最新考綱
考情考向分析
1.理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式．
2.能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題．
3.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.
主要考查等比數(shù)列的基本運(yùn)算、基本性質(zhì)，等比數(shù)列的證明也是考查的熱點(diǎn)．本節(jié)內(nèi)容在高考中既可以以選擇題、填空題的形式進(jìn)行考查，也可以以解答題的形式進(jìn)行考查．解答題往往與等差數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等問題綜合考查．屬于中低檔題.



1．等比數(shù)列的定義
一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
2．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式
設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，則它的通項(xiàng)an＝a1·qn－1.
3．等比中項(xiàng)
如果三個(gè)數(shù)x，G，y組成等比數(shù)列，則G叫做x和y的等比中項(xiàng)．
4．等比數(shù)列的常用性質(zhì)
(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am·qn－m(n，m∈N＋)．
(2)若{an}為等比數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，則ak·al＝am·an.
(3)若{an}，{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比數(shù)列．
(4)在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk.
5．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0)，其前n項(xiàng)和為Sn，
當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；
當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝＝.
6．等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)
公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn.
概念方法微思考
1．將一個(gè)等比數(shù)列的各項(xiàng)取倒數(shù)，所得的數(shù)列還是一個(gè)等比數(shù)列嗎？若是，這兩個(gè)等比數(shù)列的公比有何關(guān)系？
提示　仍然是一個(gè)等比數(shù)列，這兩個(gè)數(shù)列的公比互為倒數(shù)．
2．任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都有等比中項(xiàng)嗎？
提示　不是．只有同號(hào)的兩個(gè)非零實(shí)數(shù)才有等比中項(xiàng)．
3．“b2＝ac”是“a，b，c”成等比數(shù)列的什么條件？
提示　必要不充分條件．因?yàn)閎2＝ac時(shí)不一定有a，b，c成等比數(shù)列，比如a＝0，b＝0，c＝1.但a，b，c成等比數(shù)列一定有b2＝ac.

題組一　思考辨析
1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)滿足an＋1＝qan(n∈N＋，q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列．(　×　)
(2)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，bn＝a2n－1＋a2n，則數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列．(　×　)
(3)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列{ln an}是等差數(shù)列．(　×　)
(4)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝an，則其前n項(xiàng)和為Sn＝.(　×　)
(5)數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則S4，S8－S4，S12－S8成等比數(shù)列．(　×　)
題組二　教材改編
2．已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝，則公比q＝ .
答案　
解析　由題意知q3＝＝，∴q＝.
3．公比不為1的等比數(shù)列{an}滿足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，則m的值為(　　)
A．8 B．9 C．10 D．11
答案　C
解析　由題意得，2a5a6＝18，a5a6＝9，∴a1am＝a5a6＝9，∴m＝10.


題組三　易錯(cuò)自糾
4．若1，a1，a2，4成等差數(shù)列，1，b1，b2，b3，4成等比數(shù)列，則的值為 ．
答案?。?br /> 解析　∵1，a1，a2，4成等差數(shù)列，
∴3(a2－a1)＝4－1，∴a2－a1＝1.
又∵1，b1，b2，b3，4成等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，
則b＝1×4＝4，且b2＝1×q2>0，∴b2＝2，
∴＝＝－.
5．設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，8a2＋a5＝0，則＝ .
答案?。?1
解析　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，
∵8a2＋a5＝0，∴8a1q＋a1q4＝0.
∴q3＋8＝0，∴q＝－2，
∴＝·
＝＝＝－11.
6．一種專門占據(jù)內(nèi)存的計(jì)算機(jī)病毒開機(jī)時(shí)占據(jù)內(nèi)存1 MB，然后每3秒自身復(fù)制一次，復(fù)制后所占內(nèi)存是原來的2倍，那么開機(jī) 秒，該病毒占據(jù)內(nèi)存8 GB.(1 GB＝210 MB)
答案　39
解析　由題意可知，病毒每復(fù)制一次所占內(nèi)存的大小構(gòu)成一等比數(shù)列{an}，且a1＝2，q＝2，∴an＝2n，
則2n＝8×210＝213，∴n＝13.
即病毒共復(fù)制了13次．
∴所需時(shí)間為13×3＝39(秒)．

題型一　等比數(shù)列基本量的運(yùn)算
1．(2019·沈陽模擬)已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，則a2等于(　　)
A. B. C．1 D．2
答案　B
解析　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，
由題意知a3a5＝4(a4－1)＝a，
則a－4a4＋4＝0，解得a4＝2，
又a1＝，所以q3＝＝8，
即q＝2，所以a2＝a1q＝.
2．(2018·全國(guó)Ⅲ)等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，若Sm＝63，求m.
解　(1)設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.
故an＝(－2)n－1或an＝2n－1(n∈N+)．
(2)若an＝(－2)n－1，則Sn＝.
由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程沒有正整數(shù)解．
若an＝2n－1，則Sn＝2n－1.
由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.
綜上，m＝6.
思維升華 (1)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，an，q，n，Sn，已知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)(簡(jiǎn)稱“知三求二”)．
(2)運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，注意對(duì)q＝1和q≠1的分類討論．
題型二　等比數(shù)列的判定與證明
例1 已知數(shù)列{an}滿足對(duì)任意的正整數(shù)n，均有an＋1＝5an－2·3n，且a1＝8.
(1)證明：數(shù)列{an－3n}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)記bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
解　(1)因?yàn)閍n＋1＝5an－2·3n，
所以an＋1－3n＋1＝5an－2·3n－3n＋1＝5(an－3n)，
又a1＝8，所以a1－3＝5≠0，
所以數(shù)列{an－3n}是首項(xiàng)為5、公比為5的等比數(shù)列．
所以an－3n＝5n，所以an＝3n＋5n.
(2)由(1)知，bn＝＝＝1＋n，
則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝1＋1＋1＋2＋…＋1＋n＝n＋＝＋n－.
思維升華 判定一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列的常見方法：
(1)定義法：若＝q(q是不為零的常數(shù))，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列；
(2)等比中項(xiàng)法：若a＝anan＋2(n∈N＋，an≠0)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列；
(3)通項(xiàng)公式法：若an＝Aqn(A，q是不為零的常數(shù))，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列．
跟蹤訓(xùn)練1 (2018·黃山模擬)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.
(1)設(shè)bn＝an＋1－2an，證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
(1)證明　由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，
有a1＋a2＝S2＝4a1＋2.
∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.
又
①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，
∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)．
∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)，
故{bn}是首項(xiàng)b1＝3，公比為2的等比數(shù)列．
(2)解　由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，
∴－＝，
故是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．
∴＝＋(n－1)·＝，
故an＝(3n－1)·2n－2.
題型三　等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用
例2 (1)(2018·包頭質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，若a2＝1，a5＝，則a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1 (n∈N+)的最小值為(　　)
A. B．1 C．2 D．3
答案　C
解析　由已知得數(shù)列{an}的公比滿足q3＝＝，
解得q＝，∴a1＝2，a3＝，
故數(shù)列{anan＋1}是以2為首項(xiàng)，公比為＝的等比數(shù)列，
∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝
＝∈，故選C.
(2)(2018·大連模擬)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S2＝－1，S4＝－5，則S6等于(　　)
A．－9 B．－21 C．－25 D．－63
答案　B
解析　因?yàn)镾2＝－1≠0，所以q≠－1，由等比數(shù)列性質(zhì)得S2，S4－S2，S6－S4成等比數(shù)列，即－1×(S6＋5)＝(－5＋1)2，所以S6＝－21，故選B.
思維升華 等比數(shù)列常見性質(zhì)的應(yīng)用
等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用可以分為三類：
(1)通項(xiàng)公式的變形．
(2)等比中項(xiàng)的變形．
(3)前n項(xiàng)和公式的變形．根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口．
跟蹤訓(xùn)練2 (1)等比數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，a3a8＋a4a7＝18，則a1＋a2＋…＋a10＝ .
答案　20
解析　由a3a8＋a4a7＝18，得a4a7＝9
所以a1＋a2＋…＋a10
＝＝5
＝5＝95＝2log3310
＝20.
(2)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且＝，則＝ (n≥2，且n∈N)．
答案?。?br /> 解析　很明顯等比數(shù)列的公比q≠1，
則由題意可得，＝＝＝，
解得q＝，
則＝＝＝＝－.

等差數(shù)列與等比數(shù)列
關(guān)于等差(比)數(shù)列的基本運(yùn)算在高考試題中頻繁出現(xiàn)，其實(shí)質(zhì)就是解方程或方程組，需要認(rèn)真計(jì)算，靈活處理已知條件．
例1　已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)和公差均不為0，且滿足a2，a5，a7成等比數(shù)列，則的值為(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)和公差均不為0，且滿足a2，a5，a7成等比數(shù)列，
∴a＝a2a7，∴(a1＋4d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，∴10d2＝－a1d，∵d≠0，∴－10d＝a1，∴＝＝＝.
例2　已知{an}為等比數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋1，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為(　　)
A．3n＋1 B．3n－1
C. D.
答案　C
解析　∵b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋1，
∴a1(b2－b1)＝a2，即a2＝3a1，
又?jǐn)?shù)列{an}為等比數(shù)列，
∴數(shù)列{an}的公比為q＝3，
∴bn＋1－bn＝＝3，
∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，
∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn＝2n＋×3＝.故選C.


1．已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝1，a3a7＝16，則該數(shù)列的公比為(　　)
A．± B.
C．±2 D．2
答案　A
解析　根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得a3·a7＝a＝a·q8＝q8＝16＝24，
所以q2＝2，即q＝±，故選A.
2．已知遞增的等比數(shù)列{an}中，a2＝6，a1＋1，a2＋2，a3成等差數(shù)列，則該數(shù)列的前6項(xiàng)和S6等于(　　)
A．93 B．189 C. D．378
答案　B
解析　設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由題意可知，q>1，
且2＝a1＋1＋a3，
即2×＝＋1＋6q，
整理可得2q2－5q＋2＝0，
則q＝2，則a1＝＝3，
∴數(shù)列{an}的前6項(xiàng)和S6＝＝189.
3．(2018·滿洲里質(zhì)檢)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝32n－1＋r，則r的值為(　　)
A. B．－
C. D．－
答案　B
解析　當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3＋r，
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝32n－1－32n－3
＝32n－3(32－1)＝8·32n－3＝8·32n－2·3－1
＝·9n－1，
所以3＋r＝，即r＝－，故選B.
4．已知等比數(shù)列{an}的公比為－2，且Sn為其前n項(xiàng)和，則等于(　　)
A．－5 B．－3 C．5 D．3
答案　C
解析　由題意可得，
＝＝1＋(－2)2＝5.
5．古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少？”根據(jù)上題的已知條件，若要使織布的總尺數(shù)不少于30，該女子所需的天數(shù)至少為(　　)
A．10 B．9 C．8 D．7
答案　C
解析　設(shè)該女子第一天織布x尺，
則＝5，解得x＝，
所以前n天織布的尺數(shù)為(2n－1)，
由(2n－1)≥30，得2n≥187，解得n的最小值為8.
6．若正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿足anan＋1＝22n(n∈N＋)，則a6－a5的值是(　　)
A. B．－16
C．2 D．16
答案　D
解析　設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q>0，
∵anan＋1＝22n(n∈N＋)，
∴＝＝4＝q2，解得q＝2，
∴a×2＝22n，an>0，解得an＝，
則a6－a5＝－＝16，故選D.


7．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝2 018，a2＋a4＝－2a3，則S2 019＝ .
答案　2 018
解析　∵a2＋a4＝－2a3，
∴a2＋a4＋2a3＝0，a2＋2a2q＋a2q2＝0，
∴q2＋2q＋1＝0，解得q＝－1.
∵a1＝2 018，
∴S2 019＝＝
＝2 018.
8.如圖所示，正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再連接正方形，…，如此繼續(xù)下去得到一個(gè)樹形圖形，稱為“勾股樹”．若某勾股樹含有1 023個(gè)正方形，且其最大的正方形的邊長(zhǎng)為，則其最小正方形的邊長(zhǎng)為 ．

答案　
解析　由題意，得正方形的邊長(zhǎng)構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，現(xiàn)已知共得到
1 023個(gè)正方形，則有1＋2＋…＋2n－1＝1 023，∴n＝10，∴最小正方形的邊長(zhǎng)為×9＝.
9．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a1＝，且a2a8＝2a5＋3，則a9＝ .
答案　18
解析　∵a2a8＝2a5＋3，∴a＝2a5＋3，
解得a5＝3(舍負(fù))，即a1q4＝3，則q4＝6，a9＝a1q8＝×36＝18.
10．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a3a11＝2a，且S4＋S12＝λS8，則λ＝ .
答案　
解析　∵a3a11＝2a，∴a＝2a，∴q4＝2，
∵S4＋S12＝λS8，
∴＋＝，
1－q4＋1－q12＝λ(1－q8)，
將q4＝2代入計(jì)算可得λ＝.
11．(2018·全國(guó)Ⅰ)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.設(shè)bn＝.
(1)求b1，b2，b3；
(2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明理由；
(3)求{an}的通項(xiàng)公式．
解　(1)由條件可得an＋1＝an，
將n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.
將n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.
從而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
(2){bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．
由條件可得＝，即bn＋1＝2bn，
又b1＝1，所以{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．
(3)由(2)可得＝2n－1，
所以an＝n·2n－1.
12．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝2，an＋2＝，n∈N＋.
(1)令bn＝an＋1－an，證明：{bn}是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
(1)證明　b1＝a2－a1＝1.
當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝an＋1－an＝－an
＝－(an－an－1)＝－bn－1，
∴{bn}是以1為首項(xiàng)，－為公比的等比數(shù)列．
(2)解　由(1)知bn＝an＋1－an＝n－1，
當(dāng)n≥2時(shí)，
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝1＋1＋＋…＋n－2
＝1＋
＝1＋
＝－n－1.
當(dāng)n＝1時(shí)，－×1－1＝1＝a1，
∴an＝－n－1(n∈N＋)．

13．(2019·鄂爾多斯模擬)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中的a1，a4 037是函數(shù)f(x)＝x3－4x2＋6x－3的極值點(diǎn)，則等于(　　)
A．1 B．2 C．－1 D.
答案　A
解析　因?yàn)閒′(x)＝x2－8x＋6，所以a1·a4 037＝6，
所以a2 019＝(舍負(fù))，＝1.
14．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝2n＋1－2，bn＝log2(a·)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，則滿足Tn>1 024的最小n的值為 ．
答案　9
解析　 由數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝2n＋1－2，
則當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－2n＋2＝2n，
a1＝S1＝2，滿足上式，
所以bn＝log2(a·)＝log2a＋log2＝2n＋2n，
所以數(shù)列{bn}的前n和為Tn＝＋
＝n(n＋1)＋2n＋1－2，
當(dāng)n＝9時(shí)，T9＝9×10＋210－2＝1 112>1 024，
當(dāng)n＝8時(shí)，T8＝8×9＋29－2＝5821 024的最小n的值為9.

15．已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)且公比大于1，前n項(xiàng)積為Tn，且a2a4＝a3，則使得Tn>1的n的最小值為(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
答案　C
解析　∵{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a2a4＝a3，∴a＝a3，∴a3＝1.又∵q>1，∴a13)，∴Tn>Tn－1(n≥4，n∈N＋)，T1

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