地震是一種常見的自然災(zāi)害,它的強(qiáng)度一般用里氏震級(jí)來表示.里氏震級(jí)是一種以發(fā)生地震時(shí)產(chǎn)生的水平位移作為判斷標(biāo)準(zhǔn)的地震震級(jí)標(biāo)度,共分9個(gè)等級(jí),地震越大,震級(jí)的數(shù)字也越大.震級(jí)每增加一級(jí),通過地震釋放的能量約增加32倍.里氏震級(jí)的計(jì)算公式是
震波的最大振幅,單位是μm;Amax是指我們關(guān)注的這個(gè)地震在距震中100 km處接收到的地震波的最大振幅,單位是μm.如果知道了相關(guān)數(shù)據(jù),那么如何計(jì)算震級(jí)呢?
名師點(diǎn)析1.對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)必須在同底數(shù)時(shí)才能使用,而且必須保證式子中的所有對(duì)數(shù)都有意義.2.會(huì)用語言準(zhǔn)確地?cái)⑹鲞\(yùn)算性質(zhì),如lga(MN)=lgaM+lgaN敘述為“兩個(gè)正數(shù)乘積的對(duì)數(shù)等于這兩個(gè)正數(shù)同底的對(duì)數(shù)之和”或“兩個(gè)正數(shù)同底的對(duì)數(shù)之和等于這兩個(gè)正數(shù)乘積的對(duì)數(shù)”.3.熟練掌握對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的逆向使用:逆向應(yīng)用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì),可將幾個(gè)對(duì)數(shù)式化為一個(gè)對(duì)數(shù)式,有利于化簡求值.例
微拓展性質(zhì)(1)可以推廣到真數(shù)為有限多個(gè)正因數(shù)相乘的情形,即lga(N1N2…Nk)=lgaN1+lgaN2+…+lgaNk(k≥2,k∈N+).微判斷l(xiāng)g3[(-4)×(-5)]=lg3(-4)+lg3(-5).(　　)
判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.
A.0　　B.2　　C.4　　D.6
答案:A　解析:原式=2lg 5+2lg 2-2=2(lg 5+lg 2)-2=0.
二、換底公式一般地,若a>0,b>0,c>0,且a≠1,c≠1,則lgab= .這個(gè)結(jié)論稱為對(duì)數(shù)的換底公式.
名師點(diǎn)析1.換底公式成立的條件是公式中的每一個(gè)對(duì)數(shù)式都有意義.2.換底公式的意義就在于把對(duì)數(shù)式的底數(shù)改變,把不同底問題轉(zhuǎn)化為同底問題進(jìn)行化簡、計(jì)算和證明.換底公式在實(shí)際應(yīng)用中究竟換成以什么為底,要由具體已知的條件來確定,一般換成以10為底的常用對(duì)數(shù).
微拓展幾個(gè)常用推論:
a≠1,b>0,m≠0,n∈R);
(3)lgab·lgba=1(a>0,b>0,且a≠1,b≠1);(4)lgab·lgbc·lgcd=lgad(a>0,b>0,c>0,且a≠1,b≠1,c≠1,d>0).
微練習(xí)(多選題)下列等式正確的是(　　)
對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用例1計(jì)算下列各式的值:
分析利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.
(2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5×(1+lg 2)+(lg 2)2=2(lg 5+lg 2)+lg 5+lg 2(lg 5+lg 2)=2+lg 5+lg 2=2+1=3.
反思感悟?qū)τ诘讛?shù)相同的對(duì)數(shù)式的化簡、求值常用的方法(1)“收”,將同底的兩個(gè)對(duì)數(shù)的和(差)收成積(商)的對(duì)數(shù);(2)“拆”,將積(商)的對(duì)數(shù)拆成對(duì)數(shù)的和(差).對(duì)數(shù)式的化簡、求值一般是正用或逆用公式,要養(yǎng)成正用、逆用、變形應(yīng)用公式的習(xí)慣.lg 2+lg 5=1在計(jì)算對(duì)數(shù)值時(shí)會(huì)經(jīng)常用到,同時(shí)注意各部分變形要化到最簡形式.
換底公式的應(yīng)用例2計(jì)算下列各式的值:
分析用換底公式將對(duì)數(shù)化為同底的對(duì)數(shù)后再化簡求值.
反思感悟1.換底公式的本質(zhì)是化異底為同底,主要用途是將一般對(duì)數(shù)化為常用對(duì)數(shù)或自然對(duì)數(shù),解決對(duì)數(shù)的求值問題.2.利用換底公式計(jì)算、化簡、求值的一般思路:
變式訓(xùn)練2計(jì)算:(1)lg23·lg36·lg68;(2)(lg23+lg43)(lg32+lg274).
有附加條件的對(duì)數(shù)求值問題
(2)設(shè)ax=by=cz=k(k>0).∵a,b,c是不等于1的正數(shù),∴l(xiāng)g ax=lg k,lg by=lg k,lg cz=lg k.∴x=lgak,y=lgbk,z=lgck.
反思感悟條件求值問題的求解方法帶有附加條件的代數(shù)式求值問題,需要對(duì)已知條件和所求式子進(jìn)行化簡轉(zhuǎn)化,原則上是化為同底的對(duì)數(shù),以便利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).要整體把握對(duì)數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征,靈活運(yùn)用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化進(jìn)行解題.
解對(duì)數(shù)方程例4解下列方程:(1)lg x2-lg(x+2)=0;(2)lg x-lg 3=2lg 5-lg(x-10).
解得x=15或x=-5.經(jīng)檢驗(yàn)x=15是原方程的根.
反思感悟?qū)?shù)方程的類型與解法(1)lgaf(x)=b(f(x)>0,a>0,且a≠1)型,解法為將對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式f(x)=ab,解出x,注意檢驗(yàn).(2)lgf(x)n=b(f(x)>0,且f(x)≠1,n>0)型,解法為將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式[f(x)]b=n,解出x,注意檢驗(yàn).(3)形如lgaf(x)=lgaφ(x)(f(x)>0,且φ(x)>0),解法為轉(zhuǎn)化為f(x)=φ(x)求解,注意檢驗(yàn).(4)形如f(lgax)=0(a>0,且a≠1,x>0),解法為換元,令t=lgax,轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程f(t)=0,得t=p,再解方程lgax=p,得到x=ap,注意檢驗(yàn).
變式訓(xùn)練3解下列方程:(1)lg3(x2-10)=1+lg3x;(2)lg x+2lg(10x)x=2.
原方程可化為lg3(x2-10)=lg33x.所以x2-10=3x,解得x=-2或x=5.檢驗(yàn)知,方程的解為x=5.
一題多解典例已知lg189=a,18b=5,試用a,b表示lg3645.
技巧點(diǎn)撥與對(duì)數(shù)相關(guān)的帶有附加條件的代數(shù)式求值問題.需要對(duì)已知條件和所求式子進(jìn)行化簡轉(zhuǎn)化,原則是化為同底的對(duì)數(shù),以便利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).要整體把握對(duì)數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征,靈活運(yùn)用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化.
1.lg248-lg23=(　　)A.lg244 B.2C.4 D.-22.lg52·lg425等于(　　)
4.已知3a=2,用a表示lg34-lg36=　　　.?
答案:a-1　解析:∵3a=2,∴a=lg32.∴l(xiāng)g34-lg36=lg322-lg3(2×3)=2lg32-lg32-lg33=a-1.
答案:-lg26　36　

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2.2 換底公式

版本： 北師大版 (2019)

年級(jí)： 必修 第一冊(cè)

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