最新考綱
考情考向分析
1.了解橢圓的實(shí)際背景，了解橢圓在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用.
2.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).
3.能夠把研究直線(xiàn)與橢圓位置關(guān)系的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究方程解的問(wèn)題，會(huì)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及判別式解決問(wèn)題.
在高考中橢圓出現(xiàn)的次數(shù)最多，主要考查橢圓的定義、性質(zhì)、方程，在解答題中多與直線(xiàn)、向量、軌跡等綜合出現(xiàn).



1.橢圓的概念
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c0，c>0，且a，c為常數(shù).
2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
圖形


性
質(zhì)
范圍
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
對(duì)稱(chēng)性
對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸　　　對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)
頂點(diǎn)坐標(biāo)
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b，0)，B2(b，0)
軸
長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為2a；短軸B1B2的長(zhǎng)為2b
焦距
|F1F2|＝2c
離心率
e＝∈(0，1)
a，b，c的關(guān)系
a2＝b2＋c2

概念方法微思考
1.在橢圓的定義中，若2a＝|F1F2|或2a0，m≠n)表示的曲線(xiàn)是橢圓.(　√　)
(4)＋＝1(a>b>0)與＋＝1(a>b>0)的焦距相等.(　√　)
題組二　教材改編
2.橢圓＋＝1的焦距為4，則m等于(　　)
A.4 B.8　C.4或8 D.12
答案　C
解析　當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，10－m>m－2>0，10－m－(m－2)＝4，∴m＝4.
當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4，∴m＝8.
∴m＝4或8.
3.過(guò)點(diǎn)A(3，－2)且與橢圓＋＝1有相同焦點(diǎn)的橢圓的方程為(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　A
解析　由題意知c2＝5，可設(shè)橢圓方程為＋＝1(λ>0)，則＋＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)，
∴所求橢圓的方程為＋＝1.
4.已知點(diǎn)P是橢圓＋＝1上y軸右側(cè)的一點(diǎn)，且以點(diǎn)P及焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2為頂點(diǎn)的三角形的面積等于1，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_________________.
答案　或
解析　設(shè)P(x，y)，由題意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以c＝1，則F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0).
由題意可得點(diǎn)P到x軸的距離為1，
所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，
得x＝±，又x>0，所以x＝，
所以P點(diǎn)坐標(biāo)為或.
題組三　易錯(cuò)自糾
5.若方程＋＝1表示橢圓，則m的取值范圍是(　　)
A.(－3，5)
B.(－5，3)
C.(－3，1)∪(1，5)
D.(－5，1)∪(1，3)
答案　C
解析　由方程表示橢圓知
解得－3|C1C2|＝6，即P在以C1(－3，0)，C2(3，0)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10的橢圓上，得點(diǎn)P的軌跡方程為＋＝1.
2.如圖，△ABC的頂點(diǎn)B，C在橢圓＋y2＝1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則△ABC的周長(zhǎng)是________.

答案　4
解析　∵a2＝3，∴a＝.
△ABC的周長(zhǎng)為|AC|＋|AB|＋|BC|＝|AC|＋|CF2|＋|AB|＋|BF2|＝2a＋2a＝4a＝4.
3.設(shè)點(diǎn)P為橢圓C：＋＝1(a>2)上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左、右焦點(diǎn)，且∠F1PF2＝60°，則△PF1F2的面積為_(kāi)_______.
答案　
解析　由題意知，c＝.又∠F1PF2＝60°，|F1P|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2，∴|F1F2|2＝(|F1P|＋|PF2|)2－2|F1P||PF2|－2|F1P|·|PF2|cos 60°＝4a2－3|F1P|·|PF2|＝4a2－16，
∴|F1P|·|PF2|＝，∴＝|F1P|·|PF2|sin 60°＝××＝.
4.已知F是橢圓5x2＋9y2＝45的左焦點(diǎn)，P是此橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，A(1，1)是一定點(diǎn)，則|PA|＋|PF|的最大值為_(kāi)_______，最小值為_(kāi)_______.
答案　6＋　6－
解析　橢圓方程化為＋＝1，
設(shè)F1是橢圓的右焦點(diǎn)，則F1(2，0)，
∴|AF1|＝，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，
又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(當(dāng)P，A，F(xiàn)1共線(xiàn)時(shí)等號(hào)成立)，
∴|PA|＋|PF|≤6＋，|PA|＋|PF|≥6－.
思維升華　橢圓定義的應(yīng)用技巧
(1)橢圓定義的應(yīng)用主要有：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)、面積及弦長(zhǎng)、最值和離心率等.
(2)通常定義和余弦定理結(jié)合使用，求解關(guān)于焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)和面積問(wèn)題.
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
命題點(diǎn)1　定義法
例1　(1)(2020·湖北“荊、荊、襄、宜”四地七校聯(lián)考)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，過(guò)F2的直線(xiàn)與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若△F1AB的周長(zhǎng)為8，則橢圓方程為(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1　C.＋y2＝1 D.＋＝1
答案　A
解析　如圖，由橢圓的定義可知，△F1AB的周長(zhǎng)為4a，

∴4a＝8，a＝2，又離心率為，
∴c＝1，b2＝3，所以橢圓方程為＋＝1.
(2)(2019·全國(guó)Ⅰ)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，過(guò)F2的直線(xiàn)與C交于A，B兩點(diǎn).若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為(　　)
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　B
解析　由題意設(shè)橢圓的方程為＋＝1(a>b>0)，連接F1A，

令|F2B|＝m，則|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.
由橢圓的定義知，4m＝2a，得m＝，
故|F2A|＝a＝|F1A|，
則點(diǎn)A為橢圓C的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn).
令∠OAF2＝θ(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則sin θ＝＝.
在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝＝，
因?yàn)閏os 2θ＝1－2sin2θ，所以＝1－22，得a2＝3.
又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，
橢圓C的方程為＋＝1，故選B.
命題點(diǎn)2　待定系數(shù)法
例2　(1)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，(，)，則橢圓方程為_(kāi)_________.
答案?。?
解析　設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n).
由
解得m＝，n＝.
∴橢圓方程為＋＝1.
(2)過(guò)點(diǎn)(，－)，且與橢圓＋＝1有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______.
答案?。?
解析　方法一　(待定系數(shù)法)：設(shè)所求橢圓方程為＋＝1(k|F1F2|；利用待定系數(shù)法要先定形(焦點(diǎn)位置)，再定量，也可把橢圓方程設(shè)為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式.
(2)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩個(gè)應(yīng)用
①方程＋＝1與＋＝λ(λ>0)有相同的離心率.
②與橢圓＋＝1(a>b>0)共焦點(diǎn)的橢圓系方程為＋＝1(a>b>0，k＋b2>0)恰當(dāng)運(yùn)用橢圓系方程，可使運(yùn)算簡(jiǎn)便.
跟蹤訓(xùn)練1　(1)(2019·福建泉州模擬)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，M是橢圓上一點(diǎn)，若MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，則該橢圓的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1　C.＋＝1 D.＋＝1
答案　C
解析　設(shè)|MF1|＝m，|MF2|＝n，∵M(jìn)F1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，|F1F2|＝2，
∴m2＋n2＝20，mn＝8，
∴(m＋n)2＝36，∴m＋n＝2a＝6，∴a＝3.
∵c＝，∴b＝＝2.
∴橢圓的方程是＋＝1.
(2)與橢圓＋＝1有相同離心率且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，－)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______.
答案?。?或＋＝1
解析　方法一　∵e＝＝＝＝＝，若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)所求橢圓方程為＋＝1(m>n>0)，則1－2＝.從而2＝，＝.
又＋＝1，∴m2＝8，n2＝6.
∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)橢圓的方程為＋＝1(m>n>0)，
則＋＝1，且＝，解得m2＝，n2＝.
故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
方法二　若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)所求橢圓方程為＋＝t(t>0)，
將點(diǎn)(2，－)代入，得t＝＋＝2.
故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)方程為＋＝λ(λ>0)代入點(diǎn)(2，－)，得λ＝，
∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
橢圓的幾何性質(zhì)
命題點(diǎn)1　離心率
例3　(1)(2018·全國(guó)Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過(guò)A且斜率為的直線(xiàn)上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P＝120°，則C的離心率為(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　如圖，作PB⊥x軸于點(diǎn)B.

由題意可設(shè)|F1F2|＝|PF2|＝2，則c＝1，
由∠F1F2P＝120°，
可得|PB|＝，|BF2|＝1，
故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，
tan∠PAB＝＝＝，
解得a＝4，所以e＝＝.
(2)若橢圓上存在三點(diǎn)，使得這三點(diǎn)與橢圓中心恰好是一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的離心率為(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　設(shè)橢圓的方程為＋＝1(a>b>0)，根據(jù)橢圓與正方形的對(duì)稱(chēng)性，可畫(huà)出滿(mǎn)足題意的圖形，如圖所示，

因?yàn)閨OB|＝a，所以|OA|＝a，
所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
又點(diǎn)A在橢圓上，所以＋＝1，所以a2＝3b2，
所以a2＝3(a2－c2)，所以3c2＝2a2，
所以橢圓的離心率e＝＝.
(3)已知F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P，使∠F1PF2＝90°，則橢圓的離心率的取值范圍是________.
答案　
解析　若存在點(diǎn)P，則圓x2＋y2＝c2與橢圓有公共點(diǎn)，
則∠F1BF2≥90°(B為短軸端點(diǎn))，
即b≤cb>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，
∴離心率00)的離心率為e＝，右焦點(diǎn)為F(c，0)，方程ax2＋bx－c＝0的兩個(gè)實(shí)根分別為x1和x2，則點(diǎn)P(　　)
A.必在圓x2＋y2＝2內(nèi)
B.必在圓x2＋y2＝2上
C.必在圓x2＋y2＝2外
D.以上三種情形都有可能
答案　A
解析　∵橢圓的離心率e＝＝，
∴c＝a，b＝＝a，
∴ax2＋bx－c＝ax2＋ax－a＝0，
∵a≠0，
∴x2＋x－＝0，
又該方程的兩個(gè)實(shí)根分別為x1和x2，
x1＋x2＝－，x1x2＝－，
∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋1b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，若橢圓上存在點(diǎn)P使＝，求該橢圓的離心率的取值范圍.
解　由＝得＝.
又由正弦定理得＝，
所以＝，即|PF1|＝|PF2|.
又由橢圓的定義得|PF1|＋|PF2|＝2a，
所以|PF2|＝，|PF1|＝，
因?yàn)镻F2是△PF1F2的一邊，
所以有2c－0(0

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