一、知識(shí)梳理
1．等差數(shù)列與等差中項(xiàng)
(1)定義：
①文字語言：一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)；
②符號(hào)語言：an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù))．
(2)等差中項(xiàng)：若三個(gè)數(shù)a，A，b組成等差數(shù)列，則A叫做a，b的等差中項(xiàng)．
2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式
(1)通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d．
(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋d＝．
3．等差數(shù)列的性質(zhì)
已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和．
(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an．
(3)若{an}的公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為2d．
(4)若{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列．
(5)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…構(gòu)成等差數(shù)列．
常用結(jié)論
1．等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系
(1)通項(xiàng)公式：當(dāng)公差d≠0時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是關(guān)于n的一次函數(shù)，且一次項(xiàng)系數(shù)為公差d.若公差d＞0，則為遞增數(shù)列，若公差d＜0，則為遞減數(shù)列．
(2)前n項(xiàng)和：當(dāng)公差d≠0時(shí)，Sn＝na1＋d＝n2＋n是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.
2．兩個(gè)常用結(jié)論
(1)關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的性質(zhì)
①若項(xiàng)數(shù)為2n，則S偶－S奇＝nd，＝；
②若項(xiàng)數(shù)為2n－1，則S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝.
(2)兩個(gè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和Sn，Tn之間的關(guān)系為＝.
二、習(xí)題改編
1．(必修5P38例1(1)改編)已知等差數(shù)列－8，－3，2，7，…，則該數(shù)列的第10項(xiàng)為 ．
答案：37
2．(必修5P46A組T2改編)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝12，S5＝90，則等差數(shù)列{an}的公差d＝ ．
答案：3
3．(必修5P39練習(xí)T2改編)某劇場有20排座位，后一排比前一排多2個(gè)座位，最后一排有60個(gè)座位，則劇場總共的座位數(shù)為 ．
解析：設(shè)第n排的座位數(shù)為an(n∈N*)，數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其公差d＝2，則an＝a1＋(n－1)d＝a1＋2(n－1)．由已知a20＝60，得60＝a1＋2×(20－1)，解得a1＝22，則劇場總共的座位數(shù)為＝＝820.
答案：820

一、思考辨析
判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列．(　　)
(2)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列．(　　)
(3)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù)．(　　)
(4)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)
(5)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的．(　　)
(6)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√　(6)×
二、易錯(cuò)糾偏
(1)等差數(shù)列概念中的兩個(gè)易誤點(diǎn)，即同一個(gè)常數(shù)與常數(shù)；
(2)錯(cuò)用公式致誤；
(3)錯(cuò)用性質(zhì)致誤．
1．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，則數(shù)列{an}的前9項(xiàng)和等于 ．
解析：由a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，可知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，故S9＝9a1＋×＝9＋18＝27.
答案：27
2．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a4＋a5＝24，S6＝48，則{an}的公差為 ．
解析：由已知得解得所以數(shù)列{an}的公差為4.
答案：4
3．在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，則a2＋a8＝ ．
解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，所以a5＝90，所以a2＋a8＝2a5＝180.
答案：180


　　　　　　等差數(shù)列的基本運(yùn)算(師生共研)
(1)(2020·福州市質(zhì)量檢測)已知數(shù)列{an}中，a3＝2，a7＝1.若數(shù)列為等差數(shù)列，則a9＝(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D．－
(2)(2019·高考全國卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知S4＝0，a5＝5，則(　　)
A．a(chǎn)n＝2n－5 B．a(chǎn)n＝3n－10
C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n
【解析】　(1)因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，a3＝2，a7＝1，
所以數(shù)列的公差d＝＝＝，所以＝＋(9－7)×＝，所以a9＝，故選C.
(2)法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，
因?yàn)樗越獾盟詀n＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋d＝n2－4n.故選A.
法二：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
因?yàn)樗越獾?br /> 選項(xiàng)A，a1＝2×1－5＝－3；
選項(xiàng)B，a1＝3×1－10＝－7，排除B；
選項(xiàng)C，S1＝2－8＝－6，排除C；
選項(xiàng)D，S1＝－2＝－，排除D.故選A.
【答案】　(1)C　(2)A

等差數(shù)列的基本運(yùn)算的解題策略
(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了方程思想．
(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換的作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知量和未知量是常用方法．

1．(一題多解)(2020·惠州市第二次調(diào)研)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a2＋a3＋a4＝15，a7＝13，則S5＝(　　)
A．28 B．25
C．20 D．18
解析：選B.法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由已知得解得所以S5＝5a1＋d＝5×1＋×2＝25，故選B.
法二：由{an}是等差數(shù)列，可得a2＋a4＝2a3，所以a3＝5，所以S5＝＝＝25，故選B.
2．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2＝4，S4＝22，an＝28，則n＝(　　)
A．3 B．7
C．9 D．10
解析：選D.因?yàn)镾4＝a1＋a2＋a3＋a4＝4a2＋2d＝22，d＝＝3，a1＝a2－d＝4－3＝1，an＝a1＋(n－1)d＝1＋3(n－1)＝3n－2，由3n－2＝28，得n＝10.

　　　　　等差數(shù)列的判定與證明(典例遷移)
已知數(shù)列{an}中，a1＝，其前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an＝(n≥2)．
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
【解】　(1)證明：當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－Sn－1＝.
整理，得Sn－1－Sn＝2SnSn－1.
兩邊同時(shí)除以SnSn－1，得－＝2.
又＝＝4，所以是以4為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列．
(2)由(1)可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，所以Sn＝.
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－＝.
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝，不適合上式．
所以an＝
【遷移探究】　(變條件)本例的條件變?yōu)椋篴1＝，Sn＝(n≥2)，證明是等差數(shù)列．
證明：因?yàn)镾n＝，所以2Sn－1Sn＋Sn＝Sn－1，即Sn－1－Sn＝2SnSn－1，故－＝2(n≥2)，
又＝＝4，因此數(shù)列是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列．

等差數(shù)列的判定與證明的常用方法
(1)定義法：an＋1－an＝d(d是常數(shù)，n∈N*)或an－an－1＝d(d是常數(shù)，n∈N*，n≥2)?{an}為等差數(shù)列．
(2)等差中項(xiàng)法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}為等差數(shù)列．
(3)通項(xiàng)公式法：an＝an＋b(a，b是常數(shù)，n∈N*)?{an}為等差數(shù)列．
(4)前n項(xiàng)和公式法：Sn＝an2＋bn(a，b為常數(shù))?{an}為等差數(shù)列．
[提示]　若要判定一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需找出三項(xiàng)an，an＋1，an＋2，使得這三項(xiàng)不滿足2an＋1＝an＋an＋2即可；但如果要證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，則必須用定義法或等差中項(xiàng)法．

1．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝，且bn＝，n∈N*.求證：數(shù)列{bn}為等差數(shù)列．
證明：因?yàn)閎n＝，且an＋1＝，所以bn＋1＝＝＝1＋＝1＋bn，故bn＋1－bn＝1.又b1＝＝1，
所以數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．
2．(2020·貴州省適應(yīng)性考試)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.
(1)求a2，a3的值；
(2)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式．
解：(1)由已知，得a2－2a1＝4，
則a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6.
由2a3－3a2＝12，
得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.
(2)由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，
得＝2，即－＝2，
所以數(shù)列是首項(xiàng)＝1，公差d＝2的等差數(shù)列．
則＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n.

　　　　　等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用(多維探究)
角度一　等差數(shù)列項(xiàng)性質(zhì)的應(yīng)用
(1)(一題多解)在公差不為0的等差數(shù)列{an}中，4a3＋a11－3a5＝10，則a4＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
(2)一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)和為354，前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和的比為32∶27，則該數(shù)列的公差d＝ ．
【解析】　(1)通解：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，由4a3＋a11－3a5＝10，得4(a1＋2d)＋(a1＋10d)－3(a1＋4d)＝10，即2a1＋6d＝10，即a1＋3d＝5，故a4＝5，所以a4＝1，故選C.
優(yōu)解一：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，因?yàn)閍n＝am＋(n－m)d，所以由4a3＋a11－3a5＝10，得4(a4－d)＋(a4＋7d)－3(a4＋d)＝10，整理得a4＝5，所以a4＝1，故選C.
優(yōu)解二：由等差數(shù)列的性質(zhì)，得2a7＋3a3－3a5＝10，得4a5＋a3－3a5＝10，即a5＋a3＝10，則2a4＝10，即a4＝5，所以a4＝1，故選C.
(2)設(shè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和為S奇，偶數(shù)項(xiàng)的和為S偶，公差為d.
由已知條件，得
解得
又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5.
【答案】　(1)C　(2)5
角度二　等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用
(1)已知等差數(shù)列{an}的前10項(xiàng)和為30，它的前30項(xiàng)和為210，則前20項(xiàng)和為(　　)
A．100 B．120
C．390 D．540
(2)在等差數(shù)列{an}中，a1＝－2 018，其前n項(xiàng)和為Sn，若－＝2，則S2 018的值等于(　　)
A．－2 018 B．－2 016
C．－2 019 D．－2 017
【解析】　(1)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S10，S20－S10，S30－S20成等差數(shù)列，
所以2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，
又等差數(shù)列{an}的前10項(xiàng)和為30，前30項(xiàng)和為210，
所以2(S20－30)＝30＋(210－S20)，解得S20＝100.
(2)由題意知，數(shù)列為等差數(shù)列，其公差為1，所以＝＋(2 018－1)×1＝－2 018＋2 017＝－1.
所以S2 018＝－2 018.
【答案】　(1)A　(2)A
角度三　等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值
(一題多解)(2020·廣東省七校聯(lián)考)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a6＋a8＝6，S9－S6＝3，則Sn取得最大值時(shí)n的值為(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
【解析】　法一：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則由題意得，解得所以an＝－2n＋17，由于a8＞0，a9＜0，所以Sn取得最大值時(shí)n的值是8，故選D.
法二：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則由題意得，解得則Sn＝15n＋×(－2)＝－(n－8)2＋64，所以當(dāng)n＝8時(shí)，Sn取得最大值，故選D.

(1)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)
在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，則
①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
②S2n－1＝(2n－1)an；
③當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí)，S偶－S奇＝nd；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n－1時(shí)，S奇－S偶＝a中，S奇∶S偶＝n∶(n－1)．
(2)求數(shù)列前n項(xiàng)和的最值的方法
①通項(xiàng)法：〈1〉若a1＞0，d＜0，則Sn必有最大值，其n可用不等式組來確定；〈2〉若a1＜0，d＞0，則Sn必有最小值，其n可用不等式組來確定．
②二次函數(shù)法：等差數(shù)列{an}中，由于Sn＝na1＋d＝n2＋n，故可用二次函數(shù)求最值的方法來求前n項(xiàng)和的最值，這里應(yīng)由n∈N*及二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性來確定n的值．
③不等式組法：借助Sn最大時(shí)，有(n≥2，n∈N*)，解此不等式組確定n的范圍，進(jìn)而確定n的值和對(duì)應(yīng)Sn的值(即Sn的最值)．

1．(一題多解)(2020·福建省質(zhì)量檢查)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a8－a5＝9，S8－S5＝66，則a33＝(　　)
A．82 B．97
C．100 D．115
解析：通解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則由得解得所以a33＝a1＋32d＝4＋32×3＝100，故選C.
優(yōu)解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a8－a5＝9，得3d＝9，即d＝3.由S8－S5＝66，得a6＋a7＋a8＝66，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)知3a7＝66，即a7＝22，所以a33＝a7＋(33－7)×d＝22＋26×3＝100，故選C.
2．已知無窮等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S6＜S7，且S7＞S8，則(　　)
A．在數(shù)列{an}中，a1最大
B．在數(shù)列{an}中，a3或a4最大
C．S3＝S10
D．當(dāng)n≥8時(shí)，an>0
解析：選A.由于S6＜S7，S7＞S8，所以S7－S6＝a7＞0，S8－S7＝a8＜0，所以數(shù)列{an}是遞減的等差數(shù)列，最大項(xiàng)為a1，所以A正確，B錯(cuò)，D錯(cuò)；S10－S3＝a4＋a5＋…＋a10＝7a7＞0，故C錯(cuò)誤．
3．兩等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，且＝，則＝ ．
解析：因?yàn)閿?shù)列{an}和{bn}均為等差數(shù)列，所以＝＝＝＝＝.
答案：

思想方法系列10　整體思想在等差數(shù)列中的應(yīng)用
在等差數(shù)列{an}中，其前n項(xiàng)和為Sn.已知Sn＝m，Sm＝n(m≠n)，則Sm＋n＝ ．
【解析】　設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，
則由Sn＝m，Sm＝n，
得
②－①得(m－n)a1＋·d＝n－m.
因?yàn)閙≠n，所以a1＋d＝－1.
所以Sm＋n＝(m＋n)a1＋d
＝(m＋n)＝－(m＋n)．
【答案】?。?m＋n)

從整體上認(rèn)識(shí)問題、思考問題，常常能化繁為簡、變難為易，同時(shí)又能培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、敏捷性．整體思想的主要表現(xiàn)形式有：整體代入、整體加減、整體代換、整體聯(lián)想、整體補(bǔ)形、整體改造等．在等差數(shù)列中，當(dāng)要求的Sn所需要的條件未知或不易求出時(shí)，可以考慮整體代入．
　(2020·石家莊市第一次模擬)已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－1對(duì)稱，且f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)，若數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且f(a50)＝f(a51)，則數(shù)列{an}的前100項(xiàng)的和為(　　)
A．－200　　　　　　　　　 B．－100
C．－50 D．0
解析：選B.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－1對(duì)稱，又函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)，數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且f(a50)＝f(a51)，所以a50＋a51＝－2，所以S100＝＝50(a50＋a51)＝－100，故選B.
[基礎(chǔ)題組練]
1．(2020·長春市質(zhì)量監(jiān)測(二))等差數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項(xiàng)和，a2＋a3＝10，S6＝54，則該數(shù)列的公差d為(　　)
A．2　　　　　　　　　　 B．3
C．4 D．6
解析：選C.由題意，知解得故選C.
2．(2020·重慶市七校聯(lián)合考試)在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝55，S3＝3，則a5等于(　　)
A．5 B．6
C．7 D．9
解析：選C.設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列，所以a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝55，所以a7＝11，又S3＝3，所以解得所以a5＝7.故選C.
3．已知數(shù)列{an}滿足a1＝15，且3an＋1＝3an－2，若ak·ak＋1

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