最新考綱
考情考向分析
1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程.
2.知道雙曲線的簡單幾何性質(zhì).
主要側(cè)重雙曲線的方程以及以雙曲線方程為載體，研究參數(shù)a，b，c及與漸近線有關(guān)的問題，其中離心率和漸近線是重點(diǎn).以選擇、填空題為主，難度為中低檔.一般不再考查與雙曲線相關(guān)的解答題，解題時(shí)應(yīng)熟練掌握基礎(chǔ)內(nèi)容及雙曲線方程的求法，能靈活應(yīng)用雙曲線的幾何性質(zhì).



1.雙曲線的概念
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c>2a，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.
2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
圖形


性質(zhì)
范圍
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
對(duì)稱性
對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸　對(duì)稱中心：原點(diǎn)
頂點(diǎn)
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
漸近線
y＝±x
y＝±x
離心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
實(shí)虛軸
線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長|A1A2|＝2a，線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長
a，b，c的關(guān)系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
概念方法微思考
1.平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a的動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定為雙曲線嗎？為什么？
提示　不一定.當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是兩條射線；
當(dāng)2a>|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在；
當(dāng)2a＝0時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段F1F2的中垂線.
2.與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a，b只限制a>0，b>0，二者沒有大小要求，若a>b>0，a＝b>0,00時(shí)，10，n>0，λ≠0)的漸近線方程是－＝0，即±＝0.(　√　)
(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.(　√　)
題組二　教材改編
2.若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長，則該雙曲線的離心率為(　　)
A. B.5　C. D.2
答案　A
解析　由題意知焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長，雙曲線的漸近線方程為±＝0，
即bx±ay＝0，
∴2a＝＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.
∴e2＝＝5，∴e＝.
3.已知a>b>0，橢圓C1的方程為＋＝1，雙曲線C2的方程為－＝1，C1與C2的離心率之積為，則C2的漸近線方程為(　　)
A.x±y＝0
B.x±y＝0
C.x±2y＝0
D.2x±y＝0
答案　A
解析　橢圓C1的離心率為，雙曲線C2的離心率為，所以·＝，即a4＝4b4，所以a＝b，所以雙曲線C2的漸近線方程是y＝±x，即x±y＝0.
4.經(jīng)過點(diǎn)A(4,1)，且對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線方程為________.
答案?。?
解析　設(shè)雙曲線的方程為－＝±1(a>0)，
把點(diǎn)A(4,1)代入，得a2＝15(舍負(fù))，
故所求方程為－＝1.
題組三　易錯(cuò)自糾
5.已知雙曲線的實(shí)軸長為8，離心率為2，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.
答案?。?或－＝1
解析　由題意知a＝4，e＝＝2，
∴c＝8，
∴b2＝c2－a2＝64－16＝48.
因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)位置不確定，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1或－＝1.
6.P是雙曲線－＝1上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是它的左、右焦點(diǎn)，且|PF1|＝9，則|PF2|＝________.
答案　17
解析　由題意知a＝4，b＝9，
c＝＝，
由于|PF1|＝90時(shí)，2m＝4，m＝2；當(dāng)m0，b>0)的一條漸近線方程為y＝x，且與橢圓＋＝1有公共焦點(diǎn)，則C的方程為(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案　B
解析　由y＝x，可得＝.①
由橢圓＋＝1的焦點(diǎn)為(3,0)，(－3,0)，
可得a2＋b2＝9.②
由①②可得a2＝4，b2＝5.
所以C的方程為－＝1.故選B.
3.經(jīng)過點(diǎn)P(－3,2)和點(diǎn)Q(－6，－7)的雙曲線方程為________.
答案?。?
解析　設(shè)雙曲線方程為mx2－ny2＝1(mn>0)，
∴解得
∴雙曲線方程為－＝1.
4.過雙曲線C：－＝1(a>b>0)的右頂點(diǎn)作x軸的垂線，與C的一條漸近線相交于點(diǎn)A.若以C的右焦點(diǎn)F為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過A，O兩點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案　A
解析　因?yàn)闈u近線y＝x與直線x＝a交于點(diǎn)A(a，b)，c＝4且＝4，解得a2＝4，b2＝12，因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.
思維升華　求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法
(1)定義法：由題目條件判斷出動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線，由雙曲線定義，確定2a,2b或2c，從而求出a2，b2，寫出雙曲線方程.
(2)待定系數(shù)法：先確定焦點(diǎn)在x軸還是y軸，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦點(diǎn)位置不好確定，可將雙曲線方程設(shè)為－＝λ(λ≠0)，再根據(jù)條件求λ的值.
注意?、匐p曲線與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程均可記為mx2＋ny2＝1(mn≠0)，其中當(dāng)m>0，n>0，且m≠n時(shí)表示橢圓；當(dāng)mn0)；
(iii)已知漸近線為±＝0的雙曲線方程可設(shè)為－＝λ(λ≠0).
雙曲線的幾何性質(zhì)
命題點(diǎn)1　漸近線
例2　(1)(2019·包頭青山區(qū)模擬)已知雙曲線9y2－m2x2＝1(m>0)的一個(gè)頂點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為，則m等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　D
解析　由已知，取頂點(diǎn)，漸近線3y－mx＝0，則頂點(diǎn)到漸近線的距離為＝，解得m＝4.
(2)(2020·湖北八市重點(diǎn)高中聯(lián)考)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P在曲線C上，若△PAB中，∠PBA＝∠PAB＋，則雙曲線C的漸近線方程為_______.
答案　y＝±x
解析　如圖，過B作BM⊥x軸，

∵∠PBA＝∠PAB＋，則∠PAB＝∠PBM，
∴∠PAB＋∠PBx＝，即kPA·kPB＝1.
設(shè)P(x，y)，又A(－a,0)，B(a,0)，·＝1，∴x2－y2＝a2，
∴a＝b，則雙曲線C的漸近線方程為y＝±x，
思維升華　求雙曲線的漸近線的方法
求雙曲線－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程的方法是令右邊的常數(shù)等于0，即令－＝0，得y＝±x；或令－＝0，得y＝±x.反之，已知漸近線方程為y＝±x，可設(shè)雙曲線方程為－＝λ(a>0，b>0，λ≠0).
命題點(diǎn)2　離心率
例3　(1)(2019·浙江)漸近線方程為x±y＝0的雙曲線的離心率是(　　)
A. B.1 C. D.2
答案　C
解析　因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為x±y＝0，所以無論雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上，都滿足a＝b，所以c＝a，所以雙曲線的離心率e＝＝.
(2)(2019·唐山模擬)設(shè)雙曲線C：－＝1(a>b>0)的兩條漸近線的夾角為α，且cos α＝，則C的離心率為(　　)
A. B. C. D.2
答案　B
解析　∵a>b>0，∴漸近線y＝x的斜率小于1，
∵兩條漸近線的夾角為α，cos α＝.
∴cos2＝，sin2＝，tan2＝，
∴＝，∴＝，∴e2＝，∴e＝.
(3)(2019·全國Ⅱ)設(shè)F為雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點(diǎn).若|PQ|＝|OF|，則C的離心率為(　　)
A. B. C.2 D.
答案　A
解析　如圖，由題意知，以O(shè)F為直徑的圓的方程為2＋y2＝，①

將x2＋y2＝a2，②
①－②得x＝，
則以O(shè)F為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2的相交弦所在直線的方程為x＝，
所以|PQ|＝2.
由|PQ|＝|OF|，得2＝c，
整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝，故選A.
(4)(2019·全國Ⅰ)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn).若＝，·＝0，則C的離心率為________.
答案　2
解析　因?yàn)椤ぃ?，所以F1B⊥F2B，如圖.因?yàn)椋?，所以點(diǎn)A為F1B的中點(diǎn)，又點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn)，所以O(shè)A∥BF2，所以F1B⊥OA，所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因?yàn)橹本€OA，OB為雙曲線C的兩條漸近線，

所以tan∠BOF2＝，tan∠BF1O＝.
因?yàn)閠an∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，
所以＝，所以b2＝3a2，
所以c2－a2＝3a2，
即2a＝c，所以雙曲線的離心率e＝＝2.
思維升華　求雙曲線的離心率
(1)求雙曲線的離心率或其范圍的方法
①求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
②列出含有a，b，c的等式(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解.
(2)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的漸近線的斜率k與離心率e的關(guān)系：k＝＝＝＝.
跟蹤訓(xùn)練2　(1)(2019·陜西漢中模擬)若雙曲線x2－＝1(m>0)的焦點(diǎn)到漸近線的距離是4，則m的值是(　　)
A.2 B. C.1 D.4
答案　D
解析　雙曲線x2－＝1(m>0)的焦點(diǎn)設(shè)為(c,0)，
當(dāng)雙曲線方程為－＝1時(shí)，
漸近線方程設(shè)為bx－ay＝0，可得焦點(diǎn)到漸近線的距離
d＝＝b，
故由題意可得b＝m＝4.
(2)(2019·安徽江淮十校模擬)已知點(diǎn)(1,2)是雙曲線－＝1(a>0，b>0)上一點(diǎn)，則其離心率的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　已知點(diǎn)(1,2)是雙曲線－＝1(a>0，b>0)上一點(diǎn)，得－＝1，
即＝b2＋4，
所以e＝＝＝>，所以e>.
(3)(2019·天津)已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.若l與雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，且|AB|＝4|OF|(O為原點(diǎn))，則雙曲線的離心率為(　　)
A. B. C.2 D.
答案　D
解析　由題意，可得F(1,0)，直線l的方程為x＝－1，雙曲線的漸近線方程為y＝±x.將x＝－1代入y＝±x，得y＝±，所以點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值均為.由|AB|＝4|OF|可得＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故雙曲線的離心率e＝＝＝.


1.(2020·衡水質(zhì)檢)對(duì)于實(shí)數(shù)m，“10，
解得－m20，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，又點(diǎn)N?.若雙曲線C左支上的任意一點(diǎn)M均滿足|MF2|＋|MN|>4b，則雙曲線C的離心率的取值范圍為(　　)
A.
B.
C.(1，)∪(，＋∞)
D.∪(，＋∞)
答案　D
解析　由雙曲線的定義可得，|MF2|－|MF1|＝2a.
由題意，雙曲線C左支上的任意一點(diǎn)M均滿足|MF2|＋|MN|>4b，
即雙曲線C左支上的任意一點(diǎn)M均滿足|MF1|＋|MN|>4b－2a，
而|MF1|＋|MN|≥|F1N|，
從而|F1N|>4b－2a，即>4b－2a，
整理得，32－＋4>0，
即>0.
所以2.
又e＝，所以10，b>0)漸近線上一點(diǎn)，則其離心率是________.
答案　
解析　因?yàn)辄c(diǎn)(1,2)是雙曲線－＝1(a>0，b>0)漸近線上一點(diǎn)，
所以，漸近線方程為y＝2x，所以＝2，
因此，e＝＝＝.
10.(2020·焦作模擬)已知左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2的雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線與直線l：x－2y＝0相互垂直，點(diǎn)P在雙曲線C上，且|PF1|－|PF2|＝3，則雙曲線C的焦距為________.
答案　3
解析　雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的漸近線為y＝±x，
一條漸近線與直線l：x－2y＝0相互垂直，可得＝2，
即b＝2a，由雙曲線的定義可得2a＝|PF1|－|PF2|＝3，
可得a＝，b＝3，
即有c＝＝＝，
即焦距為2c＝3.
11.(2019·衡水調(diào)研)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的實(shí)軸長為2，若雙曲線C有兩條漸近線與圓Ω：x2＋y2＝2交于M，N，P，Q四個(gè)點(diǎn)，且矩形MNPQ的面積為b，則雙曲線C的離心率為________.
答案　2
解析　由題意得2a＝2，則a＝1，
故雙曲線C的漸近線方程為y＝±bx，設(shè)第一象限的交點(diǎn)為N(x0，y0)，
則解得x＝.
又矩形MNPQ的面積為2x0·2y0＝4x0y0＝＝b，
解得b＝，
故c＝＝2，
所以雙曲線C的離心率為2.
12.(2020·臨川一中模擬)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)中，A1，A2是左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，B是虛軸的上端點(diǎn).若在線段BF上(不含端點(diǎn))存在不同的兩點(diǎn)Pi(i＝1,2)，使得·＝0，則雙曲線離心率的取值范圍是________.

答案　
解析　設(shè)c為半焦距，則F(c,0)，又B(0，b)，
所以BF：bx＋cy－bc＝0，
以A1A2為直徑的圓的方程為⊙O：x2＋y2＝a2，
因?yàn)椤ぃ?，i＝1,2，
所以⊙O與線段BF有兩個(gè)交點(diǎn)(不含端點(diǎn))，
所以即
故解得0)的兩條漸近線將平面劃分為“上、下、左、右”四個(gè)區(qū)域(不含邊界)，若點(diǎn)(2,1)在“右”區(qū)域內(nèi)，則雙曲線離心率e的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　依題意知，雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝±x，且“右”區(qū)域由不等式組確定，又點(diǎn)(2,1)在“右”區(qū)域內(nèi)，所以1，因此雙曲線的離心率e＝∈.
14．(2019·江南十校聯(lián)考)已知雙曲線C1，C2的焦點(diǎn)分別在x軸，y軸上，漸近線方程都為y＝±x(a>0)，離心率分別為e1，e2，則e1＋e2的最小值為________．
答案　2
解析　由題意得雙曲線C1的方程為－y2＝t(a>0，t>0)，
雙曲線C2的方程為y2－＝λ(a>0，λ>0)，
所以e1＝＝，e2＝＝，
所以e1＋e2＝＋≥2＝2≥2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝1時(shí)等號(hào)成立)．

15.(2020·廣東華附、省實(shí)、廣雅、深中聯(lián)考)過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)F(－c,0)作圓x2＋y2＝a2的切線，切點(diǎn)為E，延長FE交拋物線y2＝4cx于點(diǎn)P，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若＝(＋)，則雙曲線的離心率為(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　∵|OF|＝c，|OE|＝a，OE⊥EF，
∴|EF|＝＝b，
∵＝(＋)，
∴E為PF的中點(diǎn)，|OP|＝|OF|＝c，|PF|＝2b，
設(shè)F′(c,0)為雙曲線的右焦點(diǎn)，也為拋物線的焦點(diǎn)，
則EO為△PFF′的中位線，
則|PF′|＝2|OE|＝2a，可設(shè)P的坐標(biāo)為(m，n)，
則有n2＝4cm，
由拋物線的定義可得|PF′|＝m＋c＝2a，
m＝2a－c，n2＝4c(2a－c)，
又|OP|＝c，即有c2＝(2a－c)2＋4c(2a－c)，
化簡可得，c2－ac－a2＝0，即e2－e－1＝0，
由于e>1，解得e＝.
16.(2020·長沙雅禮中學(xué)模擬)已知F是雙曲線C：x2－＝1的右焦點(diǎn)，P是C左支上一點(diǎn)，A(0,6)，當(dāng)△APF周長最小時(shí)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________.
答案　(－2,2)
解析　如圖，由雙曲線C的方程可知a2＝1，b2＝8，

∴c2＝a2＋b2＝1＋8＝9，
∴c＝3，
∴左焦點(diǎn)E(－3,0)，
右焦點(diǎn)F(3,0)，
∵|AF|＝＝15，
∴當(dāng)△APF的周長最小時(shí)，|PA|＋|PF|最小.
由雙曲線的性質(zhì)得|PF|－|PE|＝2a＝2，
∴|PF|＝|PE|＋2，
又|PE|＋|PA|≥|AE|＝|AF|＝15，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，E三點(diǎn)共線且點(diǎn)P在線段AE上時(shí)，等號(hào)成立，
∴△APF的周長為|AF|＋|AP|＋|PF|＝15＋|PE|＋|AP|＋2≥15＋15＋2＝32.
直線AE的方程為y＝2x＋6，將其代入到雙曲線方程得x2＋9x＋14＝0，解得x＝－7(舍)或x＝－2，
由x＝－2，得y＝2(負(fù)值已舍)，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2,2).

英語朗讀寶
相關(guān)資料 更多
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部