2021版高考文科數(shù)學(xué)（人教A版）一輪復(fù)習(xí)教師用書：第六章　第3講　等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和-教案下載-教習(xí)網(wǎng)

一、知識梳理
1．等比數(shù)列的有關(guān)概念
(1)定義：
①文字語言：一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個常數(shù)(非零)．
②符號語言：＝q(n∈N*，q為非零常數(shù))．
(2)等比中項(xiàng)：如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)．即G2＝ab．
2．等比數(shù)列的有關(guān)公式
(1)通項(xiàng)公式：an＝a1qn－1．
(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝
3．等比數(shù)列的性質(zhì)
已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和．(m，n，p，q，r，k∈N*)
(1)若m＋n＝p＋q＝2r，則am·an＝ap·aq＝a；
(2)數(shù)列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比數(shù)列；
(3)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比數(shù)列(此時{an}的公比q≠－1)．
常用結(jié)論
1．等比數(shù)列的單調(diào)性
當(dāng)q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0時，{an}是遞增數(shù)列；
當(dāng)q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0時，{an}是遞減數(shù)列；
當(dāng)q＝1時，{an}是常數(shù)列．
2．等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系
當(dāng)q≠1時，an＝·qn，可以看成函數(shù)y＝cqx，是一個不為0的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積，因此數(shù)列{an}各項(xiàng)所對應(yīng)的點(diǎn)都在函數(shù)y＝cqx的圖象上．
3．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝A＋B·Cn?A＋B＝0，公比q＝C(A，B，C均不為零)
二、習(xí)題改編
1．(必修5P53練習(xí)T3改編)對任意等比數(shù)列{an}，下列說法一定正確的是(　　)
A．a(chǎn)1，a3，a9成等比數(shù)列 B．a(chǎn)2，a3，a6成等比數(shù)列
C．a(chǎn)2，a4，a8成等比數(shù)列 D．a(chǎn)3，a6，a9成等比數(shù)列
解析：選D.設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則a3＝a1q2，a6＝a1q5，a9＝a1q8，滿足(a1q5)2＝a1q2·a1q8，
即a＝a3·a9.
2．(必修5P53習(xí)題T1改編)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，則q＝．
答案：2
3．(必修5P54A組T8改編)在9與243中間插入兩個數(shù)，使它們同這兩個數(shù)成等比數(shù)列，則這兩個數(shù)為．
解析：設(shè)該數(shù)列的公比為q，由題意知，
243＝9×q3，得q3＝27，所以q＝3.
所以插入的兩個數(shù)分別為9×3＝27，27×3＝81.
答案：27，81

一、思考辨析
判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若一個數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等比數(shù)列．(　　)
(2)三個數(shù)a，b，c成等比數(shù)列的充要條件是b2＝ac.(　　)
(3)滿足an＋1＝qan(n∈N*，q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列．(　　)
(4)如果{an}為等比數(shù)列，bn＝a2n－1＋a2n，則數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列．(　　)
(5)等比數(shù)列中不存在數(shù)值為0的項(xiàng)．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
二、易錯糾偏
(1)運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時，忽略q＝1的情況；
(2)“G2＝ab”是“a，G，b成等比數(shù)列”的必要不充分條件；
(3)對等比數(shù)列項(xiàng)的符號不能作出正確判斷．
1．已知在等比數(shù)列{an}中，a3＝7，前三項(xiàng)之和S3＝21，則公比q的值是(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B．－
C．1或－ D．－1或
解析：選C.當(dāng)q＝1時，an＝7，S3＝21，符合題意；當(dāng)q≠1時，得q＝－.綜上，q的值是1或－，故選C.
2．在等比數(shù)列{an}中，a3＝2，a7＝8，則a5＝．
解析：因數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則a＝a3a7＝16，又a3＞0，所以a5＝4.
答案：4
3．在等比數(shù)列{an}中，a2＝4，a10＝16，則a2和a10的等比中項(xiàng)為．
解析：設(shè)a2與a10的等比中項(xiàng)為G，因?yàn)閍2＝4，a10＝16，所以G2＝4×16＝64，所以G＝±8.
答案：±8

　　　　　　等比數(shù)列的基本運(yùn)算(師生共研)
(1)(一題多解)(2019·高考全國卷Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a1＝1，S3＝，則S4＝．
(2)已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1＝2，a3＝2a2＋16.則an＝．
【解析】　(1)通解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a1＝1及S3＝，易知q≠1.把a(bǔ)1＝1代入S3＝＝，得1＋q＋q2＝，解得q＝－，所以S4＝＝＝.
優(yōu)解一：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)镾3＝a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝，a1＝1，所以1＋q＋q2＝，解得q＝－，所以a4＝a1·q3＝＝－，所以S4＝S3＋a4＝＋＝.
優(yōu)解二：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由題意易知q≠1.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝A(1－qn)(其中A為常數(shù))，則a1＝S1＝A(1－q)＝1?、?，S3＝A(1－q3)＝?、冢散佗诳傻肁＝，q＝－.所以S4＝×＝.
(2)設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)得
2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0.
解得q＝－2(舍去)或q＝4.
因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式為an＝2×4n－1＝22n－1.
【答案】　(1)　(2)22n－1

解決等比數(shù)列有關(guān)問題的常見數(shù)學(xué)思想
(1)方程思想：等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)求關(guān)鍵量a1和q，問題可迎刃而解．
(2)分類討論思想：因?yàn)榈缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對公比q的分類討論，所以當(dāng)某一參數(shù)為公比進(jìn)行求和時，就要對參數(shù)是否為1進(jìn)行分類討論．
(3)整體思想：應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時，常把qn或當(dāng)成整體進(jìn)行求解．

1．(一題多解)(2020·福州市質(zhì)量檢測)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn.若a3＝4，a2a6＝64，則S5＝(　　)
A．32　　　　　　　　　　 B．31
C．64 D．63
解析：選B.通解：設(shè)首項(xiàng)為a1，公比為q，因?yàn)閍n＞0，所以q＞0，由條件得解得所以S5＝31，故選B.
優(yōu)解：設(shè)首項(xiàng)為a1，公比為q，因?yàn)閍n＞0，所以q＞0，由a2a6＝a＝64，a3＝4，得q＝2，a1＝1，所以S5＝31，故選B.
2．(2019·高考全國卷Ⅲ)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和為15，且a5＝3a3＋4a1，則a3＝(　　)
A．16 B．8
C．4 D．2
解析：選C.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)，由a5＝3a3＋4a1，得a1q4＝3a1q2＋4a1，得q4－3q2－4＝0，令q2＝t，則t2－3t－4＝0，解得t＝4或t＝－1(舍去)，所以q2＝4，即q＝2或q＝－2(舍去)．又S4＝＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4.故選C.
3．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a6＝8a3，則(　　)
A．?dāng)?shù)列{an}的公比為2 B．?dāng)?shù)列{an}的公比為8
C.＝8 D．＝4
解析：選A.因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a6＝8a3，所以＝q3＝8，解得q＝2，所以＝＝1＋q3＝9.

　　　　　　等比數(shù)列的判定與證明(典例遷移)
(1)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則下列命題不正確的是(　　)
A．?dāng)?shù)列{|an|}是等比數(shù)列
B．?dāng)?shù)列{anan＋1}是等比數(shù)列
C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列
D．?dāng)?shù)列{lg a}是等比數(shù)列
(2)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求證：{bn}是等比數(shù)列．
【解】　(1)選D.因?yàn)閿?shù)列{an}是等比數(shù)列，所以＝q.對于A，＝＝|q|，所以數(shù)列{|an|}是等比數(shù)列，A正確；對于B，＝q2，所以數(shù)列{anan＋1}是等比數(shù)列，B正確；對于C，＝＝，所以數(shù)列是等比數(shù)列，C正確；對于D，＝＝，不一定是常數(shù)，所以D錯誤．
(2)證明：因?yàn)閍n＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an，所以＝＝＝＝2.
因?yàn)镾2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.
所以b1＝a2－2a1＝3.
所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列．
【遷移探究1】　(變問法)若本例(2)中的條件不變，試求{an}的通項(xiàng)公式．
解：由(2)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，
所以－＝，
故是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．
所以＝＋(n－1)·＝，
所以an＝(3n－1)·2n－2.
【遷移探究2】　(變條件)在本例(2)中，若cn＝，證明：數(shù)列{cn}為等比數(shù)列．
證明：由[遷移探究1]知，an＝(3n－1)·2n－2，所以cn＝2n－2.
所以＝＝2，又c1＝＝，
所以數(shù)列{cn}是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列．

等比數(shù)列的判定方法
(1)定義法：若＝q(q為非零常數(shù))或＝q(q為非零常數(shù)且n≥2)，則{an}是等比數(shù)列．
(2)中項(xiàng)公式法：若數(shù)列{an}中an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列．
(3)通項(xiàng)公式法：若數(shù)列的通項(xiàng)公式可寫成an＝c·qn－1(c，q均為不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列．
(4)前n項(xiàng)和公式法：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝k·qn－k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0，1)，則{an}是等比數(shù)列．
[提醒]　(1)前兩種方法是判定等比數(shù)列的常用方法，常用于證明；后兩種方法常用于選擇題、填空題中的判定．
(2)若要判定一個數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可．

1．(一題多解)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝a·2n－1＋，則a的值為(　　)
A．－ B.
C．－ D．
解析：選A.法一：當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝a·2n－1－a·2n－2＝a·2n－2，當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝a＋，所以a＋＝，所以a＝－.
法二：因?yàn)榈缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝k×qn－k，則a＝－，a＝－.
2．(2019·高考全國卷Ⅱ節(jié)選)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4.
證明：{an＋bn}是等比數(shù)列，{an－bn}是等差數(shù)列．
證明：由題設(shè)得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝(an＋bn)．
又因?yàn)閍1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列．
由題設(shè)得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.
又因?yàn)閍1－b1＝1，所以{an－bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．

　　　　　　等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用(多維探究)
角度一　等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)的應(yīng)用
(1)(2020·洛陽市第一次聯(lián)考)在等比數(shù)列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的兩根，則的值為(　　)
A．－ B．－
C. D．－或
(2)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a1a5＝4，則log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝．
【解析】　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)閍3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的兩根，所以a3·a15＝a＝2，a3＋a15＝－6，所以a3＜0，a15＜0，則a9＝－，所以＝＝a9＝－.
(2)由題意知a1a5＝a＝4，因?yàn)閿?shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以a3＝2.所以a1a2a3a4a5＝(a1a5)·(a2a4)·a3＝(a)2·a3＝a＝25.所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2a3a4a5)＝log225＝5.
【答案】　(1)B　(2)5
角度二　等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用
(1)已知等比數(shù)列{an}共有2n項(xiàng)，其和為－240，且奇數(shù)項(xiàng)的和比偶數(shù)項(xiàng)的和大80，則公比q＝．
(2)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若＝，則＝．
【解析】　(1)由題意，得解得所以q＝＝＝2.
(2)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)椋?，所以{an}的公比q≠1.由÷＝，得q3＝－，所以＝＝.
【答案】　(1)2　(2)

等比數(shù)列性質(zhì)應(yīng)用問題的解題突破口
等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項(xiàng)公式的變形，二是等比中項(xiàng)公式的變形，三是前n項(xiàng)和公式的變形，根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口．
[提醒]　在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時需要對性質(zhì)進(jìn)行適當(dāng)變形．此外，解題時注意“設(shè)而不求”的運(yùn)用．

1．已知等比數(shù)列{an}中，a4＋a8＝－2，則a6(a2＋2a6＋a10)的值為(　　)
A．4 B．6
C．8 D．－9
解析：選A.a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2a＋a6a10＝a＋2a4a8＋a＝(a4＋a8)2，因?yàn)閍4＋a8＝－2，所以a6(a2＋2a6＋a10)＝4.
2．在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，則n等于(　　)
A．12 B．13
C．14 D．15
解析：選C.因?yàn)閿?shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，所以a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9，a10a11a12，…也成等比數(shù)列．
不妨令b1＝a1a2a3，b2＝a4a5a6，則公比q＝＝＝3.
所以bm＝4×3m－1.
令bm＝324，即4×3m－1＝324，解得m＝5，
所以b5＝324，即a13a14a15＝324.
所以n＝14.
3．在等比數(shù)列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，則＋＋＋＝．
解析：因?yàn)椋剑剑?br /> 由等比數(shù)列的性質(zhì)知a7a10＝a8a9，
所以＋＋＋＝
＝÷＝－.
答案：－

思想方法系列11　分類討論思想求解數(shù)列問題
(2020·武漢市調(diào)研測試)已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足a1＝1，a3－4a1＝0.
(1)求Sn；
(2)令bn＝an－15，求T＝|b1|＋|b2|＋…＋|b10|的值．
【解】　(1){an}是正項(xiàng)等比數(shù)列，由a3－4a1＝0，所以a1q2－4a1＝0
所以q＝2，則an的前n項(xiàng)和Sn＝＝2n－1.
(2)由(1)知an＝2n－1，
當(dāng)n≥5時，bn＝2n－1－15＞0，n≤4時，bn＝2n－1－15＜0，
所以T＝－(b1＋b2＋b3＋b4)＋(b5＋b6＋…＋b10)
＝－(a1＋a2＋a3＋a4－15×4)＋(a5＋a6＋…＋a10－15×6)
＝－S4＋S10－S4＋60－90
＝S10－2S4－30
＝(210－1)－2×(24－1)－30
＝210－25－29
＝1 024－32－29
＝963.

分類討論思想在數(shù)列中應(yīng)用較多，常見的分類討論有：
(1)已知Sn與an的關(guān)系，要分n＝1，n≥2兩種情況．
(2)等比數(shù)列中遇到求和問題要分公比q＝1，q≠1討論．
(3)項(xiàng)數(shù)的奇、偶數(shù)討論．
(4)等比數(shù)列的單調(diào)性的判斷注意與a1，q的取值的討論．

1．(2020·福建廈門模擬)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝2n＋1＋λ，則λ＝(　　)
A．－2　　　　　　　　　 B．－1
C．1 D．2
解析：選A.法一：當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝4＋λ.
當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1＋λ)－(2n＋λ)＝2n，此時＝＝2.
因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，所以＝2，
即＝2，解得λ＝－2.故選A.
法二：依題意，a1＝S1＝4＋λ，a2＝S2－S1＝4，a3＝S3－S2＝8，
因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，所以a＝a1·a3，所以8(4＋λ)＝42，解得λ＝－2.故選A.
2．已知等比數(shù)列{an}中a2＝1，則其前3項(xiàng)的和S3的取值范圍是(　　)
A．(－∞，－1]
B．(－∞，0)∪[1，＋∞)
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
解析：選D.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，
則S3＝a1＋a2＋a3＝a2＝1＋q＋.
當(dāng)公比q>0時，S3＝1＋q＋≥1＋2＝3，當(dāng)且僅當(dāng)q＝1時，等號成立；
當(dāng)公比q