2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案：第三章高考專題突破一第1課時導(dǎo)數(shù)與不等式-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

第1課時　導(dǎo)數(shù)與不等式
證明不等式
命題點1　構(gòu)造函數(shù)法
例1　(2020·贛州模擬)已知函數(shù)f (x)＝1－，g(x)＝＋－bx，若曲線y＝f (x)與曲線y＝g(x)的一個公共點是A(1,1)，且在點A處的切線互相垂直．
(1)求a，b的值；
(2)證明：當(dāng)x≥1時，f (x)＋g(x)≥.
(1)解　因為f (x)＝1－，x>0，
所以f′(x)＝，f′(1)＝－1.
因為g(x)＝＋－bx，所以g′(x)＝－－－b.
因為曲線y＝f (x)與曲線y＝g(x)的一個公共點是A(1,1)，且在點A處的切線互相垂直，
所以g(1)＝1，且f′(1)·g′(1)＝－1，
所以g(1)＝a＋1－b＝1，g′(1)＝－a－1－b＝1，
解得a＝－1，b＝－1.
(2)證明　由(1)知，g(x)＝－＋＋x，
則f (x)＋g(x)≥?1－－－＋x≥0.
令h(x)＝1－－－＋x(x≥1)，
則h(1)＝0，h′(x)＝＋＋＋1＝＋＋1.
因為x≥1，所以h′(x)＝＋＋1>0，
所以h(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x≥1時，h(x)≥h(1)＝0，
即1－－－＋x≥0，
所以當(dāng)x≥1時，f (x)＋g(x)≥.

命題點2　分拆函數(shù)法
例2　(2019·福州期末)已知函數(shù)f (x)＝eln x－ax(a∈R)．
(1)討論f (x)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)a＝e時，證明：xf (x)－ex＋2ex≤0.
(1)解　f′(x)＝－a(x>0)．
①若a≤0，則f′(x)>0，f (x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；
②若a>0，則當(dāng)0時，f′(x)0，
所以只需證f (x)≤－2e，
當(dāng)a＝e時，由(1)知，f (x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減．
所以f (x)max＝f (1)＝－e，
記g(x)＝－2e(x>0)，則g′(x)＝，
所以當(dāng)00時，f (x)≤g(x)，
即f (x)≤－2e，即xf (x)－ex＋2ex≤0.
思維升華 (1)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本思路是依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最值，然后由f (x)≤f (x)max或f (x)≥f (x)min證得不等式．
(2)證明f (x)>g(x)，可以構(gòu)造函數(shù)h(x)＝f (x)－g(x)，然后利用h(x)的最值證明不等式．
(3)若直接求導(dǎo)比較復(fù)雜或無從下手時，可將待證式進(jìn)行變形分拆，構(gòu)造兩個函數(shù)，從而找到可以傳遞的中間量，達(dá)到證明的目的．
跟蹤訓(xùn)練1　(1)設(shè)函數(shù)f (x)＝ln x－x＋1.
①討論f (x)的單調(diào)性；
②證明：當(dāng)x∈(1，＋∞)時，10)，則g′(x)＝－，
易知g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，則g(x)max＝g(1)＝1，
所以2a≥1，即a≥.
故實數(shù)a的取值范圍是.
(2)證明　若a＝e，要證f (x)1時，令h′(x)>0，得x>ln a；
令h′(x)ln 2－1且x>0時，ex>x2－2ax＋1.
(1)解　由f (x)＝ex－2x＋2a，x∈R，得f′(x)＝ex－2，x∈R，令f′(x)＝0，得x＝ln 2.
于是當(dāng)x變化時，f′(x)，f (x)的變化情況如下表：
x
(－∞，ln 2)
ln 2
(ln 2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f (x)
↘
2(1－ln 2＋a)
↗

故f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，ln 2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln 2，＋∞)．
f (x)在x＝ln 2處取得極小值，極小值f (ln 2)＝2(1－ln 2＋a)．無極大值．
(2)證明　設(shè)g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R.于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知當(dāng)a>ln 2－1時，g′(x)的最小值為g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.于是對任意x∈R，都有g(shù)′(x)>0，
所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增．
于是當(dāng)a>ln 2－1時，對任意x∈(0，＋∞)，都有g(shù)(x)>g(0)．
又g(0)＝0，從而對任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0.
即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.
3．(2017·全國Ⅲ)已知函數(shù)f (x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x.
(1)討論f (x)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)a0，
故f (x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．
若a0；
當(dāng)x∈時，f′(x)0，f (x)是增函數(shù)，
當(dāng)0