考點1　平面圖形的翻折問題
　3步解決平面圖形翻折問題

　(2018·全國卷Ⅰ)如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，以DF為折痕把△DFC折起，使點C到達點P的位置，且PF⊥BF.
(1)證明：平面PEF⊥平面ABFD；
(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值．
[解]　(1)證明：由已知可得BF⊥PF，BF⊥EF，
PF∩EF＝F，PF，EF?平面PEF，
所以BF⊥平面PEF.
又BF?平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.
(2)如圖，作PH⊥EF，垂足為H.

由(1)得，PH⊥平面ABFD.
以H為坐標原點，的方向為y軸正方向，||為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系H-xyz.
由(1)可得，DE⊥PE.
又DP＝2，DE＝1，所以PE＝.
又PF＝1，EF＝2，所以PE⊥PF.
所以PH＝，EH＝.
則H(0，0，0)，P，D，
＝，＝.
又為平面ABFD的法向量，
設DP與平面ABFD所成的角為θ，
則sin θ＝|cos〈，〉|＝＝＝.
所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為.
　平面圖形翻折為空間圖形問題重點考查平行、垂直關系，解題關鍵是看翻折前后線面位置關系的變化，根據(jù)翻折的過程找到翻折前后線線位置關系中沒有變化的量和發(fā)生變化的量，這些不變的和變化的量反映了翻折后的空間圖形的結構特征．
[教師備選例題]
(2019·貴陽模擬)如圖所示，在梯形CDEF中，四邊形ABCD為正方形，且AE＝BF＝AB＝1，將△ADE沿著線段AD折起，同時將△BCF沿著線段BC折起，使得E，F(xiàn)兩點重合為點P.

(1)求證：平面PAB⊥平面ABCD；
(2)求直線PB與平面PCD的所成角的正弦值．
[解]　(1)證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD⊥AB，AD⊥AE，
∴AD⊥AP, ∴AD⊥平面PAB，
又∵AD?平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面PAB.

(2)以AB中點O為原點，建立空間坐標系如圖，
∵AE＝BF＝AB＝1，
∴AP＝AB＝BP＝1，
∴B，P(0，0，)，C，D，
∴＝，＝(1，0，0)，＝，
設n＝(x，y，z)是平面PCD 的一個法向量，
則即
取z＝2，則n＝(0，，2)，
設直線PB與平面PCD的所成角為θ，
則sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝＝，
故直線PB與平面PCD的所成角的正弦值為.
　(2019·廣州模擬)如圖1，在高為6的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝6，AB＝12，將它沿對稱軸OO1折起，使平面ADO1O⊥平面BCO1O，如圖2，點P為BC的中點，點E在線段AB上(不同于A，B兩點)，連接OE并延長至點Q，使AQ∥OB.

圖1　　　　　　圖2
(1)證明：OD⊥平面PAQ；
(2)若BE＝2AE，求二面角C-BQ-A的余弦值．
[解]　(1)證明：由題設知OA，OB，OO1兩兩垂直，
∴以O為坐標原點，OA，OB，OO1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
設AQ的長為m，則O(0，0，0)，A(6，0，0)，B(0，6，0)，C(0，3，6)，D(3，0，6)，Q(6，m，0)．
∵點P為BC的中點，
∴P，
∴＝(3，0，6)，＝(0，m，0)，＝.
∵·＝0，·＝0，
∴⊥，⊥，
即OD⊥AQ，OD⊥PQ，又AQ∩PQ＝Q，
∴OD⊥平面PAQ.
(2)∵BE＝2AE，AQ∥OB，∴AQ＝OB＝3，
則Q(6，3，0)，∴＝(－6，3，0)，＝(0，－3，6)．
設平面CBQ的法向量為n1＝(x，y，z)，
由得
令z＝1，則y＝2，x＝1，n1＝(1，2，1)．
易得平面ABQ的一個法向量為n2＝(0，0，1)．
設二面角C-BQ-A的大小為θ，由圖可知，θ為銳角，
則cos θ＝＝，
即二面角C-BQ-A的余弦值為.
考點2　立體幾何中的探究性問題
　(1)解決探究性問題的基本方法是假設結論成立或?qū)ο蟠嬖冢缓笤谶@個前提下進行邏輯推理，若能推導出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實，則說明假設成立，即存在，并可進一步證明；否則不成立，即不存在．
(2)在棱上探尋一點滿足各種條件時，要明確思路，設點坐標，應用共線向量定理a＝λb(b≠)，利用向量相等，所求點坐標用λ表示，再根據(jù)條件代入，注意λ的范圍．
(3)利用空間向量的坐標運算，可將空間中的探究性問題轉化為方程是否有解的問題進行處理．
　(2019·華南師大附中模擬)如圖，在五面體ABCDEF中，AB∥CD∥EF，AD⊥CD，∠DCF＝60°，CD＝EF＝CF＝2AB＝2AD＝2，平面CDEF⊥平面ABCD.
(1)求證：CE⊥平面ADF；
(2)已知P為棱BC上的點，試確定點P的位置，使二面角P-DF-A的大小為60°.
[解]　(1)證明：∵CD∥EF，CD＝EF＝CF，
∴四邊形CDEF是菱形，∴CE⊥DF.
∵平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD＝CD，AD⊥CD，AD?平面ABCD，
∴AD⊥平面CDEF，
∵CE?平面CDEF，∴AD⊥CE.
又∵AD?平面ADF，DF?平面ADF，AD∩DF＝D，
∴CE⊥平面ADF.
(2)由(1)知四邊形CDEF為菱形，
又∵∠DCF＝60°，
∴△DEF為正三角形．
如圖，取EF的中點G，連接GD，則GD⊥EF.
∵EF∥CD，∴GD⊥CD.
∵平面CDEF⊥平面ABCD，GD?平面CDEF，平面CDEF∩平面ABCD＝CD，
∴GD⊥平面ABCD.
又∵AD⊥CD，∴直線DA，DC，DG兩兩垂直．
以D為原點，分別以DA，DC，DG所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖的空間直角坐標系D-xyz.
∵CD＝EF＝CF＝2，AB＝AD＝1，
∴D(0，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，E(0，－1，)，F(xiàn)(0，1，)，∴＝(0，－3，)，＝(0，1，)，＝(1，－1，0)，＝(0，2，0)．
由(1)知是平面ADF的一個法向量．
設＝a＝(a，－a，0)(0≤a≤1)，
則＝＋＝(a，2－a，0)．
設平面PDF的法向量為n＝(x，y，z)，
則即
令y＝a，則x＝(a－2)，z＝－a，
∴n＝((a－2)，a，－a)．
∵二面角P-DF-A的大小為60°，
∴|cos〈n，〉|＝
＝＝，
解得a＝或a＝－2(不合題意，舍去)．
∴P在靠近點B的CB的三等分點處．
　(1)對于存在判斷型問題的求解，應先假設存在，把要成立的結論當作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉化為“點的坐標是否有解、是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等．
(2)對于位置探究型問題，通常借助向量，引進參數(shù)，綜合已知和結論列出等式，解出參數(shù).

[教師備選例題]
(2019·濰坊模擬)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點，M是棱PC上的點，PA＝PD＝2，BC＝AD＝1，CD＝.
(1)求證：平面PBC⊥平面PQB；
(2)當PM的長為何值時，平面QMB與平面PDC所成的銳二面角的大小為60°？
[解]　(1)證明：∵AD∥BC，Q為AD的中點，BC＝AD，
∴BC∥QD，BC＝QD，
∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴BQ∥CD.
∵∠ADC＝90°，∴BC⊥BQ.
∵PA＝PD，AQ＝QD，∴PQ⊥AD.
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴PQ⊥平面ABCD，∴PQ⊥BC.
又∵PQ∩BQ＝Q，∴BC⊥平面PQB.
∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PQB.
(2)由(1)可知PQ⊥平面ABCD.如圖，以Q為原點，分別以QA，QB，QP所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，則Q(0,0,0)，D(－1,0,0)，P(0,0，)，B(0，，0)，C(－1，，0)，
∴＝(0，，0)，＝(0，，0)，＝(1,0，)，＝(－1，，－)．
設平面PDC的法向量為n＝(x′，y′，z′)，則
即
令x′＝3，則y′＝0，z′＝－，
∴平面PDC的一個法向量為n＝(3,0，－)．
①當M與C重合時，平面MQB的法向量＝(0,0，)，則＝＝cos 60°，滿足題意．
②當M與C不重合時，
設＝λ，則＝(－λ，λ，－λ)，且0≤λ＜1，得M(－λ，λ，－λ)，
∴＝(－λ，λ，(1－λ))．
設平面MBQ的法向量為m＝(x，y，z)，則
即
令x＝，則y＝0，z＝，
∴平面MBQ的一個法向量為m＝.
∴平面QMB與平面PDC所成的銳二面角的大小為60°，
∴cos 60°＝＝＝，
∴λ＝.∴PM＝PC＝.
綜上知，PM＝或.

　(2019·北京高考)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝AD＝CD＝2，BC＝3.E為PD的中點，點F在PC上，且＝.
(1)求證：CD⊥平面PAD；
(2)求二面角F-AE-P的余弦值；
(3)設點G在PB上，且＝，判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說明理由．
[解]　(1)證明：因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.
又因為AD⊥CD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.
(2)過A作AD的垂線交BC于點M.
因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AM，PA⊥AD.

如圖建立空間直角坐標系A-xyz，則A(0，0，0)，B(2，－1，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．
因為E為PD的中點，所以E(0，1，1)．
所以＝(0，1，1)，＝(2，2，－2)，＝(0，0，2)．
所以＝＝，＝＋＝.
設平面AEF的一個法向量為n＝(x，y，z)，
則
即
令z＝1，則y＝－1，x＝－1.于是n＝(－1，－1，1)．
又因為平面PAD的法向量為p＝(1，0，0)，
所以cos〈n，p〉＝＝－.
由題知，二面角F-AE-P為銳角，所以其余弦值為.
(3)直線AG在平面AEF內(nèi)．
因為點G在PB上，且＝，＝(2，－1，－2)，
所以＝＝，＝＋＝.
由(2)知，平面AEF的法向量n＝(－1，－1，1)．
所以·n＝－＋＋＝0.
所以直線AG在平面AEF內(nèi)．
　本題(3)先求得點G的坐標，然后結合平面AEF的法向量和直線AG的方向向量即可判斷直線是否在平面內(nèi)．
考點3　立體幾何中的最值問題
　解決空間圖形有關的線段、角、距離、面積、體積等最值問題，一般可以從三方面著手：一是從問題的幾何特征入手，充分利用其幾何性質(zhì)去解決；二是利用空間幾何體的側面展開圖；三是找出問題中的代數(shù)關系，建立目標函數(shù)，利用代數(shù)方法求目標函數(shù)的最值．解題途徑很多，在函數(shù)建成后，可用一次函數(shù)的端點法、二次數(shù)的配方法、公式法、函數(shù)有界法(如三角函數(shù)等)及高階函數(shù)的拐點導數(shù)法等．
　(1)(2019·衡水中學月考)如圖所示，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝面對角線B1D1上存在一點P使得A1P＋PB最短，則A1P＋PB的最小值為(　　)
A.　 B.
C．2＋ D．2
(2)(2019·三明模擬)如圖所示，PA⊥平面ADE，B，C分別是AE，DE的中點，AE⊥AD，AD＝AE＝AP＝2.
①求二面角A-PE-D的余弦值；
②點Q是線段BP上的動點，當直線CQ與DP所成的角最小時，求線段BQ的長．
(1)A　[如圖，把△A1B1D1折起至與平面BDD1B1共面，連接A1B交B1D1于P，則此時的A1P＋PB最短，即為A1B的長，在△A1B1B中，由余弦定理求得A1B＝，故選A.
(2)[解]?、僖驗镻A⊥平面ADE，AD?平面ADE，AB?平面ADE，所以PA⊥AD，PA⊥AB，
又因為AB⊥AD，所以PA，AD，AB兩兩垂直．
以{，，}為正交基底建立空間直角坐標系A-xyz，則各點的坐標為A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．

因為PA⊥AD，AD⊥AE，AE∩PA＝A，
所以AD⊥平面PAE，
所以是平面PAE的一個法向量，且＝(0，2，0)．
易得＝(1，1，－2)，＝(0，2，－2)．
設平面PED的法向量為m＝(x，y，z)．
則即
令y＝1，解得z＝1，x＝1.
所以m＝(1，1，1)是平面PED的一個法向量，
所以cos〈，m〉＝＝，
所以二面角A-PE-D的余弦值為.
②＝(－1，0，2)，故可設＝λ＝(－λ，0，2λ)(0≤λ≤1)．
又＝(0，－1，0)，所以＝＋＝(－λ，－1，2λ)．
又＝(0，－2，2)，
所以cos〈，〉＝＝.
設1＋2λ＝t，t∈[1，3]，
則cos2〈，〉＝＝≤，
當且僅當t＝，即λ＝時，
|cos〈，〉|的最大值為.
因為y＝cos x在上是減函數(shù)，
所以當λ＝時直線CQ與DP所成角取得最小值．
又因為BP＝＝，所以BQ＝BP＝.
　本例(1)屬于線段和的最值問題，求解時采用了化空間為平面，化折為直的重要手段；本例(2)屬于解決空間角的最值問題，求解時采用了把空間角的余弦三角函數(shù)值表示為參數(shù)λ的二次函數(shù)，利用這個函數(shù)的單調(diào)性求三角函數(shù)值的最值，求解時需要注意的是函數(shù)中自變量的取值范圍對最值的決定作用．
　(2018·全國卷Ⅲ)如圖，邊長為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧所在平面垂直，M是上異于C，D的點．
(1)證明：平面AMD⊥平面BMC；
(2)當三棱錐M-ABC體積最大時，求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值．
[解]　(1)證明：由題設知，平面CMD⊥平面ABCD，交線為CD.
因為BC⊥CD，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，所以BC⊥DM.
因為M為上異于C，D的點，且DC為直徑，所以DM⊥CM.
又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.
而DM?平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.
(2)以D為坐標原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz.
當三棱錐M-ABC體積最大時，M為的中點．由題設得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，M(0，1，1)，
＝(－2，1，1)，＝(0，2，0)，＝(2，0，0)．
設n＝(x，y，z)是平面MAB的法向量，則
即
可取n＝(1，0，2)．
是平面MCD的法向量，
因此cos〈n，〉＝＝，
sin〈n，〉＝.
所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是.


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