第7講


講














整式的除法


























概述





【教學(xué)建議】


本節(jié)課重點是整式除法的運算，結(jié)合整式乘法和同底數(shù)冪除法運算，讓學(xué)生去探索除法運算的基本法則，在理解掌握整式除法的運算方法之后，深入學(xué)習(xí)探索整式乘除的混合運算及其他實際應(yīng)用類問題。


學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)時可能會在以下三個方面感到困難：


1.整式除法的運算法則。


2.整式乘除法的混合運算。


3.利用整式整除的運算法則解決問題。


【知識導(dǎo)圖】














教學(xué)過程








一、導(dǎo)入





【教學(xué)建議】


有關(guān)整式除法運算法則的探索，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合之前整式乘法的運算方法進行推導(dǎo)，加深學(xué)生對運算方法的理解和認識，尤其要讓學(xué)生認識到整式乘法和整式除法的異同之處，面對不同問題能夠靈活應(yīng)變、


對于整式乘除的混合運算，要讓學(xué)生意識到這類問題的重要性，可以通過近些年中考中出現(xiàn)的題型舉例說明，加深學(xué)生對該類問題重視，著重練習(xí)。





二、知識講解








知識點1 整式的除法運算法則





整式除法的運算法則


（1）單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的一個因式。


（2）多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加；


2.整式除法與整式乘法的混合運算 ；


3.化簡求值問題。





三、例題精析








例題1





【題干】計算：8x2÷（﹣2x）=________


【答案】-4x


【解析】解：8x2÷（﹣2x）= -4x





例題2





【題干】一個長方形的面積為(6ab2-4a2b)，一邊長為2ab，則它的另一邊長為_______


【答案】3b-2a


【解析】解：(6ab2-4a2b)÷2ab=3b-2a.


故答案為3b-2a.





例題3





【題干】已知a3b6÷a2b2=ambn ， 則m和n的值分別是（ ）


A．m=4，n=1


B．m=1，n=4


C．m=5，n=8


D．m=6，n=12


【答案】B


【解析】解：a3b6÷a2b2=ab4=ambn


∴m=1，n=4


故選B．








例題4





【題干】已知長方形的面積是3a2－3b2，若它的一邊長是a+b，則它的周長是


【答案】8a-4b


【解析】解：長方形的另一邊長為：3a2－3b2÷a+b=3a-3b


周長為：23a-3b+a+b=8a-4b





例題5





【題干】先化簡，再求值: [（2x-3y）2-2x（2x+3y）]÷9y，其中x=3，y=-2


【答案】見解析。


【解析】解：原式=（4x2-12xy+9y2-4x2-6xy）÷9y


=（-18xy+9y2）÷9y


=-2x+y


將x=3，y=-2代入得：


原式=-6-2=-8





四 、課堂運用





【教學(xué)建議】


在教學(xué)過程中注意運算符號及系數(shù)指數(shù)的變化，引導(dǎo)學(xué)生區(qū)別整式除法與整式乘法的異同，能夠靈活掌握整式的混合運算，并解決實際問題。





1. 計算：14x3-21x2-7x÷7x 的結(jié)果是________。


【答案】2x2-3x+1


【解析】解：14x3-21x2-7x÷7x


=14x3÷7x-21x2÷7x-7x÷7x


=2x2-3x+1


2. 一個長方形的面積為，長是,則這個長方形的寬是 。


【答案】x-2y+1


【解析】解：（x2-2xy+x）÷x


=x2÷x-2xy÷x+x÷x


=x-2y+1


3.先化簡再求值：x+2yx-2y+4x-y2-6x÷6x，其中x=1，y=3。


【答案】見解析


【解析】解：x+2yx-2y+4x-y2-6x÷6x


=x2-4y2+4x2-2xy+y2-6x÷6x


=x2-4y2+4x2-8xy+4y2-6x÷6x


=5x2-8xy-6x÷6x


=56x-43y-1


將x=1，y=3代入得：


原式=56x-43y-1=-256





鞏固基礎(chǔ)





1.已知，則


【答案】5；3


【解析】解：18a8b3c÷3a3c=6a5b3


∴m=5，n=3


2. 一顆人造地球衛(wèi)星的速度為m/h，一架噴氣式飛機的速度為m/h，則這顆人造地球衛(wèi)星的速度是這架噴氣式飛機的速度的（ ）倍.


A、1600 B、160 C、16 D、1.6


【答案】C


【解析】解：2.88×107÷1.8×106


=16


故選C


3. 任意給定一個非零實數(shù)，按下列程序計算，最后輸出的結(jié)果是（ ）





A. B. C. D.


【答案】B。


【解析】解：由計算程序可知：m2-m÷m+2=m-1+2=m+1


故選B。





拔高





1. 已知，則的值等于（ ）


A、6 B、9 C、12 D、81


【答案】B.


【解析】解：a3b6÷a2b2=ab4=3


∴a2b8=ab42=9 故選B。


2. 在:①=1，②=－1，③3，④-x5÷-x3=-x2中，其中正確的式子有（ ）


A.1個 B.2個 C.3個 D. 4個


【答案】B


【解析】①正確；②正確；③ 3a-2=3a2，故錯誤；④-x5÷-x3=x2，故錯誤。


∴該題選B


3. 已知，是多項式，計算的時候某同學(xué)把誤寫成了，結(jié)果得


，試求。


【答案】見解析


【解析】解：B=2xx2+12x=2x3+x2


∴B+A=2x3+x2+2x











課堂小結(jié)





1．整式除法的運算法則；


2.整式除法與整式乘法的混合運算 ；


3.化簡求值問題。











擴展延伸








基礎(chǔ)





1. 計算：等于（ ）


A、 B、 C、 D、


【答案】A


【解析】解：14a3b2-21ab2÷7ab2=2a2-3


故選A.


2. 下列運算正確的是 （ ）


A. B. C. D.


【答案】D。


【解析】A.ab3=a3b3，故A錯誤；B.a6÷a2=a4，故B錯誤；


C.a+b2=a2+2ab+b2，故C錯誤；D正確。





3.計算：-3xy2-12x212xy3+14y2÷2x2y2


【答案】見解析。


【解析】解：-3xy2-12x212xy3+14y2÷2x2y2


=9x2y2-6x3y3-7x2y2÷2x2y2


=2x2y2-6x3y3÷2x2y2


=1-3xy





鞏固





1. 如果一個多項式與（2x-3）的積是4x2-12x+9，那么這個多項式是（ ）


A．4x2+9 B．8x2-27 C．2x-3 D．2x+3


【答案】C


【解析】解：（4x2-12x+9）÷（2x-3）=（2x-3）2 ÷（2x-3）=2x-3 選C


2. 當a≠b時，下列運算錯誤的是（ ）


A．=1 B． C． D．


【答案】D.


【解析】A.B.C均正確。D的正確答案為：a-ba+b=-b-aa+b


3. 已知，其中，。比較A和B的值的大小。小明說A的值大，小華說B的值大。請你判斷一下，誰的說法正確，為什么？


【答案】兩人說法都不對，解析如下。


【解析】解：A=x-y2-x-yx+y=x2-2xy+y2-x2+y2=2y2-2xy


B=x+yx-2y+2y2÷x=x2-xy÷x=x-y


將x=2，y=2代入：A=0,B=0


∴A=B,兩人說法都不對。





拔高





1. 下列各式計算正確的是（ ）


A．（3x+2y）（2x﹣3y）=6x2﹣6y2


B．（﹣5a﹣2）（5a﹣2）=25a2﹣4


C．=


D．=


【答案】C.


【解析】A. （3x+2y）（2x﹣3y）=6x2﹣6y2 -5xy,故A錯誤；


B. （﹣5a﹣2）（5a﹣2）=4-25a2 ，故B錯誤；


C.正確。


2. 先化簡，再求值：（4ab3－8a2b2）÷4ab＋（2a＋b）（2a－b），其中a＝2，b＝1


【答案】見解析


【解析】解：原式=（4ab3－8a2b2）÷4ab＋（2a＋b）（2a－b）


=b2-2ab+4a2-b2


=-2ab+4a2


將a=2，b=1代入得：原式=-2ab+4a2=12





3. 在一次數(shù)學(xué)課上，李老師對大家說：“你任意想一個非零數(shù)，然后按下列步驟操作，我會直接說出你運算的最后結(jié)果．” 操作步驟如下：


第一步：計算這個數(shù)與1的和的平方，減去這個數(shù)與1的差的平方；


第二步：把第一步得到的數(shù)乘以25；


第三步：把第二步得到的數(shù)除以你想的這個數(shù)．


（1）若小明同學(xué)心里想的是數(shù)9，請幫他計算出最后結(jié)果：


（2）老師說：“同學(xué)們，無論你們心里想的是什么非零數(shù)，按照以上步驟進行操作，得到的最后結(jié)果都相 等．”小明同學(xué)想驗證這個結(jié)論，于是，設(shè)心里想的數(shù)是a（a≠0），請你幫小明完成這個驗證過程．


【答案】見解析。


【解析】解：（1）第一步：（9+1）2﹣（9﹣1）2=36； 第二步：25×36=900；


第三步：900÷9=100．


∴小明計算出最后結(jié)果為100


（2）據(jù)題意得：[（a+1）2﹣（a﹣1）2]×25÷a，


=（a+1+a﹣1）（a+1﹣a+1）×25÷a，


=4a×25÷a，


=100．


∴結(jié)論成立








教學(xué)反思





適用學(xué)科
初中數(shù)學(xué)
適用年級
初中一年級
適用區(qū)域
北師版區(qū)域
課時時長（分鐘）
120
知識點
1、單項式除以單項式；


2、多項式除以單項式；


3、整式的化簡求值。
教學(xué)目標
1、知識與技能：理解整式除法運算的算理，會進行簡單的整式除法運算；


2、過程與方法：經(jīng)歷探索整式除法運算法則的過程，發(fā)展有條理的思考及表達能力；


3、情感與態(tài)度：體會數(shù)學(xué)在生活中的廣泛應(yīng)用。
教學(xué)重點
熟練掌握整式除法的運算法則及整式的混合運算。
教學(xué)難點
整式的化簡求值及整式乘除法混合運算。

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