影H必在(　　)
A．直線AB上 B．直線BC上
C．直線AC上 D．△ABC內(nèi)部
解析：選A　因?yàn)锳B⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平央ABD，又AC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD，所以點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)的射影H必在直線AB上．
5.如圖，在正四面體P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，則下面四個(gè)結(jié)論不成立的是(　　)
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面PAE
D．平面PDE⊥平面ABC
解析：選D　因?yàn)锽C∥DF，DF?平面PDF，BC?平面PDF，所以BC∥平面PDF，故選項(xiàng)A正確．
在正四面體中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，
所以BC⊥平面PAE，又DF∥BC，則DF⊥平面PAE，從而平面PDF⊥平面PAE.因此選項(xiàng)B、C均正確．
6.如圖，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC，△PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線有________個(gè)；與AP垂直的直線有________個(gè)．
解析：∵PC⊥平面ABC，
∴PC垂直于直線AB，BC，AC.
∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，
∴AB⊥平面PAC，
又∵AP?平面PAC，
∴AB⊥AP，與AP垂直的直線是AB.
答案：3　1
7．設(shè)α和β為不重合的兩個(gè)平面，給出下列命題：
①若α內(nèi)的兩條相交直線分別平行于β內(nèi)的兩條直線，則α∥β；
②若α外的一條直線l與α內(nèi)的一條直線平行，則l∥α；
③設(shè)α∩β＝l，若α內(nèi)有一條直線垂直于l，則α⊥β；
④直線l⊥α的充要條件是l與α內(nèi)的兩條直線垂直．
其中所有的真命題的序號(hào)是________．
解析：①正確；②正確；滿足③的α與 β不一定垂直，所以③錯(cuò)誤；直線l⊥α的充要條件是l與α內(nèi)的兩條相交直線垂直，所以④錯(cuò)誤．故所有的真命題的序號(hào)是①②.
答案：①②
8．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面α與棱AB，AC，A1C1，A1B1分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，且直線AA1∥平面α.有下列三個(gè)命題：①四邊形EFGH是平行四邊形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正確命題的序號(hào)是________．
解析：如圖所示，因?yàn)锳A1∥平面α，平面α∩平面AA1B1B＝EH，所以AA1∥EH.同理AA1∥GF，所以EH∥GF，又ABC-A1B1C1是直三棱柱，易知EH＝GF＝AA1，所以四邊形EFGH是平行四邊形，故①正確；若平面α∥平面BB1C1C，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH∥B1C1不一定成立，故②錯(cuò)誤；由AA1⊥平面BCFE，結(jié)合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH?平面α，所以平面α⊥平面BCFE，故③正確．
答案：①③

9．(2019·太原模擬)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD＝AD＝2，點(diǎn)M在線段PC上，且PM＝2MC，N為AD的中點(diǎn)．
(1)求證：AD⊥平面PNB；
(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱錐P-NBM的體積．
解： (1)證明：連接BD.
∵PA＝PD，N為AD的中點(diǎn)，
∴PN⊥AD.
又底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
∴△ABD為等邊三角形，
∴BN⊥AD，
又PN∩BN＝N，∴AD⊥平面PNB.
(2)∵PA＝PD＝AD＝2，∴PN＝NB＝.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PN⊥AD，∴PN⊥平面ABCD，
∴PN⊥NB，∴S△PNB＝××＝.
∵AD⊥平面PNB，AD∥BC，
∴BC⊥平面PNB.又PM＝2MC，
∴VP-NBM＝VM-PNB＝VC-PNB＝×××2＝.
10.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.
求證：(1)直線DE∥平面A1C1F；
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
證明：(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC∥A1C1，
在△ABC中，因?yàn)镈，E分別為AB，BC的中點(diǎn)．
所以DE∥AC，于是DE∥A1C1，
又因?yàn)镈E?平面A1C1F，A1C1?平面A1C1F，
所以直線DE∥平面A1C1F.
(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，
因?yàn)锳1C1?平面A1B1C1，所以AA1⊥A1C1，
又因?yàn)锳1C1⊥A1B1，A1B1∩AA1＝A1，AA1?平面ABB1A1，A1B1?平面ABB1A1，
所以A1C1⊥平面ABB1A1，
因?yàn)锽1D?平面ABB1A1，
所以A1C1⊥B1D，
又因?yàn)锽1D⊥A1F，A1C1∩A1F＝A1，A1C1?平面A1C1F，A1F?平面A1C1F，
所以B1D⊥平面A1C1F，
因?yàn)橹本€B1D?平面B1DE，
所以平面B1DE⊥平面A1C1F.

B級(jí)——?jiǎng)?chuàng)高分自選

1．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)如圖，在三棱錐P-ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O為AC的中點(diǎn)．
(1)證明：PO⊥平面ABC；
(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且MC＝2MB，求點(diǎn)C到平面POM的距離．
解：(1)證明：因?yàn)镻A＝PC＝AC＝4，O為AC的中點(diǎn)，
所以PO⊥AC，且PO＝2.
連接OB，
因?yàn)锳B＝BC＝AC，
所以△ABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝AC＝2.
所以PO2＋OB2＝PB2，所以PO⊥OB.
又因?yàn)锳C∩OB＝O，所以PO⊥平面ABC.
(2)作CH⊥OM，垂足為H，
又由(1)可得OP⊥CH，
所以CH⊥平面POM.
故CH的長(zhǎng)為點(diǎn)C到平面POM的距離．
由題設(shè)可知OC＝AC＝2，CM＝BC＝，∠ACB＝45°，
所以O(shè)M＝，CH＝＝.
所以點(diǎn)C到平面POM的距離為.
2．(2019·河南中原名校質(zhì)量考評(píng))如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E，F(xiàn)分別是CD，PC的中點(diǎn)．
求證：(1)BE∥平面PAD；
(2)平面BEF⊥平面PCD.
證明：(1)∵AB∥CD，CD＝2AB，E是CD的中點(diǎn)，
∴AB∥DE且AB＝DE，
∴四邊形ABED為平行四邊形，
∴AD∥BE，又BE?平面PAD，AD?平面PAD，
∴BE∥平面PAD.
(2)∵AB⊥AD，∴四邊形ABED為矩形，
∴BE⊥CD，AD⊥CD，
∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA⊥AD，
∴PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥CD，又PA∩AD＝A，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，
∵E，F(xiàn)分別是CD，PC的中點(diǎn)，
∴PD∥EF，∴CD⊥EF，又EF∩BE＝E，
∴CD⊥平面BEF，
∵CD?平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.



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