精準(zhǔn)設(shè)計考向，多角度探究突破考向二　等差數(shù)列的性質(zhì)角度1　　等差數(shù)列項的性質(zhì)例2　(1)(2019·溫州模擬)等差數(shù)列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，則a9－a11的值是(　　)A．14  B．15 C．16  D．17答案　C解析　因為{an}是等差數(shù)列，所以a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝5a8＝120，所以a8＝24.所以a9－a11＝a8＋d－(a8＋3d)＝a8＝16.故選C.(2)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2＋a5＋a8＝30，則下列一定為定值的是(　　)A．S6  B．S7 C．S8  D．S9答案　D解析　由a2＋a5＋a8＝30可得3a5＝30，所以a5＝10，S6＝3(a1＋a6)不一定是定值；S7＝(a1＋a7)不一定是定值；S8＝4(a1＋a8)不一定是定值；S9＝＝＝90.選D.  等差數(shù)列項的性質(zhì)：利用等差數(shù)列項的性質(zhì)解決基本量的運算體現(xiàn)了整體求值思想，應(yīng)用時常將an＋am＝2ak(n＋m＝2k，n，m，k∈N*)與am＋an＝ap＋aq(m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N*)相結(jié)合，可減少運算量．  [即時訓(xùn)練]　4.(2019·河南豫南、豫北聯(lián)考)等差數(shù)列{an}中，a4＋a10＋a16＝30，則a18－2a14的值為(　　)A．20  B．－20 C．10  D．－10答案　D解析　∵a4＋a10＋a16＝3a10＝30，∴a10＝10，又2a14＝a18＋a10，∴a18－2a14＝－a10＝－10，故選D.5．(2019·福建漳州模擬)在等差數(shù)列{an}中，若S9＝18，Sn＝240，an－4＝30，則n的值為(　　)A．14  B．15 C．16  D．17答案　B解析　由等差數(shù)列的性質(zhì)知S9＝＝9a5＝18，∴a5＝2，又an－4＝30.∴Sn＝＝＝16n＝240，∴n＝15.故選B.角度2　　等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)例3　(1)(2019·四川雙流中學(xué)模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S10＝1，S30＝5，則S40＝(　　)A．7  B．8 C．9  D．10答案　B解析　由等差數(shù)列的性質(zhì)知S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，∴2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，∴S20＝S10＋＝1＋＝.∴d＝(S20－S10)－S10＝，∴S40－S30＝1＋3×＝3，∴S40＝8.故選B.(2)一個等差數(shù)列的前12項的和為354，前12項中偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和的比為32∶27，則該數(shù)列的公差d＝________.答案　5解析　設(shè)等差數(shù)列的前12項中奇數(shù)項的和為S奇，偶數(shù)項的和為S偶，等差數(shù)列的公差為d.由已知條件，得解得又因為S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5. 等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項和，則：(1)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列； (2)也為等差數(shù)列； (3)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； (4)S2n－1＝(2n－1)an； (5)若n為偶數(shù)，則S偶－S奇＝；若n為奇數(shù)，則S奇－S偶＝a中(中間項)．  [即時訓(xùn)練]　6.(2019·大同模擬)在等差數(shù)列{an}中，a1＋a2＋…＋a50＝200，a51＋a52＋…＋a100＝2700，則a50＝(　　)A．－22.5  B．－21.5 C．28.5  D．20答案　C解析　由(a51＋a52＋…＋a100)－(a1＋a2＋…＋a50)＝50×50d＝2700－200，得d＝1.由a1＋a100＋a2＋a99＋…＋a50＋a51＝50(a50＋a51)＝2700＋200＝2900，得a50＋a51＝58，即2a50＋d＝58，所以a50＝＝＝28.5.故選C.7．(2019·汕頭模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝9，－＝－4，則Sn取最大值時的n為(　　)A．4  B．5 C．6  D．4或5答案　B解析　由{an}為等差數(shù)列，得－＝a5－a3＝2d＝－4，即d＝－2，由于a1＝9，所以an＝－2n＋11，令an＝－2n＋11<0，得n>，所以Sn取最大值時的n為5，故選B.考向三　等差數(shù)列的判定與證明　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例4　(1)(2019·遼寧大連模擬)數(shù)列{an}滿足a1＝2，a2＝1并且＝－(n≥2)，則數(shù)列{an}的第100項為(　　)A.  B. C.  D.答案　B解析　∵＝－(n≥2)，∴＋＝，∴為等差數(shù)列，首項為＝，第二項為＝1，∴d＝，∴＝＋99d＝50，∴a100＝.(2)(2019·貴州適應(yīng)性考試)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.①求a2，a3；②證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求{an}的通項公式．解　①由已知，得a2－2a1＝4，則a2＝2a1＋4，又因為a1＝1，所以a2＝6.由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.②證明：由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n，得＝2，即－＝2，所以數(shù)列是首項為＝1，公差為d＝2的等差數(shù)列，則＝1＋2(n－1)＝2n－1.所以an＝2n2－n. 等差數(shù)列的判定方法 (1)定義法：對于n≥2的任意自然數(shù)，驗證an－an－1為同一常數(shù)．(2)等差中項法：驗證2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立．(3)通項公式法：驗證an＝pn＋q.(4)前n項和公式法：驗證Sn＝An2＋Bn.提醒：在解答題中常應(yīng)用定義法和等差中項法，而通項公式法和前n項和公式法主要適用于選擇題、填空題中的簡單判斷．  [即時訓(xùn)練]　8.(2019·河南鄭州模擬)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝4,2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)，當(dāng)an＝298時，項數(shù)n＝(　　)A．100  B．99 C．96  D．101答案　A解析　因為2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)，所以an－an－1＝an＋1－an.由a1＝1，a2＝4得d＝a2－a1＝3，所以數(shù)列{an}是首項為1，公差為3的等差數(shù)列，所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×3＝3n－2.由3n－2＝298，解得n＝100.故選A.9．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，an≠0，a1＝1，且2anan＋1＝4Sn－3(n∈N*)．(1)求a2的值并證明：an＋2－an＝2；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．解　(1)令n＝1得2a1a2＝4S1－3，又a1＝1，∴a2＝.2anan＋1＝4Sn－3，①2an＋1an＋2＝4Sn＋1－3.②②－①得，2an＋1(an＋2－an)＝4an＋1.∵an≠0，∴an＋2－an＝2.(2)由(1)可知：數(shù)列a1，a3，a5，…，a2k－1，…為等差數(shù)列，公差為2，首項為1，∴a2k－1＝1＋2(k－1)＝2k－1，則當(dāng)n為奇數(shù)時，an＝n.數(shù)列a2，a4，a6，…，a2k，…為等差數(shù)列，公差為2，首項為，∴a2k＝＋2(k－1)＝2k－，則當(dāng)n為偶數(shù)時，an＝n－.綜上所述，an＝    學(xué)科素養(yǎng)培優(yōu)（十）  破解等差數(shù)列前n項和的最值問題1．(2019·長春市模擬)等差數(shù)列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，則其前n項和取最小值時，n的值為(　　)A．6  B．7 C．8  D．9答案　C解析　∵|a6|＝|a11|且公差d>0，∴a6＝－a11，∴a6＋a11＝a8＋a9＝0，且a8<0，a9>0，∴a1<a2<…<a8<0<a9<a10<…∴Sn取最小值時，n的值為8.故選C.2．(2019·北京海淀模擬)等差數(shù)列{an}中，設(shè)Sn為其前n項和，且a1>0，S3＝S11，則當(dāng)n為________時，Sn最大．答案　7解析　解法一：由S3＝S11，得3a1＋d＝11a1＋d，則d＝－a1.從而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1.又因為a1>0，所以－<0.故當(dāng)n＝7時，Sn最大．解法二：由于f(x)＝ax2＋bx是關(guān)于x的二次函數(shù)，且(n，Sn)在二次函數(shù)f(x)的圖象上，由S3＝S11，可知f(x)＝ax2＋bx的圖象關(guān)于直線x＝＝7對稱．由解法一可知a＝－<0，故當(dāng)x＝7時，f(x)最大，即當(dāng)n＝7時，Sn最大．解法三：由解法一可知d＝－a1.要使Sn最大，則有即解得6.5≤n≤7.5，故當(dāng)n＝7時，Sn最大．解法四：由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，故a7＋a8＝0，又由a1>0，S3＝S11可知d<0，所以a7>0，a8<0，所以當(dāng)n＝7時，Sn最大．答題啟示求等差數(shù)列前n項和最值的常用方法(1)二次函數(shù)法：用求二次函數(shù)最值的方法(配方法)求其前n項和的最值，但要注意n∈N*.(2)圖象法：利用二次函數(shù)圖象的對稱性來確定n的值，使Sn取得最值．(3)項的符號法：當(dāng)a1>0，d<0時，滿足的項數(shù)n，使Sn取最大值；當(dāng)a1<0，d>0時，滿足的項數(shù)n，使Sn取最小值，即正項變負(fù)項處最大，負(fù)項變正項處最?。粲辛沩?，則使Sn取最值的n有兩個．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 對點訓(xùn)練1．(2019·廣東佛山模擬)設(shè)等差數(shù)列{an}滿足3a8＝5a15，且a1>0，Sn為其前n項和，則數(shù)列{Sn}的最大項為(　　)A．S23  B．S24 C．S25  D．S26答案　C解析　設(shè)等差數(shù)列的公差為d，∵3a8＝5a15，∴3a1＋21d＝5a1＋70d，∴a1＋24d＝0.∵a1>0，∴d<0，∴a1＋24d＝a25>0，a1＋25d＝a26<0，∴數(shù)列{Sn}最大項為S25.故選C.2．(2019·黑龍江哈爾濱模擬)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若<－1，且其前n項和Sn有最大值，則使得Sn>0的最大值n為(　　)A．11  B．19 C．20  D．21答案　B解析　∵Sn＝n2＋n有最大值，∴d<0，又<－1，∴a10>0，a11<0，∴a10＋a11<0，即a1＋a20<0，∴S20＝10(a1＋a20)<0，又S19＝＝19a10>0，∴使Sn>0的n的最大值為19.故選B. 

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