2020版江蘇高考數(shù)學(xué)名師大講壇一輪復(fù)習(xí)教程學(xué)案：第54課平面向量的基本定理與坐標(biāo)運算

第54課　平面向量的基本定理與坐標(biāo)運算1. 了解平面向量的基本定理及其意義.2. 掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；會用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運算；理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.1. 閱讀：必修4第74～81頁.2. 解悟：①平面向量基本定理；②平面向量的坐標(biāo)表示；③結(jié)合第78頁例4能得到什么一般性的結(jié)論嗎？3. 踐習(xí)：在教材空白處，完成第82頁習(xí)題第7～16題.　基礎(chǔ)診斷　1. 設(shè)向量＝(2，3)，且點A的坐標(biāo)為(2，3)，則點B的坐標(biāo)為　(4，6)　.解析：設(shè)點B的坐標(biāo)為(x，y)，＝－＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)，所以解得故點B的坐標(biāo)為(4，6).2. 已知向量a＝(1，1)，b＝(－1，1)，c＝(4，2)，則用向量a，b表示向量c＝　3a－b.解析：設(shè)c＝xa＋yb，所以(4，2)＝x(1，1)＋y(－1，1)＝(x－y，x＋y)，所以解得故c＝3a－b.3. 如圖所示，設(shè)O是平行四邊形ABCD兩對角線的交點，給出下列向量組：①與；②與；③與；④與.其中，可作為該平面內(nèi)其他向量的基底的是　①③　.(填序號)解析：因為與，與不共線，所以可以作為該平面內(nèi)其他向量的基底；因為與，與共線，所以不可作為該平面內(nèi)其他向量的基底，故選①③.4. 已知向量a＝(3，1)，b＝(1，3)，c＝(k，7)，若(a－c)∥b，則k＝　5　.  解析：由題意得a－c＝(3－k，1－7)＝(3－k，－6).因為(a－c)∥b，所以3(3－k)－(－6)×1＝0，解得k＝5.　范例導(dǎo)航　考向?  平面向量的基本定理例1　如圖所示，在△OCB中，C是以A為中點的點B的對稱點，D是將分為2∶1兩部分的一個內(nèi)分點，DC和OA交于點E，設(shè)＝a，＝b.(1) 用a和b表示向量，；(2)  若＝λ，求實數(shù)λ的值. 解析：(1)  由題意知，A是BC的中點，且＝.由平行四邊形法則得＋＝2，所以＝2－＝2a－b.＝－＝(2a－b)－b＝2a－b.(2) 由圖可知，與共線，所以存在實數(shù)t，使＝t.因為＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，＝2a－b，所以(2－λ)a－b＝2ta－tb，所以解得λ＝.故實數(shù)λ的值為.在△ABC中，P為邊BC上一點，且＝.　(1)  用，為基底表示＝　＋　；解析：因為＝，所以－＝(－)，所以＝＋，即＝＋.(2)  用，為基底表示＝　＋　Ｗ.解析：＝＋＝＋.考向?  平面向量的坐標(biāo)運算例2　已知向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1).(1) 求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n的值；(2) 若(a＋kc)∥(2b－a)，求實數(shù)k的值；(3) 若d滿足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d的坐標(biāo).解析：(1) 由題意得(3，2)＝m(－1，2)＋n(4，1)，所以解得故m的值為，n的值為.(2) a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，由題意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－.(3) 設(shè)d＝(x，y)，則d－c＝(x－4，y－1).又a＋b＝(2，4)，|d－c|＝，所以解得或所以d的坐標(biāo)為(3，－1)或(5，3).已知點A(2，3)，B(5，4)，C(10，8)，若＝＋λ(λ∈R)，則當(dāng)點P在第二象限時，λ的取值范圍為　　.解析：設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y).因為＝＋λ，所以(x－2，y－3)＝(3，1)＋λ(8，5)＝(3＋8λ，1＋5λ)，所以即因為點P在第二象限，所以解得－<λ<－.考向?  平面向量基本定理的綜合應(yīng)用例3　如圖，已知△ABC的面積為14，D，E分別為邊AB，BC上的點，且AD∶DB＝BE∶EC＝2∶1，AE與CD交于點P.設(shè)存在λ和μ，使得＝λ，＝μ，＝a，＝b.(1)  求λ及μ的值；(2)  用a，b表示；(3)  求△PAC的面積.解析：(1) 因為＝a，＝b，所以＝a＋b，＝a＋b.又因為＝λ＝λ(a＋b)，＝μ＝μ，＝＋＝＋＝a＋μ，所以a＋μ＝λ，所以解得(2) ＝＋＝－a＋＝－a＋b.(3) 設(shè)△ABC、△PAB、△PBC的高分別為h、h1、h2.因為h1∶h＝||∶||＝μ＝，所以S△PAB＝S△ABC＝8.又因為h2∶h＝||：||＝1－λ＝，所以S△PBC＝S△ABC＝2，所以S△PAC＝S△ABC－S△APB－S△PBC＝4.若a，b是一組基底，向量c＝xa＋yb(x，y∈R)，則稱(x，y)為向量c在基底a，b下的坐標(biāo)，現(xiàn)已知向量α在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐標(biāo)為(－2，2)，則α在另一組基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐標(biāo)為　(0，2)　.解析：因為α在基底p，q下的坐標(biāo)為(－2，2)，即α＝－2p＋2q＝－2(1，－1)＋2(2，1)＝(2，4).令α＝xm＋yn，則(2，4)＝x(－1，1)＋y(1，2)＝(－x＋y，x＋2y)，所以解得所以α在基底m，n下的坐標(biāo)為(0，2).　自測反饋　1. 已知a，b不共線，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c與d同向，則實數(shù)λ的值為　1　.解析：因為c與d同向，所以設(shè)c＝kd(k>0)，所以λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]＝ka＋k(2λ－1)b，所以解得λ＝1或λ＝－.因為k>0，所以λ＝1. 2.  已知點A(1，3)，B(4，－1)，則與同方向的單位向量為　　.解析：由題意得，＝(3，－4)，所以||＝＝5，所以與同方向的單位向量e＝＝(3，－4)＝.3. 如圖，已知||＝||＝1，與的夾角為120°，與的夾角為30°，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則＝　2　.解析：如圖，根據(jù)平行四邊形法則將向量沿與方向進(jìn)行分解.由題意可知∠OCD＝90°，所以在Rt△OCD中，sin∠COD＝＝＝＝sin 30°＝，所以＝2.4. 已知平行四邊形ABCD中A(－1，0)，B(3，0)，C(1，－5)，則點D的坐標(biāo)為　(－3，－5)　.解析：由題意可知，＝.設(shè)點D的坐標(biāo)為(x，y)，所以(x＋1，y)＝(－2，－5)，所以解得故點D的坐標(biāo)為(－3，－5).1. 向量的線性運算(加法、減法、實數(shù)與向量的積)可轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運算，借助坐標(biāo)運算討論平行共線、向量表示等，可使問題簡單，目標(biāo)明確.2. 應(yīng)用等價轉(zhuǎn)化思想處理問題，如點共線轉(zhuǎn)化為向量共線，基底的轉(zhuǎn)化等.3. 你還有哪些體悟，寫下來：