基礎(chǔ)知識(shí)整合

1．橢圓的概念
在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡(或集合)叫做橢圓.這兩定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距.
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)：
(1)若a>c，則集合P表示橢圓；
(2)若a＝c，則集合P表示線段；
(3)若ab>0)
＋＝1(a>b>0)
圖形


性質(zhì)
范圍
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
對(duì)稱(chēng)性
對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸　　對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)
頂點(diǎn)
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
軸
長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為2a；短軸B1B2的長(zhǎng)為2b
焦距
|F1F2|＝2c
焦點(diǎn)
F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)
F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)
離心率
e＝∈(0,1)
a，b，c的關(guān)系
c2＝a2－b2

1．橢圓的焦點(diǎn)三角形
橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點(diǎn)三角形．如圖所示，設(shè)∠F1PF2＝θ.

(1)當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，θ最大．
(2)S＝|PF1||PF2|sinθ＝b2tan＝c|y0|，當(dāng)|y0|＝b時(shí)，即點(diǎn)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，S取最大值，最大值為bc.
(3)焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為2(a＋c)．
(4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ.
2．焦點(diǎn)弦(過(guò)焦點(diǎn)的弦)：焦點(diǎn)弦中以通徑(垂直于長(zhǎng)軸的焦點(diǎn)弦)最短，弦長(zhǎng)lmin＝.
3．AB為橢圓＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點(diǎn)M(x0，y0)，則
(1)弦長(zhǎng)l＝|x1－x2|＝|y1－y2|；
(2)直線AB的斜率kAB＝－.

1．已知橢圓＋＝1(m>0)的左焦點(diǎn)為F1(－4,0)，則m＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．9
答案　B
解析　由4＝(m>0 )?m＝3，故選B．
2．若橢圓x2＋my2＝1的焦點(diǎn)在y軸上，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，則m的值為(　　)
A． B．
C．2 D．4
答案　A
解析　將原方程變形為x2＋＝1.由題意知a2＝，b2＝1，∴a＝，b＝1.∴＝2，∴m＝.
3．(2019·北京高考)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，則(　　)
A．a(chǎn)2＝2b2 B．3a2＝4b2
C．a(chǎn)＝2b D．3a＝4b
答案　B
解析　因?yàn)闄E圓的離心率e＝＝，所以a2＝4c2.
又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2.故選B．
4．已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率等于，則橢圓C的方程是(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
答案　D
解析　依題意，設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，所以解得a2＝9，b2＝8.故橢圓C的方程為＋＝1.
5．(2019·西安模擬)已知點(diǎn)P(x1，y1)是橢圓＋＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是其左、右焦點(diǎn)，當(dāng)∠F1PF2最大時(shí)，△PF1F2的面積是(　　)
A． B．12
C．16(2＋) D．16(2－)
答案　B
解析　∵橢圓的方程為＋＝1，∴a＝5，b＝4，c＝＝3，∴F1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)．根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知當(dāng)點(diǎn)P與短軸端點(diǎn)重合時(shí)，∠F1PF2最大，此時(shí)△PF1F2的面積S＝×2×3×4＝12，故選B．
6．橢圓3x2＋ky2＝3的一個(gè)焦點(diǎn)是(0，)，則k＝________.
答案　1
解析　方程3x2＋ky2＝3可化為x2＋＝1.a2＝>1＝b2，c2＝a2－b2＝－1＝2，解得k＝1.
核心考向突破
考向一　橢圓定義及其應(yīng)用
例1　(1)已知圓(x＋2)2＋y2＝36的圓心為M，設(shè)A是圓上任意一點(diǎn)，N(2,0)，線段AN的垂直平分線交MA于點(diǎn)P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是(　　)
A．圓 B．橢圓
C．雙曲線 D．拋物線
答案　B
解析　點(diǎn)P在線段AN的垂直平分線上，故|PA|＝|PN|.又AM是圓的半徑，所以|PM|＋|PA|＝|PM|＋|PN|＝|AM|＝6>|MN|.由橢圓的定義知，P的軌跡是橢圓．
(2)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，|AF1|＝3|F1B|，且|AB|＝4，△ABF2的周長(zhǎng)為16.則|AF2|＝________.
答案　5
解析　由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3.∵△ABF2的周長(zhǎng)為16，∴4a＝16，∴a＝4.則|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，∴|AF2|＝8－|AF1|＝8－3＝5.

(1)橢圓定義的應(yīng)用范圍
①確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)有關(guān)的軌跡是否為橢圓．
②解決與焦點(diǎn)有關(guān)的距離問(wèn)題．
(2)焦點(diǎn)三角形的應(yīng)用
橢圓上一點(diǎn)P與橢圓的兩焦點(diǎn)組成的三角形通常稱(chēng)為“焦點(diǎn)三角形”，利用定義可求其周長(zhǎng)；利用定義和余弦定理可求|PF1|，|PF2|；通過(guò)整體代入可求其面積等．

[即時(shí)訓(xùn)練]　1.(2019·河北保定一模)與圓C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且與圓C2：(x－3)2＋y2＝81內(nèi)切的動(dòng)圓圓心P的軌跡方程為_(kāi)_______．
答案?。?
解析　設(shè)動(dòng)圓的半徑為r，圓心P(x，y)，則有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r，所以|PC1|＋|PC2|＝10>|C1C2|，即點(diǎn)P在以C1(－3,0)，C2(3,0)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10的橢圓上，即點(diǎn)P的軌跡方程為＋＝1.
2．已知橢圓C：＋＝1，點(diǎn)M與橢圓C的焦點(diǎn)不重合．若M關(guān)于橢圓C的焦點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為A，B，線段MN的中點(diǎn)在橢圓C上，則|AN|＋|BN|＝________.
答案　12
解析　取MN的中點(diǎn)為G，點(diǎn)G在橢圓C上．設(shè)點(diǎn)M關(guān)于橢圓C的焦點(diǎn)F1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A，點(diǎn)M關(guān)于橢圓C的焦點(diǎn)F2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B，則有|GF1|＝|AN|，|GF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12.
考向二　橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
例2　(1)(2019·全國(guó)卷Ⅰ)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，過(guò)F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為(　　)
A．＋y2＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
答案　B
解析　設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)，由橢圓定義可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a.
∵|AB|＝|BF1|，∴|AF1|＋2|AB|＝4a.
又|AF2|＝2|F2B|，∴|AB|＝|AF2|，
∴|AF1|＋3|AF2|＝4a.
又|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF2|＝a，
∴A為橢圓的短軸端點(diǎn)．如圖，不妨設(shè)A(0，b)，又F2(1,0)，＝2，∴B.將B點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程＋＝1，得＋＝1，

∴a2＝3，b2＝a2－c2＝2.
∴橢圓C的方程為＋＝1.故選B．
(2)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(，1)，P2(－，－)，則該橢圓的方程為_(kāi)_______.
答案?。?
解析　設(shè)橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)P1，P2兩點(diǎn)，所以點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)滿(mǎn)足橢圓方程，
則解得
所以所求橢圓的方程為＋＝1.

求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種方法
(1)定義法：根據(jù)橢圓的定義確定2a,2c，然后確定a2，b2的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置寫(xiě)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(2)待定系數(shù)法：具體過(guò)程是先定位，再定量，即首先確定焦點(diǎn)所在位置，然后根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組．如果焦點(diǎn)位置不確定，那么要考慮是否有兩解．有時(shí)為了解題方便，也可把橢圓方程設(shè)成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．解題步驟如下：
—
—
—
—

[即時(shí)訓(xùn)練]　3.(2019·青島模擬)已知F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F2且垂直于x軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝3，則C的方程為(　　)
A．＋y2＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
答案　C
解析　如圖，|AF2|＝|AB|＝，|F1F2|＝2，

由橢圓定義，得|AF1|＝2a－.?、?br /> 在Rt△AF1F2中，
|AF1|2＝|AF2|2＋|F1F2|2＝2＋22.?、?br /> 由①②得a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.
∴橢圓C的方程為＋＝1，應(yīng)選C．
4．已知A，B是圓：2＋y2＝4(F為圓心)上一動(dòng)點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交BF于點(diǎn)P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為_(kāi)_______．
答案　x2＋y2＝1
解析　如圖，由題意知|PA|＝|PB|，|PF|＋|BP|＝2.所以|PA|＋|PF|＝2且|PA|＋|PF|>|AF|，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以A，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓，a＝1，c＝，b2＝.所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋y2＝1.

考向三　橢圓的幾何性質(zhì)
例3　(1)(2019·云南保山期末)橢圓＋＝1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F1，若橢圓上存在一點(diǎn)P，滿(mǎn)足以橢圓短軸為直徑的圓與線段PF1相切于該線段的中點(diǎn)，則橢圓的離心率為(　　)
A． B．
C． D．
答案　D
解析　設(shè)線段PF1的中點(diǎn)為M，另一個(gè)焦點(diǎn)為F2，由題意知，|OM|＝b，又OM是△F2PF1的中位線，∴|OM|＝|PF2|＝b，|PF2|＝2b，由橢圓的定義知|PF1|＝2a－|PF2|＝2a－2b.

又|MF1|＝|PF1|＝(2a－2b)＝a－b，又|OF1|＝c，在直角三角形OMF1中，由勾股定理得(a－b)2＋b2＝c2，又a2－b2＝c2，可得2a＝3b，故有4a2＝9b2＝9(a2－c2)，由此可求得離心率e＝＝，故選D．
(2)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的半焦距為c，且滿(mǎn)足c2－b2＋ac0，y2>0，＋y＝1，所以S△OCD＝··＝＝＝＋≥2＝，即S△OCD≥，當(dāng)且僅當(dāng)＝y(tǒng)＝，即點(diǎn)B的坐標(biāo)為時(shí)，△OCD面積取得最小值，故選B．
8．(2019·廣西聯(lián)考)已知橢圓C：＋＝1(a>b>1)的焦距為2，過(guò)短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)的圓的面積為，過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)作斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為P.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)點(diǎn)P且垂直于AB的直線與x軸交于點(diǎn)D，求k的值．
解　(1)由題中條件，可得過(guò)橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)的圓的半徑為 .
設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(c,0)，
依題意知
又因?yàn)閎>1，解得a＝2，b＝，c＝1，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
(2)由題意，過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)的直線l的方程為
y＝k(x－1)，將其代入＋＝1，
得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝，x1x2＝，
所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝.
因?yàn)镻為線段AB的中點(diǎn)，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
又因?yàn)橹本€PD的斜率為－，
所以直線PD的方程為
y－＝－.
令y＝0，得x＝，
所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為，
則＝，解得k＝±1.
9．(2019·云南昆明模擬)已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓E過(guò)點(diǎn)C(0,1)，離心率為.
(1)求橢圓E的方程；
(2)直線l過(guò)橢圓E的左焦點(diǎn)F，且與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，若△OAB的面積為，求直線l的方程．
解　(1)設(shè)橢圓E的方程為＋＝1(a>b>0)，
由已知得解得a2＝2，b2＝1，
所以橢圓E的方程為＋y2＝1.
(2)由已知，直線l過(guò)左焦點(diǎn)F(－1,0)．
當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，A，B，
此時(shí)|AB|＝，則S△OAB＝××1＝，不滿(mǎn)足條件．
當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為
y＝k(x＋1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
因?yàn)镾△OAB＝|OF|·|y1－y2|＝|y1－y2|，
由已知S△OAB＝，得|y1－y2|＝.
因?yàn)閥1＋y2＝k(x1＋1)＋k(x2＋1)＝k(x1＋x2)＋2k＝k· ＋2k＝，
y1y2＝k(x1＋1)·k(x2＋1)＝k2(x1x2＋x1＋x2＋1)
＝，
所以|y1－y2|＝
＝＝，
所以k4＋k2－2＝0，解得k＝±1，
所以直線l的方程為x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.

1．已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2是橢圓x2＋2y2＝2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么|＋|的最小值是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．2
答案　C
解析　解法一：設(shè)P(x0，y0)，則＝(－1－x0，－y0)，＝(1－x0，－y0)，所以＋＝(－2x0，－2y0)，所以|＋|＝＝2＝2.因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以0≤y≤1，所以當(dāng)y＝1時(shí)，|＋|取最小值2.故選C．
解法二：由＋＝＋＋＋＝2，所以|＋|＝2|P|＝2，因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以x＋2y＝2，且0≤y≤1，則2＝2＝2，當(dāng)y＝1時(shí)，|＋|取最小值2.故選C．
2．已知F是橢圓＋＝1的左焦點(diǎn)，P是此橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，A(1,1)是一定點(diǎn)，求|PA|＋|PF|的最大值和最小值．

解　由題意知a＝3，b＝，c＝2，F(xiàn)(－2,0)．
設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為F′，則|PF|＋|PF′|＝6，所以|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF′|＋6.當(dāng)P，A，F(xiàn)′三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|－|PF′|取到最大值|AF′|＝，或者最小值－|AF′|＝－.
所以|PA|＋|PF|的最大值為6＋，最小值為6－.
3．在橢圓＋＝1上求一點(diǎn)，使它到直線2x－3y＋15＝0的距離最短．
解　設(shè)所求點(diǎn)坐標(biāo)為A(3cosθ，2sinθ)，θ∈R，
由點(diǎn)到直線的距離公式得
d＝
＝，
當(dāng)θ＝2kπ＋，k∈Z時(shí)，d取到最小值，
此時(shí)A點(diǎn)坐標(biāo)為(－3,2)．
答題啟示
橢圓中距離的最值問(wèn)題一般有三種解法：
(1)利用橢圓的定義結(jié)合平面幾何知識(shí)求解(適用于所求的表達(dá)式中隱含有長(zhǎng)軸或者離心率e)；
(2)根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，把距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值的問(wèn)題(適用于定點(diǎn)在橢圓的對(duì)稱(chēng)軸上)；
(3)用橢圓的參數(shù)方程設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題求解．
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
1．(2020·青海西寧復(fù)習(xí)檢測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P是橢圓＋＝1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A(1,1)，B(0，－1)，則|PA|＋|PB|的最大值為(　　)
A．5 B．4
C．3 D．2
答案　A
解析　∵橢圓的方程為＋＝1，∴a2＝4，b2＝3，c2＝1，∴B(0，－1)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，設(shè)另一個(gè)焦點(diǎn)為C(0,1)，如圖所示，根據(jù)橢圓的定義知，|PB|＋|PC|＝4，

∴|PB|＝4－|PC|，∴|PA|＋|PB|＝4＋|PA|－|PC|≤4＋|AC|＝5，即|PA|＋|PB|的最大值為5.
2．設(shè)P，Q分別為圓x2＋(y－6)2＝2和橢圓＋y2＝1上的點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)間的最大距離是(　　)
A．5 B．＋
C．7＋ D．6
答案　D
解析　解法一：設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)為Q(x，y)，且－≤x≤，－1≤y≤1，則圓心(0，6)到點(diǎn)Q的距離
d＝＝
＝，
當(dāng)y＝－時(shí)，dmax＝5，
P，Q兩點(diǎn)間的最大距離d′＝dmax＋＝6.
解法二：易知圓心坐標(biāo)為M(0,6)，|PQ|的最大值為|MQ|max＋，設(shè)Q(cosθ，sinθ)，
則|MQ|＝
＝
＝，
當(dāng)sinθ＝－時(shí)，|MQ|max＝5，
所以|PQ|max＝5＋＝6.故選D．
3．如圖，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓＋＝1的離心率e＝，F(xiàn)，A分別是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，則·的最大值為_(kāi)_______．

答案　4
解析　設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)．由題意知a＝2，
因?yàn)閑＝＝，所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝3.
所以橢圓方程為＋＝1.
所以－2≤x0≤2，－≤y0≤.
因?yàn)镕(－1,0)，A(2,0)，
＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，
所以·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1
＝(x0－2)2.
即當(dāng)x0＝－2時(shí)，·取得最大值4.

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