一、知識梳理
1．仰角和俯角
在目標視線和水平視線所成的角中，目標視線在水平視線上方的角叫仰角，在水平視線下方的角叫俯角(如圖①)．

2．方位角
從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖②)．
3．方向角
相對于某一正方向的水平角．
(1)北偏東α，即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)α到達目標方向(如圖③)．
(2)北偏西α，即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)α到達目標方向．
(3)南偏西等其他方向角類似．
常用結(jié)論
1．明確兩類角
(1)方位角：從正北方向起按順時針轉(zhuǎn)到目標方向線之間的水平夾角．
(2)方向角：正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角．
2．解三角形應(yīng)用題的一般步驟

二、教材衍化
如圖所示，設(shè)A，B兩點在河的兩岸，一測量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計算出A，B兩點的距離為 米．

答案：50

一、思考辨析
判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為α＋β＝180°.(　　)
(2)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為.(　　)
(3)方位角與方向角其實質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點與目標點之間的位置關(guān)系．(　　)
(4)方位角大小的范圍是[0，2π)，方向角大小的范圍一般是.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
二、易錯糾偏
(1)仰角、俯角概念不清；
(2)方向角概念不清；
(3)方位角概念不清．
1．如圖所示，在某次測量中，在A處測得同一鉛垂平面內(nèi)的B點的仰角是60°，C點的俯角是70°，則∠BAC＝ ．

答案：130°
2.如圖，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站的南偏西40°方向上，燈塔B在觀察站的南偏東60°方向上，則燈塔A相對于燈塔B的方向角是 ．

答案：南偏西80°
3．點A在點B的南偏西20°方向上，若以點B為基點，則點A的方位角是 ．
答案：200°


　　　　　　測量距離問題(師生共研)
(2020·福建寧德5月質(zhì)檢)海洋藍洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被譽為“地球給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上已知最深的海洋藍洞．若要測量如圖所示的海洋藍洞的口徑(即A，B兩點間的距離)，現(xiàn)取兩點C，D，測得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，則圖中海洋藍洞的口徑為 ．

【解析】　由已知得，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，
所以∠DAC＝15°，
由正弦定理得AC＝＝＝40(＋)．
在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°，
由正弦定理＝，
得BC＝＝＝160sin 15°＝40(－)．
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1 600×(8＋4)＋1 600×(8－4)＋2×1 600×(＋)×(－)×＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20＝32 000，
解得AB＝80.
故圖中海洋藍洞的口徑為80.
【答案】　80

測量距離問題的解法
選擇合適的輔助測量點，構(gòu)造三角形，將實際問題轉(zhuǎn)化為求某個三角形的邊長問題，再利用正、余弦定理求解．
[提醒]　解三角形時，為避免誤差的積累，應(yīng)盡可能用已知的數(shù)據(jù)(原始數(shù)據(jù))，少用間接求出的量．
　如圖，為了測量兩座山峰上P，Q兩點之間的距離，選擇山坡上一段長度為300 m且和P，Q兩點在同一平面內(nèi)的路段AB的兩個端點作為觀測點，現(xiàn)測得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，則P，Q兩點間的距離為 m.

解析：由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.又∠PBA＝∠PBQ＝60°，所以∠AQB＝30°，所以AB＝BQ.
又PB為公共邊，所以△PAB≌△PQB，所以PQ＝PA.
在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900，故PQ＝900，
所以P，Q兩點間的距離為900 m.
答案：900

　　　　　　測量高度問題(師生共研)
(2020·吉林長春質(zhì)量監(jiān)測四)《海島算經(jīng)》是中國學者劉徽編撰的一部測量數(shù)學著作，現(xiàn)有取自其中的一個問題：今有望海島，立兩表，齊高三丈，前后相去千步，令后表與前表參相直，從前表卻行一百二十三步，人目著地，取望島峰，與表末參合，從后表卻行一百二十七步，人目著地，取望島峰，亦與表末參合，問島高幾何？其大意為：如圖所示，立兩個三丈高的標桿BC和DE，兩標桿之間的距離BD＝1 000步，兩標桿的底端與海島的底端H在同一直線上，從前面的標桿B處后退123步，人眼貼地面，從地上F處仰望島峰，A，C，F(xiàn)三點共線，從后面的標桿D處后退127步，人眼貼地面，從地上G處仰望島峰，A，E，G三點也共線，則海島的高為(注：1步＝6尺，1里＝180丈＝1 800尺＝300步)(　　)

A．1 255步　　　　　　　　 B．1 250步
C．1 230步 D．1 200步
【解析】　因為AH∥BC，所以△BCF∽△HAF，所以＝.
因為AH∥DE，所以△DEG∽△HAG，所以＝.
又BC＝DE，所以＝，即＝，所以HB＝30 750步，
又＝，所以AH＝＝1 255(步)．故選A.
【答案】　A

求解高度問題應(yīng)注意的3個問題
(1)要理解仰角、俯角的定義；
(2)在實際問題中可能會遇到空間與平面(底面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形；
(3)注意山或塔垂直底面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．
　如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600 m后到達B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝ m.

解析：由題意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.
又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，
解得BC＝300 m.
在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300×＝100(m)．
答案：100

　　　　　　測量角度問題(師生共研)
一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75°的方向航行(2－2)n mile到達海島B，然后從B出發(fā)，沿北偏東15°的方向航行4 n mile到達海島C.

(1)求AC的長；
(2)如果下次航行直接從A出發(fā)到達C，求∠CAB的大?。?br /> 【解】　(1)由題意，在△ABC中，
∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，AB＝2－2，BC＝4，
根據(jù)余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC
＝(2－2)2＋42＋(2－2)×4＝24，
所以AC＝2.
(2)根據(jù)正弦定理得，sin∠BAC＝＝，
所以∠CAB＝45°.

解決角度問題的三個注意事項
(1)測量角度時，首先應(yīng)明確方位角及方向角的含義；
(2)求角的大小時，先在三角形中求出其正弦或余弦值；
(3)在解應(yīng)用題時，要根據(jù)題意正確畫出示意圖，通過這一步可將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學方法解決的問題，解題過程中也要注意體會正、余弦定理綜合使用的優(yōu)點．

1．(2020·江西新余模擬)一艘游輪航行到A處時看燈塔B在A的北偏東75°，距離為12海里，燈塔C在A的北偏西30°，距離為12海里，該游輪由A沿正北方向繼續(xù)航行到D處時再看燈塔B在其南偏東60°方向，則此時燈塔C位于游輪的(　　)
A．正西方向 B．南偏西75°方向
C．南偏西60°方向 D．南偏西45°方向
解析：選C.如圖：在△ABD中，B＝45°，由正弦定理有＝，AD＝＝24.

在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC×AD×cos 30°，因為AC＝12，AD＝24，所以CD＝12，由正弦定理得＝，sin∠CDA＝，故∠CDA＝60°或者∠CDA＝120°.
因為AD＞AC，故∠CDA為銳角，所以∠CDA＝60°.
2.甲船在A處觀察乙船，乙船在它的北偏東60°的方向，相距a海里的B處，乙船正向北行駛，若甲船是乙船速度的倍，甲船為了盡快追上乙船，則應(yīng)取北偏東 (填角度)的方向前進．

解析：設(shè)兩船在C處相遇，則由題意∠ABC＝180°－60°＝120°，且＝，
由正弦定理得＝＝，
所以sin∠BAC＝.
又因為0°

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