[最新考綱]　1.掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想．


1．圓的定義及方程
定義
平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合(軌跡)
標(biāo)準(zhǔn)方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圓心(a，b)，半徑r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F＞0)
圓心，
半徑
2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
點(diǎn)M(x0，y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系：
(1)若M(x0，y0)在圓外，則(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.
(2)若M(x0，y0)在圓上，則(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
(3)若M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.

圓的三個(gè)性質(zhì)
(1)圓心在過切點(diǎn)且垂直于切線的直線上；
(2)圓心在任一弦的中垂線上；
(3)兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線．

一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑． (　　)
(2)方程x2＋y2＝a2表示半徑為a的圓． (　　)
(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圓． (　　)
(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0. (　　)
[答案](1)√　(2)×　(3)×　(4)√
二、教材改編
1．圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標(biāo)和半徑分別是(　　)
A．(2,3)，3　　　　　　　 B．(－2,3)，
C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)，
D　[圓的方程可化為(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圓心坐標(biāo)是(2，－3)，半徑r＝.]
2．已知點(diǎn)A(1，－1)，B(－1,1)，則以線段AB為直徑的圓的方程是(　　)
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝
C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4
A　[AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，
|AB|＝＝2，所以圓的方程為x2＋y2＝2.]
3．過點(diǎn)A(1，－1)，B(－1,1)，且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程是(　　)
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
C　[設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a，b)，半徑為r.因?yàn)閳A心C在直線x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以a＝1，b＝1.所以r＝2.所以方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.]
4．在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(diǎn)(0,0)，(1,1)，(2,0)的圓的方程為 ．
x2＋y2－2x＝0　[設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.∵圓經(jīng)過點(diǎn)(0,0)，(1,1)，(2,0)，
∴ 解得
∴圓的方程為x2＋y2－2x＝0.]

考點(diǎn)1　圓的方程
　求圓的方程的2種方法
(1)幾何法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程．
(2)待定系數(shù)法：
①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a，b，r的值；
②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值．
(1)[一題多解]已知圓E經(jīng)過三點(diǎn)A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，且圓心在x軸的正半軸上，則圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)
A.＋y2＝　　　 B.＋y2＝
C.＋y2＝ D.＋y2＝
(2)[一題多解]已知圓C的圓心在直線x＋y＝0上，圓C與直線x－y＝0相切，且在直線x－y－3＝0上截得的弦長為，則圓C的方程為 ．
(1)C　(2) (x－1)2＋(y＋1)2＝2 　[(1)法一：(待定系數(shù)法)設(shè)圓E的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
則由題意得解得
所以圓E的一般方程為x2＋y2－x－1＝0，
即＋y2＝.
法二：(幾何法)因?yàn)閳AE經(jīng)過點(diǎn)A(0,1)，B(2,0)，
所以圓E的圓心在線段AB的垂直平分線y－＝2(x－1)上．又圓E的圓心在x軸的正半軸上，所以圓E的圓心坐標(biāo)為.
則圓E的半徑為|EB|＝＝，
所以圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝.
(2)法一：由圓C的圓心在直線x＋y＝0上，∴設(shè)圓C的圓心為(a，－a)．
又∵圓C與直線x－y＝0相切，
∴半徑r＝＝|a|.
又圓C在直線x－y－3＝0上截得的弦長為，
圓心(a，－a)到直線x－y－3＝0的距離d＝，
∴d2＋＝r2，即＋＝2a2，
解得a＝1，∴圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
法二：設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
則圓心為，半徑r＝，
∵圓心在直線x＋y＝0上，
∴－－＝0，即D＋E＝0，①
又∵圓C與直線x－y＝0相切，
∴＝，
即(D－E)2＝2(D2＋E2－4F)，
∴D2＋E2＋2DE－8F＝0.②
又知圓心到直線x－y－3＝0的距離
d＝，
由已知得d2＋2＝r2，
∴(D－E＋6)2＋12＝2(D2＋E2－4F)，③
聯(lián)立①②③，解得
故所求圓的方程為x2＋y2－2x＋2y＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.]
　幾何法與待定系數(shù)法是解答圓的有關(guān)問題的兩種常用方法，求解圓的方程時(shí)，可采用數(shù)形結(jié)合的思想充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)，達(dá)到事半功倍的效果．
　1.若不同的四點(diǎn)A(5,0)，B(－1,0)，C(－3,3)，D(a,3)共圓，則a的值為 ．
7　[設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，分別代入A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)，得
解得
所以A，B，C三點(diǎn)確定的圓的方程為
x2＋y2－4x－y－5＝0.
因?yàn)镈(a,3)也在此圓上，所以a2＋9－4a－25－5＝0.
所以a＝7或a＝－3(舍去)．即a的值為7.]
2．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標(biāo)是 ，半徑是 ．
(－2，－4)　5　[由已知方程表示圓，則a2＝a＋2，
解得a＝2或a＝－1.
當(dāng)a＝2時(shí)，方程不滿足表示圓的條件，故舍去．
當(dāng)a＝－1時(shí)，原方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
表示以(－2，－4)為圓心，半徑為5的圓．]
考點(diǎn)2　與圓有關(guān)的最值問題
　斜率型、截距型、距離型最值問題
　與圓有關(guān)的最值問題的3種幾何轉(zhuǎn)化法
(1)形如μ＝形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題．
(2)形如t＝ax＋by形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題．
(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題．
　已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值．
[解]　原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)為圓心，為半徑的圓．
(1)的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，
所以設(shè)＝k，即y＝kx.
當(dāng)直線y＝kx與圓相切時(shí)，斜率k取最大值或最小值，此時(shí)＝，解得k＝±(如圖1)．
所以的最大值為，最小值為－.

圖1　　　　圖2　　　　　圖3
(2)y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，當(dāng)直線y＝x＋b與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值，此時(shí)＝，解得b＝－2±(如圖2)．
所以y－x的最大值為－2＋，最小值為－2－.
(3)x2＋y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知，x2＋y2在原點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值(如圖3)．
又圓心到原點(diǎn)的距離為＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
　 與圓有關(guān)的 斜率型、截距型、距離型最值問題一般根據(jù)相應(yīng)幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解．
　已知點(diǎn)A(－1,0)，B(0,2)，點(diǎn)P是圓C：(x－1)2＋y2＝1上任意一點(diǎn)，則△PAB面積的最大值與最小值分別是(　　)
A．2,2－ B．2＋，2－
C.，4－ D.＋1，－1
B　[由題意知|AB|＝＝，
lAB：2x－y＋2＝0，由題意知圓C的圓心坐標(biāo)為(1,0)，
∴圓心到直線lAB的距離d＝＝.
∴S△PAB的最大值為××＝2＋，
S△PAB的最小值為××＝2－.]
　利用對(duì)稱性求最值
　求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均為動(dòng)點(diǎn))且與圓C有關(guān)的折線段的最值問題的基本思路：
(1)“動(dòng)化定”，把與圓上動(dòng)點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離．
(2)“曲化直”，即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過對(duì)稱性解決．
　已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|＋|PN|的最小值為(　　)
A．5－4 B.－1
C．6－2 D.
A　[(圖略)P是x軸上任意一點(diǎn)，則|PM|的最小值為|PC1|－1，同理|PN|的最小值為|PC2|－3，則|PM|＋|PN|的最小值為|PC1|＋|PC2|－4.作C1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′1(2，－3)．所以|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝5，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5－4.]
　本題在求解中要立足了兩點(diǎn)：(1)減少動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，借助圓的幾何性質(zhì)化圓上任意一點(diǎn)到點(diǎn)(a，b)的距離的最大(小)值為圓心到點(diǎn)(a，b)的距離加(減)半徑問題；(2)“曲化直”，即借助對(duì)稱性把折線段轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和的最值問題解決．
[教師備選例題]
(1)設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)y＝－圖象上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為(2a，a－3)(a∈R)，則|PQ|的最小值為 ．
(2)已知A(0,2)，點(diǎn)P在直線x＋y＋2＝0上，點(diǎn)Q在圓C：x2＋y2－4x－2y＝0上，則|PA|＋|PQ|的最小值是 ．
(1)－2　(2)2　[(1)函數(shù)y＝－的圖象表示圓(x－1)2＋y2＝4在x軸及下方的部

分，令點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，y)，
則 得y＝－3，
即x－2y－6＝0，作出圖象如圖所示，
由于圓心(1,0)到直線x－2y－6＝0的距離d＝＝>2，所以直線x－2y－6＝0與圓(x－1)2＋y2＝4相離，因此|PQ|的最小值是－2.
(2)因?yàn)閳AC：x2＋y2－4x－2y＝0，故圓C是以C(2,1)為圓心，半徑r＝的圓．設(shè)點(diǎn)A(0,2)關(guān)于直線x＋y＋2＝0的對(duì)稱點(diǎn)為A′(m，n)，故
解得
故A′(－4，－2)．
連接A′C交圓C于Q(圖略)，
由對(duì)稱性可知
|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2.]
　(2019·上饒模擬)一束光線從點(diǎn)A(－3,2)出發(fā)，經(jīng)x軸反射到圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路徑的長度是(　　)
A．4 B．5
C．5－1 D．2－1
C　[根據(jù)題意，設(shè)A′與A關(guān)于x軸對(duì)稱，且A(－3,2)，則A′的坐標(biāo)為(－3，－2)，又由A′C＝＝5，則A′到圓C上的點(diǎn)的最短距離為5－1.故這束光線從點(diǎn)A(－3,2)出發(fā)，經(jīng)x軸反射到圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路徑的長度是5－1，故選C.]
考點(diǎn)3　與圓有關(guān)的軌跡問題
　求與圓有關(guān)的軌跡問題的4種方法
(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)給定的條件列出方程求解．
(2)定義法：根據(jù)圓的定義列方程求解．
(3)幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)得出方程求解．
(4)代入法(相關(guān)點(diǎn)法)：找出要求的點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式求解．
　(2019·衡水調(diào)研)已知直角三角形ABC的斜邊為AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；
(2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程．
[解](1)法一：設(shè)C(x，y)，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線，所以y≠0.
因?yàn)锳C⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，
又kAC＝，kBC＝，
所以·＝－1，化簡得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
法二：設(shè)AB的中點(diǎn)為D，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得D(1,0)，由直角三角形的性質(zhì)知|CD|＝|AB|＝2.由圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以D(1,0)為圓心，2為半徑的圓(由于A，B，C三點(diǎn)不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn))．
所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)設(shè)M(x，y)，C(x0，y0)，因?yàn)锽(3,0)，M是線段BC的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，將x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
　此類問題在解題過程中，常因忽視對(duì)特殊點(diǎn)的驗(yàn)證而造成解題失誤．
[教師備選例題]
已知過原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的兩點(diǎn)A，B.
(1)求圓C1的圓心坐標(biāo)；
(2)求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程．
[解](1)由x2＋y2－6x＋5＝0得(x－3)2＋y2＝4，所以圓C1的圓心坐標(biāo)為(3,0)．
(2)設(shè)M(x，y)，因?yàn)辄c(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，
所以C1M⊥AB，所以kC1M ·kAB＝－1，當(dāng)x≠3時(shí)可得·＝－1，整理得＋y2＝，
又當(dāng)直線l與x軸重合時(shí)，M點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，代入上式成立．
設(shè)直線l的方程為y＝kx，與x2＋y2－6x＋5＝0聯(lián)立，
消去y得：(1＋k2)x2－6x＋5＝0.
令其判別式Δ＝(－6)2－4(1＋k2)×5＝0，得k2＝，此時(shí)方程為x2－6x＋5＝0，解上式得x＝，因此

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