第1講　坐標(biāo)系



一、知識(shí)梳理
1．坐標(biāo)系
(1)伸縮變換
設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換φ：的作用下，點(diǎn)P(x，y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P′(λx，μy)，稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換．
(2)極坐標(biāo)系
在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)；自極點(diǎn)O引一條射線Ox，叫做極軸；再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位，一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針方向)，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系．

設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑，記為ρ；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點(diǎn)M的極角，記為θ，有序數(shù)對(duì)(ρ，θ)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記為M(ρ，θ)．
2．直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化
把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸，且在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位．設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)分別為(x，y)和(ρ，θ)，則

3．直線的極坐標(biāo)方程
若直線過(guò)點(diǎn)M(ρ0，θ0)，且極軸到此直線的角為α，則它的方程為：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．
幾個(gè)特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程：
(1)直線過(guò)極點(diǎn)：θ＝θ0和θ＝π＋θ0.
(2)直線過(guò)點(diǎn)M(a，0)且垂直于極軸：ρcos θ＝a．
(3)直線過(guò)點(diǎn)M且平行于極軸：ρsin θ＝b．
4．圓的極坐標(biāo)方程
若圓心為M(ρ0，θ0)，半徑為r，則該圓的方程為：
ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.
幾個(gè)特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程：
(1)當(dāng)圓心位于極點(diǎn)，半徑為r：ρ＝r.
(2)當(dāng)圓心位于M(a，0)，半徑為a：ρ＝2acos θ．
(3)當(dāng)圓心位于M，半徑為a：ρ＝2asin θ．
常用結(jié)論
1．明辨兩個(gè)坐標(biāo)
伸縮變換關(guān)系式點(diǎn)(x，y)在原曲線上，點(diǎn)(x′，y′)在變換后的曲線上，因此點(diǎn)(x，y)的坐標(biāo)滿足原來(lái)的曲線方程，點(diǎn)(x′，y′)的坐標(biāo)滿足變換后的曲線方程．
2．極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化
(1)公式代入：直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化簡(jiǎn)．
(2)整體代換：極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，變形構(gòu)造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，進(jìn)行整體代換．
二、教材衍化
1．在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝－2sin θ的圓心的極坐標(biāo)是(　　)
A.　　　　　　　 B.
C．(1，0) D．(1，π)
解析：選B.由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化為直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝－2y，化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y＋1)2＝1，圓心坐標(biāo)為(0，－1)，其對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)為.故選B.
2．圓心C的極坐標(biāo)為，且圓C經(jīng)過(guò)極點(diǎn)．求圓C的極坐標(biāo)方程．
解：圓心C的直角坐標(biāo)為(，)，則設(shè)圓C的直角坐標(biāo)方程為(x－)2＋(y－)2＝r2，
依題意可知r2＝(0－)2＋(0－)2＝4，
故圓C的直角坐標(biāo)方程為(x－)2＋(y－)2＝4，化為極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρ(sin θ＋cos θ)＝0，
即ρ＝2(sin θ＋cos θ)．

一、思考辨析
判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)能建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，在極坐標(biāo)系中點(diǎn)與坐標(biāo)也是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．(　　)
(2)在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程不是唯一的．(　　)
(3)極坐標(biāo)方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲線是一條直線．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×
二、易錯(cuò)糾偏
(1)對(duì)極坐標(biāo)幾何意義不理解；
(2)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化致誤．
1．在極坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A，B，則|AB|＝ ．
解析：設(shè)極點(diǎn)為O.在△OAB中，A，B，由余弦定理，得AB＝＝.
答案：
2．確定極坐標(biāo)方程ρ2cos 2θ－2ρcos θ＝1表示的曲線．
解：由極坐標(biāo)方程ρ2cos 2θ－2ρcos θ＝1，得
ρ2(cos2θ－sin2θ)－2ρcos θ＝1.
由互化公式
得x2－y2－2x＝1，即(x－1)2－y2＝2.
故此方程表示以(1，0)為中心，F(xiàn)1(－1，0)，F(xiàn)2(3，0)為焦點(diǎn)的等軸雙曲線．


　　　　　平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換(師生共研)
(1)曲線C：x2＋y2＝1經(jīng)過(guò)伸縮變換得到曲線C′，則曲線C′的方程為 ．
(2)曲線C經(jīng)過(guò)伸縮變換后所得曲線的方程為x′2＋y′2＝1，則曲線C的方程為 ．
【解析】　(1)因?yàn)樗?br /> 代入曲線C的方程得C′：＋y′2＝1.
(2)根據(jù)題意，曲線C經(jīng)過(guò)伸縮變換后所得曲線的方程為x′2＋y′2＝1，
則(2x)2＋(3y)2＝1，
即4x2＋9y2＝1，
所以曲線C的方程為4x2＋9y2＝1.
【答案】　(1)＋y′2＝1　(2)4x2＋9y2＝1

(1)平面上的曲線y＝f(x)在變換φ：的作用下的變換方程的求法是將代入y＝f(x)，整理得y′＝h(x′)即為所求．
(2)解答該類問題應(yīng)明確兩點(diǎn)：一是根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換公式的意義與作用；二是明確變換前的點(diǎn)P(x，y)與變換后的點(diǎn)P′(x′，y′)的坐標(biāo)關(guān)系，用方程思想求解．

1．在同一平面直角坐標(biāo)系中，已知伸縮變換φ：則點(diǎn)A經(jīng)過(guò)變換后所得的點(diǎn)A′的坐標(biāo)為 ．
解析：設(shè)A′(x′，y′)，由伸縮變換φ：得到由于點(diǎn)A的坐標(biāo)為，于是x′＝3×＝1，y′＝×(－2)＝－1，
所以A′的坐標(biāo)為(1，－1)．
答案：(1，－1)
2．將圓x2＋y2＝1變換為橢圓＋＝1的一個(gè)伸縮變換公式為φ：求a，b的值．
解：由得代入x2＋y2＝1中得＋＝1，所以a2＝9，b2＝4，
因?yàn)閍>0，b>0，所以a＝3，b＝2.

　　　　　極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化(師生共研)
(1)已知直線l的極坐標(biāo)方程為2ρsin＝，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為A，求點(diǎn)A到直線l的距離．
(2)把曲線C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0化為極坐標(biāo)方程．
【解】　(1)由2ρsin＝，得2ρ＝，所以y－x＝1.
由點(diǎn)A的極坐標(biāo)為得點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(2，－2)，所以d＝＝.
即點(diǎn)A到直線l的距離為.
(2)將代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，
得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0，所以C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.

極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化
(1)直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程：將公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入直角坐標(biāo)方程并化簡(jiǎn)即可．
(2)極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程：通過(guò)變形，構(gòu)造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再應(yīng)用公式進(jìn)行代換．其中方程的兩邊同乘以(或同除以)ρ及方程兩邊平方是常用的變形技巧．

1．在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，直線的極坐標(biāo)方程為ρcos＝a，且點(diǎn)A在直線上，求a的值及直線的直角坐標(biāo)方程．
解：因?yàn)辄c(diǎn)A(，)在直線ρcos＝a上，所以a＝cos＝，
所以直線的方程可化為ρcos θ＋ρsin θ＝2，
從而直線的直角坐標(biāo)方程為x＋y－2＝0.
2．在極坐標(biāo)系下，已知圓O：ρ＝cos θ＋sin θ和直線l：ρsin＝(ρ≥0，0≤θ0)在曲線C：ρ＝4sin θ上，直線l過(guò)點(diǎn)A(4，0)且與OM垂直，垂足為P.
(1)當(dāng)θ0＝時(shí)，求ρ0及l(fā)的極坐標(biāo)方程；
(2)當(dāng)點(diǎn)M在C上運(yùn)動(dòng)且點(diǎn)P在線段OM上時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程．
【解】　(1)因?yàn)镸(ρ0，θ0)在C上，當(dāng)θ0＝時(shí)，ρ0＝4sin ＝2.
由已知得|OP|＝|OA|cos ＝2.
設(shè)Q(ρ，θ)為l上除點(diǎn)P外的任意一點(diǎn)．連接OQ，
在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2.
經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)P在曲線ρcos＝2上．
所以，l的極坐標(biāo)方程為ρcos＝2.
(2)設(shè)P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ.
因?yàn)镻在線段OM上，且AP⊥OM，
故θ的取值范圍是.
所以，P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ，θ∈.

求曲線的極坐標(biāo)方程的步驟
(1)建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，設(shè)P(ρ，θ)是曲線上任意一點(diǎn)．
(2)由曲線上的點(diǎn)所適合的條件，列出曲線上任意一點(diǎn)的極徑ρ和極角θ之間的關(guān)系式．
(3)將列出的關(guān)系式進(jìn)行整理、化簡(jiǎn)，得出曲線的極坐標(biāo)方程．

1．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，過(guò)極點(diǎn)O作圓C：ρ＝8cos θ的弦ON，交圓C于點(diǎn)N.
求ON的中點(diǎn)M的軌跡的極坐標(biāo)方程．
解：設(shè)M(ρ，θ)，N(ρ1，θ1)．
因?yàn)镹點(diǎn)在圓ρ＝8cos θ上，所以ρ1＝8cos θ1.①
因?yàn)镸是ON的中點(diǎn)，所以
代入①式得2ρ＝8cos θ，
故點(diǎn)M的軌跡的極坐標(biāo)方程是ρ＝4cos θ.
2．在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos ＝1(0≤θ＜2π)，M，N分別為曲線C與x軸，y軸的交點(diǎn)．
(1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程，并求M，N的極坐標(biāo)；
(2)設(shè)MN的中點(diǎn)為P，求直線OP的極坐標(biāo)方程．
解：(1)由ρcos＝1得
ρ＝1.
從而曲線C的直角坐標(biāo)方程為x＋y＝1，
即x＋y－2＝0.
當(dāng)θ＝0時(shí)，ρ＝2，所以M(2，0)．
當(dāng)θ＝時(shí)，ρ＝，
所以N.
(2)由(1)知，M點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2，0)，N點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.
所以P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，
則P點(diǎn)的極坐標(biāo)為.
所以直線OP的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)．

　　　　　　曲線極坐標(biāo)方程的應(yīng)用(師生共研)
(2020·鄭州四校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，直線C2的方程為y＝x.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
(1)求曲線C1和直線C2的極坐標(biāo)方程；
(2)若直線C2與曲線C1交于A，B兩點(diǎn)，求＋.
【解】　(1)由曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，得曲線C1的普通方程為(x－2)2＋(y－2)2＝1，
則C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，
由于直線C2過(guò)原點(diǎn)，且傾斜角為，故其極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)(tan θ＝)．
(2)由得ρ2－(2＋2)ρ＋7＝0，設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的極徑分別為ρ1，ρ2，則ρ1＋ρ2＝2＋2，ρ1ρ2＝7，
所以＋＝＝＝.

在已知極坐標(biāo)方程求曲線交點(diǎn)、距離、線段長(zhǎng)、面積等幾何問題時(shí)，如果不能直接用極坐標(biāo)解決，或用極坐標(biāo)解決較麻煩，可將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程解決．

1．(2020·昆明市診斷測(cè)試)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)．
(1)求曲線C1的極坐標(biāo)方程；
(2)若曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＋8cos θ＝0，直線l與曲線C1在第一象限的交點(diǎn)為A，與曲線C2的交點(diǎn)為B(異于原點(diǎn))，求|AB|.
解：(1)消去參數(shù)t得曲線C1的普通方程為x2＋9y2＝9，故曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ2＋8ρ2sin2θ－9＝0.
(2)因?yàn)锳，B兩點(diǎn)在直線l上，所以可設(shè)A，B.
把點(diǎn)A的極坐標(biāo)代入C1的極坐標(biāo)方程得，ρ＋8ρsin2－9＝0，解得ρ1＝±.
已知A點(diǎn)在第一象限，所以ρ1＝.
因?yàn)锽異于原點(diǎn)，所以把點(diǎn)B的極坐標(biāo)代入C2的極坐標(biāo)方程得，
ρ2＋8cos ＝0，解得ρ2＝－4.
所以|AB|＝|ρ1－ρ2|＝|＋4|＝5.
2．(2020·安徽五校聯(lián)盟第二次質(zhì)檢)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1：x＝0，圓C：(x－1)2＋(y－1－)2＝1，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
(1)求直線l1和圓C的極坐標(biāo)方程；
(2)若直線l2的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)，設(shè)l1，l2與圓C的公共點(diǎn)分別為A，B，求△OAB的面積．
解：(1)因?yàn)閤＝ρcos θ，y＝ρsin θ，x2＋y2＝ρ2，所以直線l1的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝0，即θ＝(ρ∈R)，
圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρcos θ－2(1＋)ρsin θ＋3＋2＝0.
(2)將θ＝代入ρ2－2ρcos θ－2(1＋)ρsin θ＋3＋2＝0，
得ρ2－2(1＋)ρ＋3＋2＝0，解得ρ1＝1＋.將θ＝代入ρ2－2ρcos θ－2(1＋)ρsin θ＋3＋2＝0，
得ρ2－2(1＋)ρ＋3＋2＝0，
解得ρ2＝1＋.
故△OAB的面積為×(1＋)2×sin＝1＋.

[基礎(chǔ)題組練]
1．在同一平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)伸縮變換后，曲線C：x2＋y2＝36變?yōu)楹畏N曲線，并求曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)．
解：設(shè)圓x2＋y2＝36上任一點(diǎn)為P(x，y)，伸縮變換后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為P′(x′，y′)，
則所以4x′2＋9y′2＝36，即＋＝1.
所以曲線C在伸縮變換后得橢圓＋＝1，
其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±，0)．
2．在極坐標(biāo)系中，圓C是以點(diǎn)C為圓心，2為半徑的圓．
(1)求圓C的極坐標(biāo)方程；
(2)求圓C被直線l：θ＝(ρ∈R)所截得的弦長(zhǎng)．
解：(1)圓C是將圓ρ＝4cos θ繞極點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而得到的圓，
所以圓C的極坐標(biāo)方程是ρ＝4cos.
(2)將θ＝－代入圓C的極坐標(biāo)方程ρ＝4cos，得ρ＝2，
所以，圓C被直線l：θ＝，即直線θ＝－所截得的弦長(zhǎng)為2.
3．在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1：ρ＝4cos θ，C2：ρcos θ＝3.
(1)求C1與C2的交點(diǎn)的極坐標(biāo)；
(2)設(shè)點(diǎn)Q在C1上，＝，求動(dòng)點(diǎn)P的極坐標(biāo)方程．
解：(1)聯(lián)立得cos θ＝±，
因?yàn)?≤θ0，所以α＝.
6．(2020·江淮十校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．
(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；
(2)已知A，B是曲線C上任意兩點(diǎn)，且∠AOB＝，求△OAB面積的最大值．
解：(1)消去參數(shù)α，得到曲線C的普通方程為
(x－2)2＋y2＝4，
故曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ.
(2)在極坐標(biāo)系中，不妨設(shè)A(ρ1，θ0)，B(ρ2，θ0＋)，其中ρ1>0，ρ2>0，－

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