1．導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義
(1)了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景．
(2)通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．
2．導(dǎo)數(shù)的運算
(1)能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)y＝C(C為常數(shù))，y＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，y＝的導(dǎo)數(shù)．
(2)能利用以下給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．
常見基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和常用的導(dǎo)數(shù)運算法則：
C′＝0(C為常數(shù))；(xn)′＝nxn－1，n∈N*；
(sin x)′＝cos x；(cos x)′＝－sin x；
(ex)′＝ex；(ax)′＝axln a(a>0，且a≠1)；
(ln x)′＝；(logax)′＝logae(a>0，且a≠1)．
法則1：[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)；
法則2：[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)；
法則3：[]′＝(v(x)≠0)．
3．導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用
(1)了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項式函數(shù)不超過三次)．
(2)了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項式函數(shù)不超過三次)；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次)．
4．生活中的優(yōu)化問題
會利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題．

1．2014～2018年全國卷Ⅰ的考查情況

年份
考查內(nèi)容
分值
2014
第12題　用導(dǎo)數(shù)研究零點
第21題　(1)導(dǎo)數(shù)的切線，求參數(shù)
(2)由不等式求范圍
5分
12分


續(xù)表
年份
考查內(nèi)容
分值
2015
第14題　由切線求參數(shù)
第21題　(1)討論零點
(2)證明不等式
5分
12分

2016
第9題　函數(shù)圖象
第21題　(1)討論單調(diào)性
(2)根據(jù)零點求范圍
5分
12分

2017
第14題　求切線方程
第21題　(1)討論單調(diào)性
(2)恒成立求范圍
5分
12分

2018
第6題　求切線方程
第21題　(1)極值、單調(diào)性
(2)證明不等式
5分
12分

2.2014～2018年全國卷Ⅱ的考查情況

年份
考查內(nèi)容
分值
2014
第3題　存在極值的條件
第11題　單調(diào)性逆向問題
第21題　(1)由切線求參數(shù)
(2)證明有唯一交點
5分
5分
12分

2015
第16題　公切線問題
第21題　(1)討論單調(diào)性
(2)由取最值求范圍
5分
12分

2016
第20題　(1)求切線方程
(2)由不等式求范圍
12分

2017
第21題　(1)討論單調(diào)性
(2)恒成立求范圍
12分

2018
第13題　求切線方程
第21題　(1)討論單調(diào)性
(2)證明只有一個零點
5分
12分


導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用是高考考查的重點和熱點內(nèi)容，在2014年至2018年全國卷Ⅰ和卷Ⅱ直接考查本部分內(nèi)容的試題共19道，其中客觀題9道，解答題10道，一般是“一小一大”，占17分，多時達(dá)到22分．
客觀題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算及其幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，研究函數(shù)的零點，研究不等式的解集，通過導(dǎo)數(shù)討論有關(guān)參數(shù)的取值范圍．一般屬于中等難度題或偏難題．
解答題主要是考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，主要包括兩方面的綜合：一是導(dǎo)數(shù)本身的綜合，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等；二是和其他知識的綜合，主要包括導(dǎo)數(shù)與不等式、導(dǎo)數(shù)與方程的綜合，考查不等式的證明，由不等式求參數(shù)的范圍及討論函數(shù)的零點等．試題難度大，每年都將導(dǎo)數(shù)綜合問題作為壓軸題，著重考查化歸與轉(zhuǎn)化的思想、函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想和分類討論的思想，考查考生運算求解能力、綜合運用知識的能力和分析問題解決問題的能力．

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，是解決實際問題必不可少的數(shù)學(xué)工具，導(dǎo)數(shù)為解決函數(shù)問題、曲線問題提供了一般性的方法．由于求導(dǎo)可以解決函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值等問題，這樣既豐富了函數(shù)的內(nèi)容，也增大了函數(shù)綜合題的難度，因此成為高考命題的熱點．
通過對近幾年高考試題的分析研究，可以看出高考對導(dǎo)數(shù)的考查主要有三個層次：
第一個層次是考查導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義，求導(dǎo)的公式和求導(dǎo)的法則；
第二個層次是導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用，包括求函數(shù)的極值，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，證明函數(shù)的增減性等；
第三個層次是綜合考查，主要是將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容與傳統(tǒng)內(nèi)容中不等式、方程等有機地結(jié)合在一起考查，以函數(shù)為載體，以導(dǎo)數(shù)為工具，以考查考生綜合運用知識為目標(biāo)，是高考導(dǎo)數(shù)與函數(shù)交匯試題的顯著特點和命題趨向．
在復(fù)習(xí)過程中，要注意：
1．研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、切線等問題離不開求導(dǎo)，因此要熟練掌握導(dǎo)數(shù)的運算法則和常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，這是綜合運用的基礎(chǔ)．
2．熟練掌握可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的極值、最值的研究方法，尤其重視單調(diào)性在研究函數(shù)中的作用，從而從“數(shù)”和“形”兩方面把握函數(shù)的特征，為研究不等式、方程等提供方法，為綜合應(yīng)用打下基礎(chǔ)．
由于高考重視導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，特別注意利用導(dǎo)數(shù)研究不等式及方程的零點等有關(guān)問題，在本單元綜合應(yīng)用中，增加了“導(dǎo)數(shù)與不等式”“導(dǎo)數(shù)與方程”等內(nèi)容，要求通過復(fù)習(xí)掌握利用導(dǎo)數(shù)處理不等式的基本方法和技巧，掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點的基本方法．第二輪復(fù)習(xí)還將進一步深化.

第15講　導(dǎo)數(shù)的概念及運算
　　　　　　　　　　　


1．了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景．
2．通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求曲線的切線方程．
3．能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求一些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．
4．能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．

知識梳理
1．導(dǎo)數(shù)的概念
(1)平均變化率： 函數(shù)y＝f(x)從x0到x0＋Δx的平均變化率＝　　.
(2)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)
函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率　li 　通常稱為f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，并記作f′(x0)，即　f′(x0)＝li 　.
(3)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)
如果函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點都是可導(dǎo)的，就說f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)也是開區(qū)間(a，b)內(nèi)的函數(shù)，稱作f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記作　y′或f′(x)　.
2. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)y＝f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的 　切線的斜率　.
曲線在點P(x0，f(x0))處的切線方程是 　y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)　.
3．導(dǎo)數(shù)的運算
(1)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
①C′＝　0　(C為常數(shù))；
②(xn)′＝　nxn－1　(n∈Q)；
③(sin x)′＝　cos x??；
④(cos x)′＝?。璼in x　；
⑤(ax)′＝　axln a　(a>0且a≠1)；
⑥(ex)′＝　ex??；
⑦(logax)′＝　　 (a>0且a≠1)；
⑧(ln x)′＝　　.
(2)導(dǎo)數(shù)的運算法則
①和差的導(dǎo)數(shù)
[f(x)±g(x)]′＝　f′(x)±g′(x)　.
②積的導(dǎo)數(shù)
[f(x)·g(x)]′＝　f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)　.
③商的導(dǎo)數(shù)
[]′＝　　(g(x)≠0)．
熱身練習(xí)
1．若f(x)＝2x2圖象上一點(1,2)及附近一點(1＋Δx,2＋Δy)，則等于(C)
A．3＋2Δx B．4＋Δx
C．4＋2Δx D．3＋Δx
　 Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝2(1＋Δx)2－2
＝2[2Δx＋(Δx)2]，所以＝4＋2Δx.
2．設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，則 等于(C)
A．f′(1) B．2f′(1)
C.f′(1) D．f′(2)
　 因為f(x)可導(dǎo)，
所以 ＝ ＝f′(1)．
3．下列求導(dǎo)運算中正確的是(B)
A．(x＋)′＝1＋ B．(lg x)′＝
C．(ln x)′＝x D．(x2cos x)′＝－2xsin x
　 (x＋)′＝1－，故A錯；(ln x)′＝，故C錯；
(x2cos x)′＝2xcos x－x2sin x，D錯．
4．(2018·全國卷Ⅱ)曲線y＝2ln x在點(1,0)處的切線方程為　2x－y－2＝0　.
　 因為y′＝，y′＝2，
所以切線方程為y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2.
5．(1)(2016·天津卷)已知函數(shù)f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f′(0)的值為　3　.
(2)y＝，則y′x＝2＝　　.
　 (1)因為f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，
所以f′(0)＝3e0＝3.
(2)因為y′＝()′＝＝，
所以y′x＝2＝＝.
　　　　　　　　　　　


導(dǎo)數(shù)的概念
利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)f(x)＝的導(dǎo)數(shù)．
因為Δy＝－＝，
所以＝，
所以f′(x)＝li ＝li[]
＝－＝－.
利用定義求導(dǎo)數(shù)的基本步驟：
①求函數(shù)的增量：Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；
②求平均變化率：＝；
③取極限得導(dǎo)數(shù)：f′(x)＝li .

1．設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，則li 等于(B)
A．f′(x0) B．－f′(x0)
C．f(x0) D．－f(x0)
li
＝－li ＝－f′(x0)．
導(dǎo)數(shù)的運算
求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
(1)y＝x2sin x; (2)y＝.
(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′
＝2xsin x＋x2cos x.
(2)y′＝
＝
＝.
利用導(dǎo)數(shù)公式和運算法則求導(dǎo)數(shù)，是求導(dǎo)數(shù)的基本方法(稱為公式法)．用公式法求導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵是：認(rèn)清函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點，準(zhǔn)確運用常用的導(dǎo)數(shù)公式．

2．(1)(2018·天津卷)已知函數(shù)f(x)＝exln x，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f′(1)的值為　e　.
(2)設(shè)y＝，則y′＝?。?　.
(1)因為f(x)＝exln x，
所以f′(x)＝exln x＋，所以f′(1)＝e.
(2)因為y′＝
＝＝，
所以y′＝－1.
求切線方程
(1)(2017·全國卷Ⅰ)曲線y＝x2＋在點(1,2)處的切線方程為____________________．
(2)若曲線y＝xln x存在斜率為2的切線，則該切線方程為________________．
因為y′＝2x－，所以y′|x＝1＝1，
即曲線在點(1,2)處的切線的斜率k＝1，
所以切線方程為y－2＝x－1，
即x－y＋1＝0.
(2)因為y′＝ln x＋1，設(shè)切點為P(x0，y0)，
則y′x＝x0＝ln x0＋1＝2，所以x0＝e，
此時y0＝x0ln x0＝eln e＝e，所以切點為(e，e)．
故所求切線方程為y－e＝2(x－e)，即2x－y－e＝0.
　　 (1)x－y＋1＝0　(2)2x－y－e＝0
(1)求切線方程有如下三種類型：
①已知切點(x0，y0)，求切線方程；
②已知切線的斜率k，求切線方程；
③求過(x1，y1)的切線方程．
其中①是基本類型，類型②和類型③都可轉(zhuǎn)化為類型①進行處理．
(2)三種類型的求解方法：
類型①，利用y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)直接求出切線方程．
類型②，設(shè)出切點(x0，y0)，再由k＝f′(x0)，再由(x0，y0)既在切線上，又在曲線上求解；
類型③，先設(shè)出切點(x0，y0)，利用k＝f′(x0)及已知點(x1，y1)在切線上求解．

3．(2018·廣州市模擬)已知直線y＝kx－2與曲線y＝xln x相切，則實數(shù)k的值為(D)
A．ln 2 B．1
C．1－ln 2 D．1＋ln 2
本題實質(zhì)上是求曲線過點(0，－2)的切線問題，因為(0，－2)不是切點，可先設(shè)出切點，寫出切線方程，再利用切線過(0，－2)得到所求切線方程．
設(shè)切點為(x0，x0ln x0)，
因為y′＝ln x＋1，所以k＝ln x0＋1，
所以切線方程為y－x0ln x0＝(ln x0＋1)(x－x0)，
因為切線過點(0，－2)，
所以－2－x0ln x0＝－x0ln x0－x0，
所以x0＝2，所以k＝ln 2＋1.

1．函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)實質(zhì)上是“增量(改變量)之比的極限”，即f′(x)＝li ＝li .
2．關(guān)于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，要熟練掌握基本導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)的運算法則，一般要遵循先化簡再求導(dǎo)的基本原則．
3．導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點M(x0，f(x0))處切線的斜率，其切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
若設(shè)點(x0，y0)是切線l與曲線C的切點，則有如下結(jié)論：
①f′(x0)是切線l的斜率；
②點(x0，y0)在切線l上；
③點(x0，y0)在曲線C上．

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