2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案：第八章8.7雙曲線-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

1．雙曲線的概念
平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于F1F2的正數(shù))的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．
集合P＝{M||MF1－MF2|＝2a}，F(xiàn)1F2＝2c>2a，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.
2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
圖形

性
質(zhì)
范圍
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
對稱性
對稱軸：坐標(biāo)軸　對稱中心：原點
頂點
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
漸近線
y＝±x
y＝±x
離心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
實虛軸
線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長A1A2＝2a，線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長B1B2＝2b；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長
a，b，c
的關(guān)系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)

3.等軸雙曲線
實軸與虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，其方程為x2－y2＝λ(λ≠0)，離心率e＝，漸近線方程為y＝±x.

4．雙曲線的第二定義
平面內(nèi)動點P到定點F的距離和它到定直線l(點F不在直線l上)的距離的比是常數(shù)e(e>1)的點的軌跡是雙曲線．定點F是焦點，定直線l是準(zhǔn)線，常數(shù)e是離心率．雙曲線－＝1(a>0，b>0)的準(zhǔn)線方程為x＝±，雙曲線－＝1(a>0，b>0)的準(zhǔn)線方程為y＝±.
概念方法微思考
1．平面內(nèi)與兩定點F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值等于常數(shù)2a的動點的軌跡一定為雙曲線嗎？為什么？
提示　不一定．當(dāng)2a＝F1F2時，動點的軌跡是兩條射線；
當(dāng)2a>F1F2時，動點的軌跡不存在；
當(dāng)2a＝0時，動點的軌跡是線段F1F2的中垂線．
2．與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a，b只限制a>0，b>0，二者沒有大小要求，若a>b>0，a＝b>0,00時，10，n>0，λ≠0)的漸近線方程是－＝0，即±＝0.(　√　)
(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.(　√　)
題組二　教材改編
2．若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的焦點到其漸近線的距離等于實軸長，則該雙曲線的離心率為(　　)
A. B．5 C. D．2
答案　A
解析　由題意知焦點到其漸近線的距離等于實軸長，雙曲線的漸近線方程為±＝0，即bx±ay＝0，
∴2a＝＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.
∴e2＝＝5，∴e＝.
3．已知a>b>0，橢圓C1的方程為＋＝1，雙曲線C2的方程為－＝1，C1與C2的離心率之積為，則C2的漸近線方程為(　　)
A．x±y＝0 B.x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
答案　A
解析　橢圓C1的離心率為，雙曲線C2的離心率為，所以·＝，即a4＝4b4，所以a＝b，所以雙曲線C2的漸近線方程是y＝±x，即x±y＝0.
4．經(jīng)過點A(4,1)，且對稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線方程為________．
答案?。?
解析　設(shè)雙曲線的方程為－＝±1(a>0)，
把點A(4,1)代入，得a2＝15(舍負)，
故所求方程為－＝1.
題組三　易錯自糾
5．(多選)(2020·遼寧六校協(xié)作體月考)若方程＋＝1所表示的曲線為C，則下面四個命題中錯誤的是(　　)
A．若C為橢圓，則1b>0，∴漸近線y＝x的斜率小于1，
∵兩條漸近線的夾角為α，cos α＝.
∴cos2＝，sin2＝，tan2＝，
∴＝，∴＝，
∴e2＝，∴e＝.
(3)(2019·全國Ⅰ)雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線的傾斜角為130°，則C的離心率為(　　)
A．2sin 40° B．2cos 40°
C. D.
答案　D
解析　由題意可得－＝tan 130°，
所以e＝＝＝
＝＝.
(4)(2019·全國Ⅱ)設(shè)F為雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點，O為坐標(biāo)原點，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點．若PQ＝OF，則C的離心率為(　　)
A. B. C．2 D.
答案　A
解析　如圖，由題意知，以O(shè)F為直徑的圓的方程為2＋y2＝，①

將x2＋y2＝a2，②
①－②得x＝，
則以O(shè)F為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2的相交弦所在直線的方程為x＝，所以PQ＝2.
由PQ＝OF，得2＝c，
整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，
解得e＝，故選A.
思維升華　求雙曲線的離心率
(1)求雙曲線的離心率或其范圍的方法
①求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
②列出含有a，b，c的等式(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解．
(2)焦點在x軸上的雙曲線的漸近線的斜率k與離心率e的關(guān)系：k＝＝＝＝.
跟蹤訓(xùn)練2　(1)(2019·漢中模擬)若雙曲線x2－＝1(m>0)的焦點到漸近線的距離是4，則m的值是(　　)
A．2 B. C．1 D．4
答案　D
解析　雙曲線x2－＝1(m>0)的焦點設(shè)為(c,0)，
當(dāng)雙曲線方程為－＝1時，
漸近線方程設(shè)為bx－ay＝0，可得焦點到漸近線的距離
d＝＝b，
故由題意可得b＝m＝4.
(2)(2019·安徽江淮十校模擬)已知點(1,2)是雙曲線－＝1(a>0，b>0)上一點，則其離心率的取值范圍是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　已知點(1,2)是雙曲線－＝1(a>0，b>0)上一點，得－＝1，
即＝b2＋4，
所以e＝＝＝>，所以e>.
(3)(2019·天津)已知拋物線y2＝4x的焦點為F，準(zhǔn)線為l.若l與雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于點A和點B，且AB＝4OF(O為原點)，則雙曲線的離心率為(　　)
A. B. C．2 D.
答案　D
解析　由題意，可得F(1,0)，直線l的方程為x＝－1，雙曲線的漸近線方程為y＝±x.將x＝－1代入y＝±x，得y＝±，所以點A，B的縱坐標(biāo)的絕對值均為.由AB＝4OF可得＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故雙曲線的離心率e＝＝＝.