1.如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是圓內(nèi)接四邊形(記此圓為W)，且PA⊥平面ABCD.(1)當(dāng)BD是圓W的直徑時(shí)，PA＝BD＝2，AD＝CD＝，求四棱錐P-ABCD的體積．(2)在(1)的條件下，判斷在棱PA上是否存在一點(diǎn)Q，使得BQ∥平面PCD？若存在，求出AQ的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：(1)因?yàn)?/span>BD是圓W的直徑，所以BA⊥AD，因?yàn)?/span>BD＝2，AD＝，所以AB＝1.同理BC＝1，所以S四邊形ABCD＝AB·AD＝.因?yàn)?/span>PA⊥平面ABCD，PA＝2，所以四棱錐P-ABCD的體積V＝S四邊形ABCD·PA＝.(2)存在，AQ＝.理由如下．延長AB，DC交于點(diǎn)E，連接PE，則平面PAB與平面PCD的交線是PE.假設(shè)在棱PA上存在一點(diǎn)Q，使得BQ∥平面PCD，則BQ∥PE，所以＝.經(jīng)計(jì)算可得BE＝2，所以AE＝AB＋BE＝3，所以AQ＝.故存在這樣的點(diǎn)Q，使BQ∥平面PCD，且AQ＝.2.如圖，側(cè)棱與底面垂直的四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AA1＝4，DC＝2AB，AB＝AD＝3，點(diǎn)M在棱A1B1上，且A1M＝A1B1.已知點(diǎn)E是直線CD上的一點(diǎn)，AM∥平面BC1E.(1)試確定點(diǎn)E的位置，并說明理由；(2)求三棱錐M-BC1E的體積．解：(1)點(diǎn)E在線段CD上且EC＝1，理由如下：在棱C1D1上取點(diǎn)N，使得D1N＝A1M＝1，連接MN，DN，因?yàn)?/span>D1N∥A1M，所以四邊形D1NMA1為平行四邊形，所以MN綊A1D1綊AD.所以四邊形AMND為平行四邊形，所以AM∥DN.因?yàn)?/span>CE＝1，所以易知DN∥EC1，所以AM∥EC1，又AM?平面BC1E，EC1?平面BC1E，所以AM∥平面BC1E.故點(diǎn)E在線段CD上且EC＝1.(2)由(1)知，AM∥平面BC1E，所以VM-BC1E＝VA-BC1E＝VC1-ABE＝××4＝6.3．(2019·湖北武漢部分學(xué)校調(diào)研)如圖1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中點(diǎn)，將△ADE沿AE折起，得到如圖2所示的四棱錐D1-ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE.(1)證明：BE⊥平面D1AE；(2)設(shè)F為CD1的中點(diǎn)，在線段AB上是否存在一點(diǎn)M，使得MF∥平面D1AE，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：(1)證明：∵四邊形ABCD為矩形且AD＝DE＝EC＝BC＝2，∴∠AEB＝90°，即BE⊥AE，又平面D1AE⊥平面ABCE，平面D1AE∩平面ABCE＝AE，∴BE⊥平面D1AE.(2)當(dāng)＝時(shí)，MF∥平面D1AE，理由如下：取D1E的中點(diǎn)L，連接FL，AL，∴FL∥EC，又EC∥AB，∴FL∥AB，且FL＝AB，∴M，F，L，A四點(diǎn)共面，又MF∥平面AD1E，∴MF∥AL.∴四邊形AMFL為平行四邊形，∴AM＝FL＝AB，＝.4．如圖1所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D為AC的中點(diǎn)，AE⊥BD于點(diǎn)E(不同于點(diǎn)D)，延長AE交BC于點(diǎn)F，將△ABD沿BD折起，得到三棱錐A1-BCD，如圖2所示．(1)若M是FC的中點(diǎn)，求證：直線DM∥平面A1EF.(2)求證：BD⊥A1F.(3)若平面A1BD⊥平面BCD，試判斷直線A1B與直線CD能否垂直？請(qǐng)說明理由．解：(1)證明：∵D，M分別為AC，FC的中點(diǎn)，∴DM∥EF，又∵EF?平面A1EF，DM?平面A1EF，∴DM∥平面A1EF.(2)證明：∵EF⊥BD，A1E⊥BD，A1E∩EF＝E，A1E?平面A1EF，EF?平面A1EF，∴BD⊥平面A1EF，又A1F?平面A1EF，∴BD⊥A1F.(3)直線A1B與直線CD不能垂直．理由如下：∵平面BCD⊥平面A1BD，平面BCD∩平面A1BD＝BD，EF⊥BD，EF?平面BCD，∴EF⊥平面A1BD，又∵A1B?平面A1BD，∴A1B⊥EF，又∵DM∥EF，∴A1B⊥DM.假設(shè)A1B⊥CD，∵DM∩CD＝D，∴A1B⊥平面BCD，∴A1B⊥BD，與∠A1BD為銳角矛盾，∴直線A1B與直線CD不能垂直．5．(2019·河南名校聯(lián)考)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是梯形，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，四邊形ACFE是矩形，且平面ACFE⊥平面ABCD，點(diǎn)M在線段EF上．(1)求證：BC⊥平面ACFE；(2)當(dāng)EM為何值時(shí)，AM∥平面BDF？證明你的結(jié)論．解：(1)證明：在梯形ABCD中，因?yàn)?/span>AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，所以四邊形ABCD是等腰梯形，且∠DCA＝∠DAC＝30°，∠DCB＝120°，所以∠ACB＝∠DCB－∠DCA＝90°，所以AC⊥BC.又平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面ACFE.(2)當(dāng)EM＝a時(shí)，AM∥平面BDF，理由如下：如圖，在梯形ABCD中，設(shè)AC∩BD＝N，連接FN.由(1)知四邊形ABCD為等腰梯形，且∠ABC＝60°，所以AB＝2DC，則CN∶NA＝1∶2.易知EF＝AC＝a，所以AN＝a.因?yàn)?/span>EM＝a，所以MF＝EF＝a，所以MF綊AN，所以四邊形ANFM是平行四邊形， 所以AM∥NF，又NF?平面BDF，AM?平面BDF，所以AM∥平面BDF.6.如圖所示的五面體ABEDFC中，四邊形ACFD是等腰梯形，AD∥FC，∠DAC＝60°，BC⊥平面ACFD，CA＝CB＝CF＝1，AD＝2CF，點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)．(1)在AD上是否存在一點(diǎn)H，使GH∥平面BCD？若存在，指出點(diǎn)H的位置并給出證明；若不存在，說明理由；(2)求三棱錐G-ECD的體積．解：(1)存在點(diǎn)H使GH∥平面BCD，此時(shí)H為AD的中點(diǎn)．證明如下．取點(diǎn)H為AD的中點(diǎn)，連接GH，因?yàn)辄c(diǎn)G為AC的中點(diǎn)，所以在△ACD中，由三角形中位線定理可知GH∥CD，又GH?平面BCD，CD?平面BCD，所以GH∥平面BCD.(2)因?yàn)?/span>AD∥CF，AD?平面ADEB，CF?平面ADEB，所以CF∥平面ADEB，因?yàn)?/span>CF?平面CFEB，平面CFEB∩平面ADEB＝BE，所以CF∥BE，又CF?平面ACFD，BE?平面ACFD，所以BE∥平面ACFD，所以VG-ECD＝VE-GCD＝VB-GCD.因?yàn)樗倪呅?/span>ACFD是等腰梯形，∠DAC＝60°，AD＝2CF＝2AC，所以∠ACD＝90°，又CA＝CB＝CF＝1，所以CD＝，CG＝，又BC⊥平面ACFD，所以VB-GCD＝×CG×CD×BC＝××××1＝.所以三棱錐G-ECD的體積為.  

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