2021版高考文科數(shù)學(xué)人教A版一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析7.4　直接證明與間接證明 學(xué)案

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(　　)A.假設(shè)a,b都不為0B.假設(shè)a,b至少有一個(gè)不為0C.假設(shè)a,b都為0D.假設(shè)a,b中至多有一個(gè)為03.若數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,公比q≠1,求證:1-an,1-an+1,1-an+2不可能成等比數(shù)列. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)【解析】1.選C.用反證法證明命題:“a,b,c,d∈R,a+b=1,c+d=1,且ac+bd>1,則a,b,c,d中至少有一個(gè)負(fù)數(shù)”時(shí)的假設(shè)為a,b,c,d全都大于等于0.2.選A.用反證法證明命題“若ab=0(a,b∈R),則a=0或b=0”時(shí),假設(shè)正確的是:假設(shè)a,b都不為0.3.假設(shè)1-an,1-an+1,1-an+2成等比數(shù)列,則(1-an+1)2=(1-an)(1-an+2),即1-2an+1+=1+anan+2-(an+an+2),因?yàn)閿?shù)列{an}是等比數(shù)列,所以=anan+2,所以2an+1=an+an+2,所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列,所以數(shù)列{an}是常數(shù)列,這與已知相矛盾,故假設(shè)不成立,所以1-an,1-an+1,1-an+2不可能成等比數(shù)列.　用反證法證明數(shù)學(xué)命題需把握的三點(diǎn)(1)必須先否定結(jié)論,即肯定結(jié)論的反面.(2)必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理,即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件,且必須依據(jù)這一條件進(jìn)行推證.(3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣,有的與已知矛盾,有的與假設(shè)矛盾,有的與已知事實(shí)矛盾等,但是推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的.考點(diǎn)二　分析法的應(yīng)用 【典例】1.分析法又稱執(zhí)果索因法,若用分析法證明“設(shè)a>b>c,且a+b+c=0,求證:<a”索的因應(yīng)是________. ①a-b>0;②a-c>0;③(a-b)(a-c)>0;④(a-b)(a-c)<0.2.已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)都是互不相等的正數(shù)的等差數(shù)列,求證:+<2.【解題導(dǎo)思】序號(hào)聯(lián)想解題1由a+b+c=0,想到 b=-a-c由<a,想到不等式兩邊平方2數(shù)列{an}是等差數(shù)列a1+a3=2a2【解析】1.由a>b>c,且a+b+c=0可得 b=-a-c,要證“<a”,只要證b2<3a2+ac,只要證3a2+ac-(-a-c)2>0,即證2a2-c2-ac>0,(a-c)(a+a+c)>0,即證(a-c)(a-b)>0,故“<a”索的因應(yīng)是(a-c)(a-b)>0.答案:③2.要證+<2,只要證a1+a3+2<4a2,因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列,所以a1+a3=2a2,只要證<a2,只要證<,因?yàn)閿?shù)列{an}各項(xiàng)均為互不相等的正數(shù),所以<成立,所以+<2.　關(guān)于分析法的應(yīng)用1.分析法證明問題的適用范圍當(dāng)已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接,或證明過程中所需用的知識(shí)不太明確、具體時(shí),往往采用分析法,特別是含有根號(hào)、絕對(duì)值的等式或不等式,常考慮用分析法.2.分析法的格式通常采用“欲證—只需證—已知”的格式,在表達(dá)中要注意敘述形式的規(guī)范性.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.求證:+=.【證明】要證+=,即證+=3,也就是+=1,只需證c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),需證c2+a2=ac+b2,又△ABC三內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,故B=60°,由余弦定理,得b2=c2+a2-2accos 60°,即b2=c2+a2-ac,故c2+a2=ac+b2成立.于是原等式成立.考點(diǎn)三　綜合法的應(yīng)用 命題精解讀考什么:(1)考查證明不等式、等式、平行、垂直、函數(shù)、數(shù)列結(jié)論等問題.(2)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng).怎么考:與不等式、數(shù)列、解析幾何、立體幾何、函數(shù)結(jié)合考查相關(guān)的證明問題.新趨勢(shì):以統(tǒng)計(jì)、概率、分布為載體,與其他知識(shí)交匯考查.學(xué)霸好方法1.綜合法的應(yīng)用(1)證明不等式:結(jié)合基本不等式、數(shù)列求和、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)利用綜合法證明.(2)證明相關(guān)的概念:結(jié)合數(shù)列的概念、導(dǎo)數(shù)極值、零點(diǎn)等知識(shí)利用綜合法證明.(3)幾何問題:結(jié)合解析幾何、立體幾何的相關(guān)知識(shí),利用綜合法證明相關(guān)的概念、線面的位置關(guān)系.2.交匯問題 與函數(shù)、不等式、幾何、概率等各章節(jié)知識(shí)交匯,綜合運(yùn)用與數(shù)列有關(guān)的證明【典例】已知正項(xiàng)數(shù)列{an}中,=an+2(n∈N*).(1)是否存在t,使得{an}為常數(shù)列且an=t.(2)求證:an≠2時(shí),數(shù)列{|an-2|}為單調(diào)遞減數(shù)列.【解析】(1)存在.由t2-t-2=0,得t=2或t=-1(舍去),故當(dāng)t=2時(shí),an=2,{an}為常數(shù)列.(2)由題意知an>0,且an≠2,故an+1=,所以===,顯然an>0,+2>3,所以<<1,數(shù)列{|an-2|}為單調(diào)遞減數(shù)列.本例中的分式是怎樣進(jìn)行變形的?提示:利用分子有理化進(jìn)行變形的.與函數(shù)有關(guān)的證明【典例】已知函數(shù)f(x)=+aln x-2,g(x)=+x2+x.(1)討論函數(shù)f(x)在定義域上的單調(diào)性.(2)當(dāng)a=3時(shí),求證:f(x)≤g(x)恒成立.【解析】(1)f'(x)=(x>0),當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)<0,在遞減,當(dāng)a>0時(shí),x∈時(shí),f'(x)<0,x∈時(shí),f'(x)>0,故f(x)在遞減,在遞增.(2)當(dāng)a=3時(shí),f(x)=+3ln x-2,令h(x)=g(x)-f(x)=x2+x-3ln x+2,則h'(x)=(x>0),令h'(x)>0,解得:x>1,令h'(x)<0,解得:0<x<1,故h(x)在遞減,在遞增,故h(x)極小值=h(x)min=h=4≥0,顯然成立,故g(x)≥f(x)恒成立.構(gòu)造差函數(shù)用什么方法證明恒成立?提示:構(gòu)造差函數(shù),通過求出差函數(shù)的最小值證明.與立體幾何有關(guān)的證明【典例】如圖,三棱柱ABC-A1B1C1,點(diǎn)A1在平面ABC內(nèi)的射影D在AC上,E是B1C1的中點(diǎn),∠BAC=∠CAA1=60°,且AB=AC=AA1.????????????? 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)(1)求證:DE∥平面AA1B1B.(2)求證:B1C⊥A1B.【證明】(1)因?yàn)辄c(diǎn)A1在平面ABC內(nèi)的射影D在AC上所以A1D⊥AC,又∠CAA1=60°,AC=AA1,所以D是AC的中點(diǎn),取A1B1的中點(diǎn)F.連接EF,AF.因?yàn)镋是B1C1的中點(diǎn),所以EF∥A1C1,EF=A1C1.所以EF∥AD,EF=AD.所以四邊形ADEF是平行四邊形,故AF∥DE.因?yàn)锳F?平面AA1B1B,DE?平面AA1B1B.所以DE∥平面AA1B1B.(2)連接BD,AB1,由(1)知D是AC的中點(diǎn).又AB=AC,∠BAC=60°,所以BD⊥AC.所以AC⊥平面A1BD.所以AC⊥A1B.又AA1B1B是平行四邊形,AB=AA1,所以AB1⊥A1B.所以A1B⊥平面AB1C.所以B1C⊥A1B.1.(2019·平谷模擬)如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為直角梯形,AB∥CD,AB=2CD,BC⊥CD,側(cè)面CDD1C1⊥平面ABCD.(1)求證:CD1∥平面ABB1A1.(2)求證:BC⊥CD1.【證明】(1)四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,CC1∥BB1,BB1?平面ABB1A1,CC1?平面ABB1A1,所以CC1∥平面ABB1A1,又底面ABCD為直角梯形,所以CD∥AB,AB?平面ABB1A1,CD?平面ABB1A1,所以CD∥平面ABB1A1,因?yàn)镃D和CC1是平面CDD1C1的兩條相交直線,所以平面CDD1C1∥平面ABB1A1,又CD1?平面CDD1C1,所以CD1∥平面ABB1A1.(2)因?yàn)槠矫鍯DD1C1⊥平面ABCD,BC?平面ABCD,平面ABCD∩平面CDD1C1=CD,BC⊥CD,所以BC⊥平面CDD1C1,又CD1?平面CDD1C1,所以BC⊥CD1.2.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知3an-2Sn=2.(1)證明{an}是等比數(shù)列,并求出通項(xiàng)公式an.(2)求證:-SnSn+2=4×3n.【證明】(1)因?yàn)?an-2Sn=2,所以3an+1-2Sn+1=2,所以3an+1-3an-2(Sn+1-Sn)=0.因?yàn)镾n+1-Sn=an+1,所以=3,所以{an}是等比數(shù)列.當(dāng)n=1時(shí),3a1-2S1=2,又S1=a1,所以a1=2.所以{an}是以2為首項(xiàng),以3為公比的等比數(shù)列,其通項(xiàng)公式為an=2×3n-1.(2)由(1)可得Sn=3n-1,Sn+1=3n+1-1,Sn+2=3n+2-1,故-SnSn+2=(3n+1-1)2-(3n-1)(3n+2-1)=4×3n,即-SnSn+2=4×3n.(2019·三明模擬)計(jì)算:-1≈0.414,-≈0.318;所以-1>-;又計(jì)算:-2≈0.236,-≈0.213,-≈0.196,所以-2>-,->-.(1)分析以上結(jié)論,試寫出一個(gè)一般性的命題.(2)判斷該命題的真假,并給出證明.【解析】(1)一般性的命題:n是正整數(shù),則->-.(2)命題是真命題.因?yàn)?/span>-=,-=,>,所以->-. 關(guān)閉Word文檔返回原板塊