第1課時(shí)　橢圓及其性質(zhì)
[最新考綱]　1.了解橢圓的實(shí)際背景，了解橢圓在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用.2.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)．

1．橢圓的定義
(1)我們把平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的集合叫作橢圓．這兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫作橢圓的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2間的距離叫作橢圓的焦距．
(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a＞0，c＞0.
①當(dāng)2a＞|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡為橢圓；
②當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡為線段F1F2；
③當(dāng)2a＜|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡不存在．
2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
圖形


性質(zhì)
范圍
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
對稱性
對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點(diǎn)
頂點(diǎn)坐標(biāo)
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
焦點(diǎn)坐標(biāo)
F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)
F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)
半軸長
長半軸長為a，短半軸長為b
離心率
e＝，且e∈(0,1)
a，b，c的關(guān)系
c2＝a2－b2

1．過橢圓焦點(diǎn)垂直于長軸的弦是最短的弦，長為，過焦點(diǎn)最長弦為長軸．
2．過原點(diǎn)最長弦為長軸長2a，最短弦為短軸長2b.
3．與橢圓＋＝1(a＞b＞0)有公共焦點(diǎn)的橢圓方程為＋＝1(λ＞－b2)．
4．焦點(diǎn)三角形：橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點(diǎn)三角形．若∠F1PF2＝θ，則
(1)|PF1|＋|PF2|＝2a.
(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ.
(3)S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，當(dāng)|y0|＝b，即P為短軸端點(diǎn)時(shí)，S△PF1F2取最大值，為bc.
(4)焦點(diǎn)三角形的周長為2(a＋c)．
(5)已知過焦點(diǎn)F1的弦AB，則△ABF2的周長為4a.

一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓． (　　)
(2)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓． (　　)
(3)＋＝1(a≠b)表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓． (　　)
(4)＋＝1(a＞b＞0)與＋＝1(a＞b＞0)的焦距相等． (　　)
[答案](1)×　(2)×　(3)×　(4)√
二、教材改編
1．設(shè)P是橢圓＋＝1上的點(diǎn)，若F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則|PF1|＋|PF2|等于(　　)
A．4 B．5　　　　
C．8　　　　 D．10
D　[依橢圓的定義知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10.]
2．已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率等于，則橢圓C的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
D　[設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a＞b＞0)．
因?yàn)闄E圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率e＝，所以解得
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.]
3．過點(diǎn)A(3，－2)且與橢圓＋＝1有相同焦點(diǎn)的橢圓的方程為(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
A　[設(shè)所求橢圓的方程為＋＝1(λ＞－4)，則有＋＝1，解得λ＝6，故所求橢圓方程為＋＝1.]
4．已知點(diǎn)P是橢圓＋＝1上y軸右側(cè)的一點(diǎn)，且以點(diǎn)P及焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2為頂點(diǎn)的三角形的面積等于1，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．
或　[設(shè)P(xP，yP)，xP＞0，由題意知|F1F2|＝2.
則S△PF1F2＝×|F1F2|×|yP|＝1，解得|yP|＝1.
代入橢圓的方程，得＋＝1，解得x＝，
因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為或.]
⊙考點(diǎn)1　橢圓的定義及應(yīng)用
　利用定義求方程、焦點(diǎn)三角形及最值的方法
求方程
通過對題設(shè)條件分析、轉(zhuǎn)化后，能夠明確動點(diǎn)P滿足橢圓的定義，便可直接求解其軌跡方程
求焦點(diǎn)三角形
利用定義求焦點(diǎn)三角形的周長和面積．解決焦點(diǎn)三角形問題常利用橢圓的定義、正弦定理或余弦定理．其中|PF1|＋|PF2|＝2a兩邊平方是常用技巧
求最值
抓住|PF1|與|PF2|之和為定值，可聯(lián)系到基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；利用定義|PF1|＋|PF2|＝2a轉(zhuǎn)化或變形，借助三角形性質(zhì)求最值
(1)已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，動圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為(　　)
A.－＝1　　　　　 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
(2)如圖，橢圓＋＝1(a＞2)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)，若∠F1PF2＝60°，那么△PF1F2的面積為(　　)

A. B.
C. D.
(3)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,4)，則|PM|－|PF1|的最小值為________．
(1)D　(2)D　(3)－5　[(1)設(shè)圓M的半徑為r，則|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以M的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)的橢圓，且 2a＝16,2c＝8，故所求的軌跡方程為＋＝1.
(2)由題意知|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|2＝4a2－16，
由余弦定理得
4a2－16＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，
即4a2－16＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|，
∴|PF1||PF2|＝，
∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin 60°＝，故選D.
(3)由題意知，點(diǎn)M在橢圓外部，且|PF1|＋|PF2|＝10，則|PM|－|PF1|＝|PM|－(10－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－10≥|F2M|－10.(當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P，M，F(xiàn)2三點(diǎn)共線時(shí)等號成立)
又F2(3,0)，則|F2M|＝＝5.
∴|PM|－|PF1|≥－5，即|PM|－|PF1|的最小值為－5.]
　解答本例T(3)的關(guān)鍵是差式(|PM|－|PF1|)轉(zhuǎn)化為和式|PM|＋|PF2|－10.而轉(zhuǎn)化的依據(jù)為|PF1|＋|PF2|＝2a.
　1.已知A(－1,0)，B是圓F：x2－2x＋y2－11＝0(F為圓心)上一動點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交BF于P，則動點(diǎn)P的軌跡方程為(　　)
A.＋＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.＋＝1
D　[由題意得|PA|＝|PB|，
∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝2＞|AF|＝2，
∴點(diǎn)P的軌跡是以A，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓，且a＝，c＝1，∴b＝，
∴動點(diǎn)P的軌跡方程為＋＝1，故選D.]
2．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，過F2的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，若△AF1B的周長為12，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
D　[由橢圓的定義，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B的周長為|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，所以a＝3.因?yàn)闄E圓的離心率e＝＝，所以c＝2，所以b2＝a2－c2＝5，所以橢圓C的方程為＋＝1，故選D.]
3．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面積為9，則b＝________.
3　[設(shè)|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，則 所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，所以S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，所以b＝3.]
⊙考點(diǎn)2　橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
　求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種方法
(1)定義法．根據(jù)橢圓的定義，確定a2，b2的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置寫出橢圓方程．
(2)待定系數(shù)法．一般步驟如下：

(1)一個(gè)橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，P(2，)是橢圓上一點(diǎn)，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則橢圓的方程為________．
(2)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點(diǎn)P1(，1)，P2(，)，則橢圓的方程為________．
(3)[一題多解]與橢圓＋＝1有相同離心率且經(jīng)過點(diǎn)P(2，－)的橢圓方程為________．
(1)＋＝1　(2)＋＝1　(3)＋＝1或＋＝1　[(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a＞b＞0)，由點(diǎn)P(2，)在橢圓上知＋＝1.
又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2×2c，＝.又c2＝a2－b2，聯(lián)立得a2＝8，b2＝6，故橢圓方程為＋＝1.
(2)設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)．
∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)P1，P2，∴點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)適合橢圓方程，則
由①②兩式聯(lián)立，解得
∴所求橢圓的方程為＋＝1.
(3)法一：因?yàn)閑＝＝
＝＝＝，
若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)所求橢圓方程為＋＝1(m＞n＞0)，
則1－＝，從而＝，＝.又＋＝1，所以m2＝8，n2＝6.所以橢圓方程為＋＝1.
若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)橢圓方程為＋＝1(h＞k＞0)，
則＋＝1，且＝，
解得h2＝，k2＝.
故所求方程為＋＝1，故橢圓的方程為＋＝1或＋＝1.
法二：若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)所求橢圓方程為＋＝t(t＞0)，將點(diǎn)P(2，－)代入，得t＝＋＝2.故所求方程為＋＝1；若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)方程為＋＝λ(λ＞0)，
代入點(diǎn)P(2，－)，得λ＝，故所求方程為＋＝1.
故橢圓的方程為＋＝1或＋＝1.]
　離心率相同的兩個(gè)橢圓焦點(diǎn)可能在不同的軸上，因此要分類求解，如本例T(3)．
[教師備選例題]
1．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長、短半軸長之和為10，焦距為4，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)
A.＋＝1　　　　 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
C　[由長、短半軸長之和為10，焦距為4，可得a＋b＝10,2c＝4，∴c＝2.又a2＝b2＋c2，∴a2＝36，b2＝16.∵焦點(diǎn)在x軸上，∴所求橢圓方程為＋＝1.故選C.]
2．已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓過點(diǎn)A(－3,0)，且離心率e＝，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．
＋＝1或＋＝1　[若焦點(diǎn)在x軸上，由題知a＝3，因?yàn)闄E圓的離心率e＝，所以c＝，b＝2，所以橢圓方程是＋＝1.若焦點(diǎn)在y軸上，則b＝3，a2－c2＝9，又離心率e＝＝，解得a2＝，所以橢圓方程是＋＝1.]
　1.已知a，b∈R，則“a＞0＞b”是“－＝1表示橢圓”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
B　[當(dāng)a＞0＞b且a＝－b時(shí)，－＝1表示圓，充分性不成立；當(dāng)－＝1表示橢圓時(shí)，a＞0＞b且a≠－b，必要性成立，所以“a＞0＞b”是“－＝1表示橢圓”的必要不充分條件，故選B.]
2．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且短軸長為2，離心率為，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)
A.＋y2＝1 B.＋y2＝1
C.＋y2＝1 D.＋x2＝1
A　[由題意設(shè)橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)，則2b＝2，故b＝1.又＝，a2＝b2＋c2，∴a2＝5.∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1.故選A.]
⊙考點(diǎn)3　橢圓的幾何性質(zhì)
　求橢圓離心率的值(或范圍)

1．求橢圓離心率的方法
(1)定義法：根據(jù)條件求出a，c，直接利用公式e＝求解．
(2)方程法：根據(jù)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次等式(不等式)，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次等式(不等式)，然后將該齊次等式(不等式)兩邊同時(shí)除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e或e2的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．
2．求橢圓離心率范圍的兩種方法
方法
解法
適合題型
幾何法
利用橢圓的幾何性質(zhì)，設(shè)P(x0，y0)為橢圓＋＝1(a＞b＞0)上一點(diǎn)，則|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等關(guān)系，或者根據(jù)幾何圖形的臨界情況建立不等關(guān)系
題設(shè)條件有明顯的幾何關(guān)系
直接法
根據(jù)題目中給出的條件或根據(jù)已知條件得出不等關(guān)系，直接轉(zhuǎn)化為含有a，b，c的不等關(guān)系式
題設(shè)條件直接有不等關(guān)系
(1)(2018·全國卷Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，則C的離心率為(　　)
A．1－　　　 B．2－
C. D.－1
(2)已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過F1且垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B上下兩點(diǎn)，若△ABF2是銳角三角形，則該橢圓的離心率e的取值范圍是(　　)
A．(0，－1) B．(－1,1)
C．(0，－1) D．(－1,1)
(1)D　(2)B　[(1)由題設(shè)知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝c.由橢圓的定義得|PF1|＋|PF2|＝2a，即c＋c＝2a，所以(＋1)c＝2a，故橢圓C的離心率e＝＝＝－1.故選D.
(2)∵F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過F1且垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B上下兩點(diǎn)，∴F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，A，B，∵△ABF2是銳角三角形，∴∠AF2F1＜45°，∴tan∠AF2F1＜1，∴＜1，整理得b2＜2ac，∴a2－c2＜2ac，兩邊同時(shí)除以a2，并整理，得e2＋2e－1＞0，解得e＞－1或e＜－－1(舍去)，∵0＜e＜1，∴橢圓的離心率e的取值范圍是(－1,1)，故選B.]
　求離心率的取值范圍，關(guān)鍵是尋找關(guān)于a，b，c的不等式，如本例T(2)，利用等腰三角形是銳角三角形，則頂角的一半小于，建立不等式求解．
[教師備選例題]
1．已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，現(xiàn)以F2為圓心作一個(gè)圓恰好經(jīng)過橢圓中心并且交橢圓于點(diǎn)M，N，若過F1的直線MF1是圓F2的切線，則橢圓的離心率為(　　)
A.　　　B．2－　　　C.　　　D.－1

D　[如圖所示．
由題意可得MF1⊥MF2，|MF2|＝c，|MF1|＝2a－c，|F1F2|＝2c，
所以c2＋(2a－c)2＝4c2，
化為c2＋2ac－2a2＝0，
即e2＋2e－2＝0，e∈(0,1)，
解得e＝－1，故選D.]
2．已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，直線l：3x－4y＝0交橢圓E于A，B兩點(diǎn)．若|AF|＋|BF|＝4，點(diǎn)M到直線l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
A　[根據(jù)橢圓的對稱性及橢圓的定義可得A，B兩點(diǎn)到橢圓的左、右焦點(diǎn)的距離和為4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.又d＝≥，所以1≤b＜2，所以e＝＝＝.因?yàn)?≤b＜2，所以0＜e≤，故選A.]
　與橢圓性質(zhì)有關(guān)的最值(范圍)問題
　與橢圓有關(guān)的最值或范圍問題的求解方法
(1)利用數(shù)形結(jié)合、幾何意義，尤其是橢圓的性質(zhì)，求最值或取值范圍．
(2)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)求最值或取值范圍．
(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范圍．
(4)利用一元二次方程的判別式求最值或取值范圍．
(1)(2017·全國卷Ⅰ)設(shè)A，B是橢圓C：＋＝1長軸的兩個(gè)端點(diǎn)．若C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB＝120°，則m的取值范圍是(　　)
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞)
(2)(2019·開封模擬)如圖，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓＋＝1的離心率e＝，F(xiàn)，A分別是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，則·的最大值為________．

(1)A　(2)4　[(1)當(dāng)0＜m＜3時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上，要使C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB＝120°，
則≥tan 60°＝，即≥，解得0＜m≤1.
當(dāng)m＞3時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上，
要使C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB＝120°，
則≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9.
故m的取值范圍為(0,1]∪[9，＋∞)．
(2)由題意知a＝2，因?yàn)閑＝＝，
所以c＝1，b2＝a2－c2＝3.
故橢圓方程為＋＝1.
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)．
所以－2≤x0≤2，－≤y0≤.
因?yàn)镕(－1,0)，A(2,0)，
＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，
所以·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2.
則當(dāng)x0＝－2時(shí)，·取得最大值4.]
　橢圓中長軸兩端點(diǎn)(或兩焦點(diǎn))與短軸頂點(diǎn)所成的角最大，本例T(1)就是以此求解的．
　1.(2017·全國卷Ⅲ)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
A　[由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心為(0,0)，半徑為a.
又直線bx－ay＋2ab＝0與圓相切，
∴圓心到直線的距離d＝＝a，解得a＝b，
∴＝，∴e＝＝＝＝＝.故選A.]
2．已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是該橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)，那么|＋|的最小值是(　　)
A．4 B．6
C．8 D．10
C　[設(shè)M(x0，y0)，F(xiàn)1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)．則＝(－3－x0，－y0)，＝(3－x0，－y0)，所以＋＝(－2x0，－2y0)，|＋|＝
＝＝.
因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，所以0≤y≤16，
所以當(dāng)y＝16時(shí)，|＋|取最小值為8.]

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