2020版江蘇高考數(shù)學(xué)名師大講壇一輪復(fù)習(xí)教程學(xué)案：第52課__直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

第52課　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1. 了解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，會(huì)用代數(shù)方法判斷其位置關(guān)系.2. 能運(yùn)用常見的數(shù)學(xué)思想方法解決直線與圓錐曲線的簡(jiǎn)單綜合問題.1.  閱讀：文科選修11第60頁(yè)復(fù)習(xí)題13、14、15；理科選修21第60～68頁(yè).2.  解悟：①直線與橢圓的位置關(guān)系有哪些？如何判定？②設(shè)斜率為k(k≠0)的直線l與曲線C相交于A(x1，y1)， B(x2，y2)兩點(diǎn)，則AB＝　　　　　　Ｗ.3. 踐習(xí)：在教材空白處，完成文科選修11第60～61頁(yè)復(fù)習(xí)題16、17；理科選修21第73頁(yè)復(fù)習(xí)題11、12.　基礎(chǔ)診斷　1. 直線y＝kx－k＋1與橢圓＋＝1的位置關(guān)系為　相交　.解析：直線y＝kx－k＋1恒過定點(diǎn)(1，1).又因?yàn)辄c(diǎn)(1，1)在橢圓內(nèi)部，故直線與橢圓相交.2. 若直線y＝kx與雙曲線－＝1相交，則k的取值范圍是　　.解析：把直線方程代入雙曲線方程得x2＝1.因?yàn)橹本€與雙曲線相交，所以－>0，解得－<k<，所以k的取值范圍是.3. 已知傾斜角為60°的直線l通過拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，則弦AB的長(zhǎng)為　16　.解析：由題意知拋物線的焦點(diǎn)為(0，1)，則直線l的方程為y＝x＋1，聯(lián)立消去x，得y2－14y＋1＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝14，所以AB＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16.4. 若橢圓＋＝1的弦被點(diǎn)(4，2)平分，則此弦所在直線的斜率為?。?/span>　Ｗ.解析：設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＋＝1①，＋＝1②，①－②得＝－.因?yàn)?/span>(4，2)是弦的中點(diǎn)，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以k＝＝－，即此弦所在直線的斜率為－.　范例導(dǎo)航　考向?  直線與圓錐曲線的位置關(guān)系例1　當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，直線y＝kx＋2和曲線2x2＋3y2＝6有兩個(gè)公共點(diǎn)？有一個(gè)公共點(diǎn)？沒有公共點(diǎn)？解析：由得2x2＋3(kx＋2)2＝6，即(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，Δ＝144k2－24(2＋3k2)＝72k2－48.當(dāng)Δ＝72k2－48>0，即k>或k<－時(shí)，直線和曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)Δ＝72k2－48＝0，即k＝或k＝－時(shí)，直線和曲線有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)Δ＝72k2－48<0，即－<k<時(shí)，直線和曲線沒有公共點(diǎn).已知雙曲線x2－＝1的一條漸近線與直線x－2y＋3＝0垂直，則實(shí)數(shù)a＝　4　Ｗ.解析：由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程特征知a>0，其漸近線方程為x±y＝0，可得漸近線x＋y＝0與直線x－2y＋3＝0垂直，所以a＝4.考向?  弦長(zhǎng)、弦中點(diǎn)問題例2　如圖所示，直線y＝kx＋b與橢圓＋y2＝1交于A、B兩點(diǎn)，記△AOB的面積為S. (1)  當(dāng)k＝0， 0<b<1時(shí)，求S的最大值；(2)  當(dāng)AB＝2，S＝1時(shí)，求直線AB的方程.解析：(1)  設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1，b)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x2，b)，由＋y2＝1，解得x＝±2，所以S＝b|x1－x2|＝2b≤b2＋1－b2＝1.當(dāng)且僅當(dāng)b＝時(shí)，等號(hào)成立，S取到最大值1.(2)  設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，　Δ＝16(4k2－b2＋1). ①AB＝|x1－x2|＝·＝2.②因?yàn)?/span>O到AB的距離d＝＝＝1，所以b2＝k2＋1.③將③代入②并整理，得4k4－4k2＋1＝0，解得k2＝，b2＝，代入①式檢查，Δ>0.故直線AB的方程是y＝x＋或y＝x－或y＝－x＋或y＝－x－.已知橢圓的兩焦點(diǎn)為F1(－，0)，F2(，0)，離心率e＝.(1)  求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)  設(shè)直線l：y＝x＋m，若l與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，且PQ等于橢圓的短軸長(zhǎng)，求實(shí)數(shù)m的值.　　解析：(1)  設(shè)橢圓方程為＋＝1 (a>b>0)，則c＝，＝，所以a＝2，b＝1，所以所求橢圓方程為＋y2＝1.(2)  由消去y得關(guān)于x的方程5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0，則Δ＝64m2－80(m2－1)>0，解得m2<5. ①設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1＋x2＝－m，x1x2＝，y1－y2＝x1－x2，所以PQ＝＝＝＝2，解得m2＝，滿足①，所以m＝±.考向?  由直線與圓錐曲線的位置確定參數(shù)例3　已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2，0)，離心率為，直線y＝k(x－1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N.(1) 求橢圓C的方程；(2) 當(dāng)△AMN的面積為時(shí)，求k的值.解析：(1) 由題意得解得b＝， 故所求橢圓C的方程為＋＝1.(2) 設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，由 得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝，所以MN＝＝＝.又點(diǎn)A(2，0)到直線y＝k(x－1)的距離d＝， 所以△AMN的面積S＝·MN·d＝，由＝，解得k＝±1.　自測(cè)反饋　1. 過點(diǎn)(0，1)作直線，使它與拋物線y2＝4x僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有　3　條.解析：由題意可得，當(dāng)直線為x＝0或y＝1時(shí)，即直線與x軸、y軸垂直時(shí)，滿足與拋物線y2＝4x僅有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)直線的斜率為k時(shí)，直線方程為y－1＝kx，將其代入拋物線方程，可得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，所以Δ＝(2k－4)2－4k2＝0，解得k＝1，即直線y＝x＋1與拋物線y2＝4x僅有一個(gè)公共點(diǎn)，故滿足條件的直線有3條.2. 已知△ABC的頂點(diǎn)A(－5，0)和C(5，0)，頂點(diǎn)B在雙曲線－＝1的右支上，則＝　　.解析：由題意得，△ABC的頂點(diǎn)A(－5，0)和C(5，0)，頂點(diǎn)B在雙曲線－＝1的右支上，可得AC＝10，BA－BC＝2a＝8.根據(jù)正弦定理得，在△ABC中，有＝＝＝.3. 已知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，過橢圓上一點(diǎn)M作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且斜率分別為k1，k2，若點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則k1·k2的值為?。?/span>　.解析：因?yàn)闄E圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，所以c＝k，a＝3k，b＝k，設(shè)M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，k1＝，k2＝.因?yàn)辄c(diǎn)M和點(diǎn)A都有橢圓＋＝1上，所以＋＝1，＋＝1，兩式相減得＝－＝－，所以k1·k2＝＝－.4. 若O，F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點(diǎn)，P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則·的最大值為　6　.解析：設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則·＝(x，y)·(x＋1，y)＝x2＋x＋y2.又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以＋＝1，所以·＝x2＋x＋3－x2＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2.又因?yàn)椋?/span>2≤x≤2，所以當(dāng)x＝2時(shí)，·取得最大值6.1. 判定直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，通常是將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，由方程組的解判斷位置關(guān)系.2. 設(shè)斜率為k(k≠0)的直線l與曲線C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則AB＝|x1－x2|＝·＝|y1－y2|＝·.3. 你還有哪些體悟，寫下來：