人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)第五章 三角函數(shù)5.5 三角恒等變換第3課時(shí)學(xué)案設(shè)計(jì)

這是一份人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)第五章 三角函數(shù)5.5 三角恒等變換第3課時(shí)學(xué)案設(shè)計(jì)，共10頁(yè)。
第3課時(shí) 兩角和與差的正切公式








根據(jù)同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系tan θ＝eq \f(sin θ,cs θ)，怎樣由sin(α＋β)以及cs(α＋β)的公式將tan(α＋β)用tan α，tan β來(lái)表示？如何將tan(α－β)用tan α，tan β來(lái)表示？


提示：tan(α＋β)＝eq \f(sin?α＋β?,cs?α＋β?)＝eq \f(sin αcs β＋cs αsin β,cs αcs β－sin αsin β)＝eq \f(\f(sin αcs β＋cs αsin β,cs αcs β),\f(cs αcs β－sin αsin β,cs αcs β))＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)，


tan(α－β)＝tan[α＋(－β)]


＝eq \f(tan α＋tan ?－β?,1－tan αtan ?－β?)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β).





兩角和與差的正切公式





1．思考辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)


(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( )


(2)對(duì)任意α，β∈R，tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)都成立．( )


(3)tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)等價(jià)于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)．( )


[提示] (1)√.當(dāng)α＝0，β＝eq \f(π,3)時(shí)，tan(α＋β)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＋\f(π,3)))＝tan 0＋tan eq \f(π,3)，但一般情況下不成立．


(2)×.兩角和的正切公式的適用范圍是α，β，α＋β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)．


(3)√.當(dāng)α≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，α＋β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)時(shí)，由前一個(gè)式子兩邊同乘以1－tan αtan β可得后一個(gè)式子．


[答案] (1)√ (2)× (3)√


2．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，則tan αtan β等于( )


A．2 B．1


C.eq \f(1,2) D．4


C [∵tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝4，且tan α＋tan β＝2，


∴eq \f(2,1－tan αtan β)＝4，解得tan αtan β＝eq \f(1,2).]


3．求值：taneq \f(11π,12)＝ .


－2＋eq \r(3) [taneq \f(11π,12)＝－taneq \f(π,12)＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(π,6)))


＝－eq \f(tan\f(π,4)－tan\f(π,6),1＋tan\f(π,4)tan\f(π,6))＝－eq \f(1－\f(\r(3),3),1＋\f(\r(3),3))


＝－2＋eq \r(3).]


4．已知tan α＝3，則taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝ .


－2 [taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tan α＋tan\f(π,4),1－tan αtan\f(π,4))＝eq \f(3＋1,1－3×1)＝－2.]





【例1】 (1)已知α，β均為銳角，tan α＝eq \f(1,2)，tan β＝eq \f(1,3)，則α＋β＝ .


(2)如圖，在△ABC中，AD⊥BC，D為垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，則tan∠BAC＝ .





[思路點(diǎn)撥] (1)先用公式T(α＋β)求tan(α＋β)，再求α＋β.


(2)先求∠CAD，∠BAD的正切值，再依據(jù)tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)求值．


(1)eq \f(π,4) (2)eq \f(1,7) [(1)∵tan α＝eq \f(1,2)，tan β＝eq \f(1,3)，


∴tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,2)×\f(1,3))＝1.


∵α，β均為銳角，


∴α＋β∈(0，π)，


∴α＋β＝eq \f(π,4).


(2)∵AD⊥BC且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，


∴tan∠BAD＝eq \f(BD,AD)＝eq \f(1,3)，


tan∠CAD＝eq \f(CD,AD)＝eq \f(1,2)，


tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)


＝eq \f(tan∠CAD－tan∠BAD,1＋tan∠CADtan∠BAD)


＝eq \f(\f(1,2)－\f(1,3),1＋\f(1,2)×\f(1,3))


＝eq \f(1,7).]





1．公式T(α±β)的結(jié)構(gòu)特征和符號(hào)規(guī)律：


(1)結(jié)構(gòu)特征：公式T(α±β)的右側(cè)為分式形式，其中分子為tan α與tan β的和或差，分母為1與tan αtan β的差或和．


(2)符號(hào)規(guī)律：分子同，分母反．


2．利用公式T(α＋β)求角的步驟：


(1)計(jì)算待求角的正切值．


(2)縮小待求角的范圍，特別注意隱含的信息．


(3)根據(jù)角的范圍及三角函數(shù)值確定角．





eq \([跟進(jìn)訓(xùn)練])


1．(1)已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,4)))＝eq \f(1,5)，則tan α＝ .


(2)已知角α，β均為銳角，且cs α＝eq \f(3,5)，tan(α－β)＝－eq \f(1,3)，則tan β＝ .


(1)eq \f(3,2) (2)3 [(1)因?yàn)閠aneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,4)))＝eq \f(1,5)，


所以tan α＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,4)＋\f(5π,4)))


＝eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,4)))＋tan \f(5π,4),1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,4)))tan \f(5π,4))＝eq \f(\f(1,5)＋1,1－\f(1,5)×1)＝eq \f(3,2).


(2)因?yàn)閏s α＝eq \f(3,5)，α為銳角，所以sin α＝eq \f(4,5)，tan α＝eq \f(4,3)，


所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝eq \f(tan α－tan?α－β?,1＋tan αtan?α－β?)＝eq \f(\f(4,3)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3))),1＋\f(4,3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3))))＝3.]


【例2】 (1)eq \f(1＋tan 15°,1－tan 15°)＝ .


(2)eq \f(1－\r(3)tan 75°,\r(3)＋tan 75°)＝ .


[思路點(diǎn)撥] 注意特殊角的正切值和公式T(α±β)的結(jié)構(gòu)，適當(dāng)變形后逆用公式求值．


(1)eq \r(3) (2)－1 [(1)原式＝eq \f(tan 45°＋tan 15°,1－tan 45°tan 15°)


＝tan(45°＋15°)


＝tan 60°＝eq \r(3).


(2)原式＝eq \f(\f(\r(3),3)－tan 75°,1＋\f(\r(3),3)tan 75°)


＝eq \f(tan 30°－tan 75°,1＋tan 30°tan 75°)


＝tan(30°－75°)＝－tan 45°＝－1.]





公式T?α±β?的逆用


一方面要熟記公式的結(jié)構(gòu)，另一方面要注意常值代換.


如等.


要特別注意





eq \([跟進(jìn)訓(xùn)練])


2．已知α、β均為銳角，且sin 2α＝2sin 2β，則( )


A．tan(α＋β)＝3tan(α－β)


B．tan(α＋β)＝2tan(α－β)


C．3tan(α＋β)＝tan(α－β)


D．3tan(α＋β)＝2tan(α－β)


A [∵sin 2α＝2sin 2β，


∴sin[(α＋β)＋(α－β)]＝2sin[(α＋β)－(α－β)]，


∴sin(α＋β)cs(α－β)＋cs(α＋β)sin(α－β)


＝2sin(α＋β)cs(α－β)－2cs(α＋β)sin(α－β)，


∴sin(α＋β)cs(α－β)＝3cs(α＋β)sin(α－β)，


兩邊同除以cs(α－β)cs(α＋β)得


tan(α＋β)＝3tan(α－β)．]


[探究問(wèn)題]


1．兩角和與差的正切公式揭示了tan αtan β與哪些式子的關(guān)系？


提示：揭示了tan αtan β與tan α＋tan β，tan αtan β與tan α－tan β之間的關(guān)系．


2．若tan α、tan β是關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的兩個(gè)根，則如何用a、b、c表示tan(α＋β)?


提示：tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(－\f(b,a),1－\f(c,a))＝－eq \f(b,a－c).


【例3】 (1)tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°＝ .


(2)已知△ABC中，tan B＋tan C＋eq \r(3)tan Btan C＝eq \r(3)，且eq \r(3)tan A＋eq \r(3)tan B＝tan Atan B－1，試判斷△ABC的形狀．


[思路點(diǎn)撥] (1)看到tan 67°－tan 22°與tan 67°tan 22°想到將tan(67°－22°)展開(kāi)變形，尋找解題思路．


(2)先由關(guān)于角A，B的等式求出tan(A＋B)得角A＋B，然后求角C并代入關(guān)于角B，C的等式求角B，最后求角A，判斷△ABC的形狀．


(1)1 [∵tan 67°－tan 22°


＝tan(67°－22°)(1＋tan 67°tan 22°)


＝tan 45°(1＋tan 67°tan 22°)


＝1＋tan 67°tan 22°，


∴tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°


＝1＋tan 67°tan 22°－tan 67°tan 22°＝1.]


(2)[解] ∵eq \r(3)tan A＋eq \r(3)tan B＝tan Atan B－1，


∴eq \r(3)(tan A＋tan B)＝tan Atan B－1，


∴eq \f(tan A＋tan B,1－tan Atan B)＝－eq \f(\r(3),3)，


∴tan(A＋B)＝－eq \f(\r(3),3).


又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝eq \f(5π,6)，∴C＝eq \f(π,6).


∵tan B＋tan C＋eq \r(3)tan Btan C＝eq \r(3)，tan C＝eq \f(\r(3),3)，


∴tan B＋eq \f(\r(3),3)＋tan B＝eq \r(3)，tan B＝eq \f(\r(3),3)，


∴B＝eq \f(π,6)，∴A＝eq \f(2π,3)，


∴△ABC為等腰鈍角三角形．





1．將例3(1)中的角同時(shí)增加1°結(jié)果又如何？


[解] ∵tan 45°＝tan(68°－23°)


＝eq \f(tan 68°－tan 23°,1＋tan 68°tan 23°)，


∴1＋tan 68°tan 23°＝tan 68°－tan 23°，


即tan 68°－tan 23°－tan 68°tan 23°＝1.


2．能否為例3(1)和探究1歸納出一個(gè)一般結(jié)論？若能，試證明．


[解] 一般結(jié)論：若α－β＝45°(α，β≠k×180°＋90°，k∈Z)，


則tan α－tan β－tan αtan β＝1.


證明：∵tan 45°＝tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)，


∴1＋tan αtan β＝tan α－tan β，


即tan α－tan β－tan αtan β＝1.





1．整體意識(shí)：若化簡(jiǎn)的式子中出現(xiàn)了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”兩個(gè)整體，?？紤]tan(α±β)的變形公式．


2．熟知變形：兩角和的正切公式的常見(jiàn)四種變形：


(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；


(2)1－tan αtan β＝eq \f(tan α＋tan β,tan?α＋β?)；


(3)tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)；


(4)tan α·tan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tan?α＋β?).


提醒：當(dāng)一個(gè)式子中出現(xiàn)兩角正切的和或差時(shí)，常考慮使用兩角和或差的正切公式．











1．牢記2個(gè)公式——T(α＋β)、T(α－β)


公式T(α±β)與S(α±β)、C(α±β)的一個(gè)重要區(qū)別，就是前者角α、β、α±β都不能取kπ＋eq \f(π,2) (k∈Z)，而后兩者α、β∈R，應(yīng)用時(shí)要特別注意這一點(diǎn)．


2．關(guān)注4個(gè)變形


注意公式的變形應(yīng)用．


如：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，1－tan αtan β＝eq \f(tan α＋tan β,tan?α＋β?)，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)，1＋tan αtan β＝eq \f(tan α－tan β,tan?α－β?)等．


3．規(guī)避1個(gè)易錯(cuò)


注意公式中的符號(hào)．





1．若tan α＝3，tan β＝eq \f(4,3)，則tan(α－β)等于( )


A．3 B．－3


C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)


C [tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)＝eq \f(3－\f(4,3),1＋3×\f(4,3))＝eq \f(1,3).]


2．若tan β＝3，tan(α－β)＝－2，則tan α＝( )


A.eq \f(1,7) B．－eq \f(1,7)


C．1 D．－1


A [tan α＝tan[(α－β)＋β]＝eq \f(tan?α－β?＋tan β,1－tan?α－β?tan β)＝eq \f(－2＋3,1－?－2?×3)＝eq \f(1,7).]


3．若taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝3，則tan α的值為 ．


eq \f(6－5\r(3),13) [tan α＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))))


＝eq \f(tan\f(π,3)－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α)),1＋tan\f(π,3)tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α)))


＝eq \f(\r(3)－3,1＋\r(3)×3)


＝eq \f(?\r(3)－3??3\r(3)－1?,?3\r(3)?2－1)


＝eq \f(12－10\r(3),26)


＝eq \f(6－5\r(3),13).]


4．已知tan(α＋β)＝eq \f(3,5)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,3)))＝eq \f(1,3)，則taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝ .


eq \f(2,9) [taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(?α＋β?－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,3)))))


＝eq \f(tan?α＋β?－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,3))),1＋tan?α＋β?tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,3))))


＝eq \f(\f(3,5)－\f(1,3),1＋\f(3,5)×\f(1,3))


＝eq \f(2,9).]


5．已知cs α＝eq \f(\r(5),5)，cs β＝eq \f(3,5)，其中α，β都是銳角，求tan(α＋β)的值．


[解] 因?yàn)棣?，β都是銳角，


所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(2\r(5),5)，


sin β＝eq \r(1－cs2β)＝eq \f(4,5)，


tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝2，tan β＝eq \f(sin β,cs β)＝eq \f(4,3)，


所以tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝－2.


學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
核 心 素 養(yǎng)
1.能利用兩角和與差的正弦、余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式.


2.能利用兩角和與差的正切公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證明．(重點(diǎn))


3.熟悉兩角和與差的正切公式的常見(jiàn)變形，并能靈活應(yīng)用．(難點(diǎn))
1.通過(guò)利用公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、證明等問(wèn)題，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).


2.借助公式進(jìn)行求值，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
名稱(chēng)
簡(jiǎn)記符號(hào)
公式
使用條件
兩角和的正切
T(α＋β)
tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)
α，β，α＋β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z) 且tan α·tan β≠1
兩角差的正切
T(α－β)
tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)
α，β，α－β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z) 且tan α·tan β≠－1
兩角和與差的正切公式的正用
兩角和與差的正切公式的逆用
兩角和與差的正切公式的變形運(yùn)用