第八節(jié)離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布

1.均值
一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望.它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.
(1)期望是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均.,(2)E(X)是一個(gè)實(shí)數(shù)，由X的分布列唯一確定，即作為隨機(jī)變量，X是可變的，可取不同值，而E(X)是不變的，它描述X取值的平均狀態(tài).,(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn直接給出了E(X)的求法，即隨機(jī)變量取值與相應(yīng)概率分別相乘后相加.
2.方差
設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
則(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相對(duì)于均值E(X)的偏離程度.而D(X)＝(xi－E(X))2pi為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度.稱D(X)為隨機(jī)變量X的方差，并稱其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.
(1)隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度.D(X)越大，表明平均偏離程度越大，X的取值越分散.反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近.,(2)方差也是一個(gè)常數(shù)，它不具有隨機(jī)性，方差的值一定是非負(fù).
3.兩個(gè)特殊分布的期望與方差
分布
期望
方差
兩點(diǎn)分布
E(X)＝p
D(X)＝p(1－p)
二項(xiàng)分布
E(X)＝np
D(X)＝np(1－p)

4.正態(tài)分布
(1)正態(tài)曲線的特點(diǎn)
①曲線位于x軸上方，與x軸不相交；
②曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱；
③曲線在x＝μ處達(dá)到峰值；
④曲線與x軸之間的面積為1；
⑤當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；
⑥當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散.
(2)正態(tài)分布的三個(gè)常用數(shù)據(jù)
①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6；
②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4；
③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4.
[熟記常用結(jié)論]
若Y＝aX＋b，其中a，b是常數(shù)，X是隨機(jī)變量，則
(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k為常數(shù)；
(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)；
(3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)；
(4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2；
(5)若X1，X2相互獨(dú)立，則E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2).
(6)若X～N(μ，σ2)，則X的均值與方差分別為：E(X)＝μ，D(X)＝σ2.
[小題查驗(yàn)基礎(chǔ)]
一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)
(1)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的均值是隨機(jī)變量.(　　)
(2)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離均值的平均程度越小.(　　)
(3)均值與方差都是從整體上刻畫離散型隨機(jī)變量的情況，因此它們是一回事.(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)×
二、選填題
1.已知X的分布列為：
X
－1
0
1
P



設(shè)Y＝2X＋3，則E(Y)的值為(　　)
A.　　　　　　　　　 B.4
C.－1 D.1
解析：選A　∵E(X)＝－＋＝－，
∴E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝.
2.已知ξ～B，并且η＝2ξ＋3，則方差D(η)＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：選A　由題意知，D(ξ)＝4××＝，
∵η＝2ξ＋3，∴D(η)＝4·D(ξ)＝4×＝.
3.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,1)，若P(X＞1)＝p，則P(－1＜X＜0)＝(　　)
A.＋p　　　　　　　　 B.1－p
C.1－2p D.－p
解析：選D　因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,1)，所以正態(tài)分布曲線關(guān)于直線x＝0對(duì)稱，
所以P(X＞0)＝P(X＜0)＝，P(X＞1)＝P(X＜－1)＝p，
所以P(－1＜X＜0)＝P(X＜0)－P(X＜－1)＝－p.
4.有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，從中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次數(shù)，則D(X)＝________.
解析：∵X～B，∴D(X)＝3××＝.
答案：
5.一個(gè)正四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)上分別標(biāo)有1分，2分，3分和4分，往地面拋擲一次記不在地面上的頂點(diǎn)的分?jǐn)?shù)為X，則X的均值為________.
解析：X的分布列為：
X
1
2
3
4
P




∴E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
答案：


[典例精析]
為迎接2022年北京冬奧會(huì)，推廣滑雪運(yùn)動(dòng)，某滑雪場開展滑雪促銷活動(dòng).該滑雪場的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時(shí)間不超過1小時(shí)免費(fèi)，超過1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算).有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來該滑雪場運(yùn)動(dòng)，設(shè)甲、乙不超過1小時(shí)離開的概率分別為，；1小時(shí)以上且不超過2小時(shí)離開的概率分別為，；兩人滑雪時(shí)間都不會(huì)超過3小時(shí).
(1)求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率；
(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ(單位：元)，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望E(ξ)，方差D(ξ).
[解]　(1)兩人所付費(fèi)用相同，相同的費(fèi)用可能為0,40,80元，
兩人都付0元的概率為P1＝×＝，
兩人都付40元的概率為P2＝×＝，
兩人都付80元的概率為
P3＝×＝×＝，
故兩人所付費(fèi)用相同的概率為P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝.
(2)由題設(shè)甲、乙所付費(fèi)用之和為ξ，ξ可能取值為0,40,80,120,160，則：
P(ξ＝0)＝×＝，
P(ξ＝40)＝×＋×＝，
P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝，
P(ξ＝120)＝×＋×＝，
P(ξ＝160)＝×＝.
ξ的分布列為：
ξ
0
40
80
120
160
P





E(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80.
D(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝.
[解題技法]
求離散型隨機(jī)變量ξ的均值與方差的步驟
(1)理解ξ的意義，寫出ξ可能的全部值.
(2)求ξ取每個(gè)值的概率.
(3)寫出ξ的分布列.
(4)由均值的定義求E(ξ).
(5)由方差的定義求D(ξ).
[過關(guān)訓(xùn)練]
1.隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2，若P(X＝0)＝，E(X)＝1，則D(X)＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：選B　設(shè)P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝q，
由題意得解得p＝，q＝，
∴D(X)＝(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＝.
2.隨著網(wǎng)絡(luò)營銷和電子商務(wù)的興起，人們的購物方式更具多樣化.某調(diào)查機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取10名購物者進(jìn)行采訪，5名男性購物者中有3名傾向于選擇網(wǎng)購，2名傾向于選擇實(shí)體店，5名女性購物者中有2名傾向于選擇網(wǎng)購，3名傾向于選擇實(shí)體店.
(1)若從10名購物者中隨機(jī)抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名傾向于選擇實(shí)體店的概率；
(2)若從這10名購物者中隨機(jī)抽取3名，設(shè)X表示抽到傾向于選擇網(wǎng)購的男性購物者的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
解：(1)設(shè)“隨機(jī)抽取2名，其中男、女各一名，至少1名傾向于選擇實(shí)體店”為事件A，則表示事件“隨機(jī)抽取2名，其中男、女各一名，都傾向于選擇網(wǎng)購”，
則P(A)＝1－P()＝1－＝.
(2)X所有可能的取值為0,1,2,3，
且P(X＝k)＝，
則P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，
P(X＝3)＝.
所以X的分布列為：
X
0
1
2
3
P




E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

[典例精析]
(2019·成都檢測)某部門為了解一企業(yè)在生產(chǎn)過程中的用水量情況，對(duì)其每天的用水量做了記錄，得到了大量該企業(yè)的日用水量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，從這些統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取12天的數(shù)據(jù)作為樣本，得到如圖所示的莖葉圖(單位：噸).若用水量不低于95噸，則稱這一天的用水量超標(biāo).
(1)從這12天的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取3個(gè)，求至多有1天的用水量超標(biāo)的概率；
(2)以這12天的樣本數(shù)據(jù)中用水量超標(biāo)的頻率作為概率，估計(jì)該企業(yè)未來3天中用水量超標(biāo)的天數(shù)，記隨機(jī)變量X為未來這3天中用水量超標(biāo)的天數(shù)，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差.
[解]　(1)記“從這12天的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取3個(gè)，至多有1天的用水量超標(biāo)”為事件A，
則P(A)＝＋＝＝.
(2)以這12天的樣本數(shù)據(jù)中用水量超標(biāo)的頻率作為概率，易知用水量超標(biāo)的概率為.
X的所有可能取值為0,1,2,3，
易知X～B，P(X＝k)＝Ck3－k，k＝0,1,2,3，
則P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝.
∴隨機(jī)變量X的分布列為：
X
0
1
2
3
P




數(shù)學(xué)期望E(X)＝3×＝1，
方差D(X)＝3××＝.
[解題技法]
二項(xiàng)分布的期望與方差
(1)如果ξ ～B(n，p)，則用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大減少計(jì)算量.
(2)有些隨機(jī)變量雖不服從二項(xiàng)分布，但與之具有線性關(guān)系的另一隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，這時(shí)，可以綜合應(yīng)用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同樣還可求出D(aξ＋b).
[過關(guān)訓(xùn)練]
1.設(shè)X為隨機(jī)變量，且X～B(n，p)，若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝4，D(X)＝，則P(X＝2)＝________.(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)
解析：∵X為隨機(jī)變量，且X～B(n，p)，∴E(X)＝np＝4，D(X)＝np(1－p)＝，解得n＝6，p＝，∴P(X＝2)＝C×2×4＝.
答案：
2.(2019·西安模擬)一個(gè)盒子中裝有大量形狀、大小一樣但重量不盡相同的小球，從中隨機(jī)抽取50個(gè)作為樣本，稱出它們的重量(單位：克)，重量分組區(qū)間為[5,15]，(15,25]，(25,35]，(35,45]，由此得到樣本的重量頻率分布直方圖(如圖).
(1)求a的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計(jì)盒子中小球重量的眾數(shù)與平均值；
(2)從盒子中隨機(jī)抽取3個(gè)小球，其中重量在[5,15]內(nèi)的小球個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望(以直方圖中的頻率作為概率).

解：(1)由題意，得(0.02＋0.032＋a＋0.018)×10＝1，
解得a＝0.03.
由頻率分布直方圖可估計(jì)盒子中小球重量的眾數(shù)為20克，
而50個(gè)樣本中小球重量的平均值＝0.2×10＋0.32×20＋0.3×30＋0.18×40＝24.6(克).
故由樣本估計(jì)總體，可估計(jì)盒子中小球重量的平均值為24.6克.
(2)該盒子中小球重量在[5,15]內(nèi)的概率為，
則X～B.X的可能取值為0,1,2,3，
則P(X＝0)＝C0×3＝，
P(X＝1)＝C×2＝，
P(X＝2)＝C2×＝，
P(X＝3)＝C3×0＝.
∴X的分布列為：
X
0
1
2
3
P





∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝


[典例精析]
(2018·全國卷Ⅰ)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn).設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0＜p＜1)，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立.
(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點(diǎn)p0.
(2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.
①若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求EX；
②以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？
[解]　(1)因?yàn)?0件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為
f(p)＝Cp2·(1－p)18，
所以f′(p)＝C[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]
＝2Cp(1－p)17(1－10p).
令f′(p)＝0，得p＝0.1.
當(dāng)p∈(0,0.1)時(shí)，f′(p)＞0；
當(dāng)p∈(0.1,1)時(shí)，f′(p)＜0.
所以f(p)的最大值點(diǎn)為p0＝0.1.
(2)由(1)知，p＝0.1.
①令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知Y～B(180,0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以EX＝E(40＋25Y)＝40＋25EY＝490.
②若對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)用為400元.由于EX＞400，故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).
[解題技法]
離散型隨機(jī)變量的期望和方差應(yīng)用問題的解題策略
(1)求離散型隨機(jī)變量的期望與方差關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的所有可能值，寫出隨機(jī)變量的分布列，正確運(yùn)用期望、方差公式進(jìn)行計(jì)算.
(2)要注意觀察隨機(jī)變量的概率分布特征，若屬于二項(xiàng)分布，可用二項(xiàng)分布的期望與方差公式計(jì)算，則更為簡單.
(3)在實(shí)際問題中，若兩個(gè)隨機(jī)變量ξ1，ξ2，有E(ξ1)＝E(ξ2)或E(ξ1)與E(ξ2)較為接近時(shí)，就需要用D(ξ1)與D(ξ2)來比較兩個(gè)隨機(jī)變量的穩(wěn)定程度.即一般地將期望最大(或最小)的方案作為最優(yōu)方案，若各方案的期望相同，則選擇方差最小(或最大)的方案作為最優(yōu)方案.
[過關(guān)訓(xùn)練]
　某投資公司在2019年年初準(zhǔn)備將1 000萬元投資到“低碳”項(xiàng)目上，現(xiàn)有兩個(gè)項(xiàng)目供選擇：
項(xiàng)目一：新能源汽車.據(jù)市場調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利30%，也可能虧損15%，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為和；
項(xiàng)目二：通信設(shè)備.據(jù)市場調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利50%，可能損失30%，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為，和.
針對(duì)以上兩個(gè)投資項(xiàng)目，請(qǐng)你為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目，并說明理由.
解：若按“項(xiàng)目一”投資，設(shè)獲利為X1萬元，則X1的分布列為：
X1
300
－150
P


∴E(X1)＝300×＋(－150)×＝200，
D(X1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000.
若按“項(xiàng)目二”投資，設(shè)獲利為X2萬元，則X2的分布列為：
X2
500
0
－300
P



∴E(X2)＝500×＋0×＋(－300)×＝200，
D(X2)＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000.
∴E(X1)＝E(X2)，D(X1)＜D(X2)，
這說明雖然項(xiàng)目一、項(xiàng)目二獲利相等，但項(xiàng)目一更穩(wěn)妥.
綜上所述，建議該投資公司選擇項(xiàng)目一投資.

[典例精析]
(1)設(shè)X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示.下列結(jié)論中正確的是(　　)

A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C.對(duì)任意正數(shù)t，P(X≤t)≥P(Y≤t)
D.對(duì)任意正數(shù)t，P(X≥t)≥P(Y≥t)
(2)(2019·太原模擬)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,1)，且P(X≥4)＝0.158 7，則P(2＜X＜4)＝(　　)
A.0.682 6　　　　　　 B.0.341 3
C.0.460 3 D.0.920 7
(3)某校在一次月考中有900人參加考試，數(shù)學(xué)考試的成績服從正態(tài)分布X～N(90，a2)(a＞0，試卷滿分150分)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績在70分到110分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次月考中數(shù)學(xué)考試成績不低于110分的學(xué)生約有________人.
[解析]　(1)由正態(tài)曲線的性質(zhì)及題圖知，μ1＜μ2,0＜σ1＜σ2.故對(duì)任意正數(shù)t，P(X≤t)≥P(Y≤t)正確.
(2)因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,1)，且P(X≥4)＝0.158 7，所以P(X≤2)＝0.158 7，所以P(2＜X＜4)＝1－P(X≤2)－P(X≥4)＝0.682 6，故選A.
(3)因?yàn)閿?shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布X～N(90，a2)，
所以其正態(tài)分布曲線關(guān)于直線x＝90對(duì)稱，
又因?yàn)槌煽冊?0分到110分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，
由對(duì)稱性知成績在110分以上的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的×＝，所以此次數(shù)學(xué)考試成績不低于110分的學(xué)生約有×900＝180(人).
[答案]　(1)C　(2)A　(3)180
[解題技法]
正態(tài)分布下2類常見的概率計(jì)算
(1)利用正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性研究相關(guān)概率問題，涉及的知識(shí)主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，曲線與x軸之間的面積為1.
(2)利用3σ原則求概率問題時(shí)，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ，σ進(jìn)行對(duì)比聯(lián)系，確定它們屬于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一個(gè).
[過關(guān)訓(xùn)練]
1.(2019·武漢模擬)已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，若P(ξ＜2)＝P(ξ＞6)＝0.15，則P(2≤ξ＜4)等于(　　)
A.0.3　　　　　　　 B.0.35
C.0.5 D.0.7
解析：選B　∵P(ξ＜2)＝P(ξ＞6)＝0.15，∴μ＝＝4.又P(2≤ξ≤6)＝1－P(ξ＜2)－P(ξ＞6)＝0.7，∴P(2≤ξ＜4)＝＝0.35，故選B.
2.(2017·全國卷Ⅰ)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測量其尺寸(單位：cm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ，σ2).
(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件數(shù)，求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望；
(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.
①試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；
②下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：
9.95　10.12　9.96　9.96　10.01　9.92　9.98　10.04
10.26　9.91　10.13　10.02　9.22　10.04　10.05　9.95
經(jīng)計(jì)算得＝i＝9.97，s＝＝≈0.212，其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，i＝1,2，…，16.
用樣本平均數(shù)作為μ的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除(－3，＋3)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)μ和σ(精確到0.01).
附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－3σ＜Z＜μ＋3σ)＝0.997 4.0.997 416
≈0.959 2，≈0.09.
解：(1)抽取的一個(gè)零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之內(nèi)的概率為0.997 4，從而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率為0.002 6，故X～B(16,0.002 6).
因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8.
X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝16×0.002 6＝0.041 6.
(2)①如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個(gè)零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，發(fā)生的概率很小.因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的.
②由＝9.97，s≈0.212，得μ的估計(jì)值為＝9.97，σ的估計(jì)值為＝0.212，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸在(－3，＋3)之外，因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.
剔除(－3，＋3)之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(16×9.97－9.22)＝10.02，
因此μ的估計(jì)值為10.02.
＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134，
剔除(－3，＋3)之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，
因此σ的估計(jì)值為≈0.09.

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