2020屆二輪復(fù)習(xí)(理)第3部分策略13.分類與整合思想學(xué)案

3．分類與整合思想　　分類與整合思想是將一個(gè)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題分解(或分割)成若干個(gè)基礎(chǔ)性問(wèn)題，通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)性問(wèn)題的解答來(lái)實(shí)現(xiàn)解決原問(wèn)題的思想策略．對(duì)問(wèn)題實(shí)行分類與整合，分類標(biāo)準(zhǔn)等于增加一個(gè)已知條件，實(shí)現(xiàn)了有效增設(shè)，將大問(wèn)題(或綜合性問(wèn)題)分解為小問(wèn)題(或基礎(chǔ)性問(wèn)題)，優(yōu)化解題思路，降低問(wèn)題難度；分類研究后還要對(duì)討論結(jié)果進(jìn)行整合.應(yīng)用1　由基本概念、法則引起的分類討論【典例1】(1)若函數(shù)f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在[－1,2]上的最大值為4，最小值為m，且函數(shù)g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，則a＝________.(2)在等比數(shù)列{an}中，已有a3＝，S3＝，則a1＝________.(1)　(2)或6　[(1)若a＞1，有a2＝4，a－1＝m.解得a＝2，m＝.此時(shí)g(x)＝－為減函數(shù)，不合題意．若0＜a＜1，有a－1＝4，a2＝m，故a＝，m＝，檢驗(yàn)知符合題意．(2)當(dāng)q＝1時(shí)，a1＝a2＝a3＝，S3＝3a1＝，顯然成立．當(dāng)q≠1時(shí)，由a3＝，S3＝，∴由，得＝3，即2q2－q－1＝0，所以q＝－或q＝1(舍去)．當(dāng)q＝－時(shí)，a1＝＝6，綜上可知，a1＝或a1＝6.]【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】(1)已知函數(shù)f(x)＝且f(a)＝－3，則f(6－a)＝(　　)A．－　　　　　　 B．－C．－ D．－(2)已知函數(shù)f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)的定義域和值域都是[－1,0]，則a＋b＝________.(3)已知a，b，c分別是△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，且A＝2B，b≠c，若a2＋c2＝b2＋2acsin C，則A＝________.(1)A　(2)－　(3)　[(1)由于f(a)＝－3，①若a≤1，則2a－1－2＝－3，整理得2a－1＝－1.由于2x＞0，所以2a－1＝－1無(wú)解；②若a＞1，則－log2(a＋1)＝－3，解得a＋1＝8，a＝7，所以f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－.綜上所述，f(6－a)＝－.(2)當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax＋b在[－1,0]上為增函數(shù)，由題意得無(wú)解．當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax＋b在[－1,0]上為減函數(shù)，由題意得解得所以a＋b＝－.(3)∵a2＋c2＝b2＋2acsin C，∴＝sin C.由余弦定理得cos B＝sin C，∵0＜B＜π，0＜C＜π，∴C＝－B或C＝＋B.①當(dāng)C＝－B時(shí)，由A＝2B且A＋B＋C＝π，得A＝，B＝C＝，這與“b≠c”矛盾．∴A≠.②當(dāng)C＝＋B時(shí)，由A＝2B且A＋B＋C＝π，得B＝，C＝，A＝.]應(yīng)用2　由圖形的不確定性引起的分類討論【典例2】(1)已知變量x，y滿足的不等式組表示的是一個(gè)直角三角形圍成的平面區(qū)域，則實(shí)數(shù)k＝(　　)A．－   B.C．0 D．－或0(2)設(shè)圓錐曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F2，若曲線C上存在點(diǎn)P滿足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，則曲線C的離心率等于________．(1)D　(2)或　[(1)不等式組表示的可行域如圖(陰影部分)所示．由圖可知，若要使不等式組表示的平面區(qū)域是直角三角形，只有當(dāng)直線kx－y＋1＝0與直線y軸或y＝2x垂直時(shí)才滿足．結(jié)合圖形可知斜率k的值為0或－.(2)不妨設(shè)|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，其中t≠0.若該曲線為橢圓，則有|PF1|＋|PF2|＝6t＝2a，|F1F2|＝3t＝2c，e＝＝＝＝；若該曲線為雙曲線，則有|PF1|－|PF2|＝2t＝2a，|F1F2|＝3t＝2c，e＝＝＝＝.]【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】(1)已知正三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是邊長(zhǎng)分別為6和4的矩形，則它的體積為(　　)A. B．4C. D．4或(2)若m是2和8的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線x2＋＝1的離心率為________．(1)D　(2)或　[(1)當(dāng)正三棱柱的高為4時(shí)，體積V＝2×××4＝4；當(dāng)正三棱柱的高為6時(shí)，體積V＝×××6＝，故選D.(2)由題意可知m2＝2×8＝16，∴m＝±4.當(dāng)m＝4時(shí)，曲線為橢圓，離心率e＝＝.為m＝－4時(shí)，曲線為雙曲線，離心率e＝＝.]應(yīng)用3　由參數(shù)變化引起的分類討論【典例3】　已知函數(shù)f(x)＝x2－(2m＋1)x＋ln x(m∈R)．(1)當(dāng)m＝－時(shí)，若函數(shù)g(x)＝f(x)＋(a－1)ln x恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；(2)當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)＜(1－m)x2恒成立，求m的取值范圍．切入點(diǎn)：(1)求f′(x)，就a的取值結(jié)合f(x)的單調(diào)性分析．(2)構(gòu)造函數(shù)h(x)＝f(x)－(1－m)x2，就m的取值及h(x)的最大值情況求m的取值范圍．[解](1)函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?/span>(0，＋∞)．當(dāng)m＝－時(shí)，g(x)＝aln x＋x2，所以g′(x)＝＋2x＝.①當(dāng)a＝0時(shí)，g(x)＝x2，在x∈(0，＋∞)上，g(x)＝0無(wú)解．∴x＞0時(shí)無(wú)零點(diǎn)，即a≠0.②當(dāng)a＞0時(shí)，g′(x)＞0，所以g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，取x0＝e，則g＝－1＋＜0，因?yàn)?/span>g(1)＝1，所以g(x0)·g(1)＜0，此時(shí)函數(shù)g(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)，即a＞0.③當(dāng)a＜0時(shí)，令g′(x)＝0，解得x＝.當(dāng)0＜x＜時(shí)， g′(x)＜0，所以g(x)在上單調(diào)遞減；當(dāng)x＞時(shí)，g′(x)＞0，所以g(x)在上單調(diào)遞增．要使函數(shù)g(x)有一個(gè)零點(diǎn)，則g＝aln－＝0，即a＝－2e.綜上所述，若函數(shù)g(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則a＝－2e或a＞0.(2)令h(x)＝f(x)－(1－m)x2＝mx2－(2m＋1)x＋ln x，根據(jù)題意，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h(x)＜0恒成立．又h′(x)＝2mx－(2m＋1)＋＝.①若0＜m＜，則x∈時(shí)，h′(x)＞0恒成立，所以h(x)在上是增函數(shù)，且h(x)∈，所以不符合題意．②若m≥，則x∈(1，＋∞)時(shí)，h′(x)＞0恒成立，所以h(x)在(1，＋∞)上是增函數(shù)，且h(x)∈(h(1)，＋∞)，所以不符合題意．③若m≤0，則x∈(1，＋∞)時(shí)，恒有h′(x)＜0，故h(x)在(1，＋∞)上是減函數(shù)，于是“h(x)＜0對(duì)任意x∈(1，＋∞)都成立”的充要條件是h(1)≤0，即m－(2m＋1)≤0，解得m≥－1，故－1≤m≤0.綜上，m的取值范圍是[－1,0]．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】已知函數(shù)f(x)＝ax＋＋1－2a(a＞0)，若f(x)≥ln x在[1，＋∞)上恒成立，求a的取值范圍．[解]　令g(x)＝f(x)－ln x＝ax＋＋1－2a－ln x，x∈[1，＋∞)，則g(1)＝0，g′(x)＝a－－＝＝.①當(dāng)＞1，即0＜a＜時(shí)，若1＜x＜，則g′(x)＜0，g(x)在上是減函數(shù)，所以存在x∈[1，＋∞)，使g(x)＜g(1)＝0，即f(x)＜ln x，所以f(x)≥ln x在[1，＋∞)上不恒成立．②當(dāng)≤1，即a≥時(shí)，若x≥1，則g′(x)≥0，g(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，所以g(x)≥g(1)＝0，即f(x)≥ln x，所以當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)≥ln x恒成立．綜上所述，a的取值范圍為.