2020數學（文）二輪教師用書：第2部分專題6第2講　導數的簡單應用-教案下載-教習網

第2講　導數的簡單應用

[做小題——激活思維]
1．設曲線y＝a(x－1)－ln x在點(1,0)處的切線方程為y＝2x－2，則a＝________.
[答案]　3
2．函數f(x)＝的單調增區(qū)間是________．
[答案]　(0，e)
3．已知函數f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然對數的底數．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，則實數a的取值范圍是________．
[答案]　
4．已知函數f(x)＝x3－12x＋8在區(qū)間[－3,3]上的最大值與最小值分別為M，m，則M－m＝________.
[答案]　32
5．若x＝－2是函數f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的極值點，則f(x)的極小值為________．
[答案]?。?
[扣要點——查缺補漏]
1．導數的幾何意義
(1)f′(x0)表示函數f(x)在x＝x0處的瞬時變化率．
(2)f′(x0)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點P(x0，y0)處切線的斜率，如T1.
2．導數與函數的單調性
(1)若求單調區(qū)間(或證明單調性)，只要在函數定義域內解(或證明)不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0，如T2.
(2)若已知函數的單調性，則轉化為不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在單調區(qū)間上恒成立問題來求解．
3．導數與函數的極值、最值
(1)f′(x0)＝0是函數y＝f(x)在x＝x0處取得極值的必要不充分條件，如T5.
(2)函數f(x)在[a，b]上有唯一一個極值點，這個極值點就是最值點．

　導數的幾何意義(5年10考)

[高考解讀]　高考對導數幾何意義的考查多以選擇題或填空題的形式考查，有時出現在解答題的題目條件中或問題的第(1)問，主要考查切線的求法，難度較小.
1．(2018·全國卷Ⅰ)設函數f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)為奇函數，則曲線y＝f(x)在點(0,0)處的切線方程為(　　)
A．y＝－2x　 B．y＝－x
C．y＝2x D．y＝x
切入點：f(x)為奇函數．
關鍵點：①根據奇偶性求a；②正確求出f′(0)．
D　[因為f(x)為奇函數，所以f(－x)＝－f(x)，由此可得a＝1，故f(x)＝x3＋x，f′(x)＝3x2＋1，f′(0)＝1，所以曲線y＝f(x)在點(0,0)處的切線方程為y＝x.]
2．(2019·全國卷Ⅲ)已知曲線y＝aex＋xln x在點(1，ae)處的切線方程為y＝2x＋b，則(　　)
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
切入點：①切點為(1，ae)；②切線方程為y＝2x＋b.
關鍵點：正確求出曲線在點(1，ae)處的切線的斜率．
D　[∵y′＝aex＋ln x＋1，∴k＝y′|x＝1＝ae＋1，
∴切線方程為y－ae＝(ae＋1)(x－1)，
即y＝(ae＋1)x－1.
∵已知切線方程為y＝2x＋b，
∴解得
故選D.]
[教師備選題]
1．(2018·全國卷Ⅱ)曲線y＝2ln x在點(1,0)處的切線方程為________．
y＝2x－2　[由題意知，y′＝，所以曲線在點(1,0)處的切線斜率k＝y′|x＝1＝2，故所求切線方程為y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2.]
2．(2016·全國卷Ⅲ)已知f(x)為偶函數，當x≤0時，f(x)＝e－x－1－x，則曲線y＝f(x)在點(1,2)處的切線方程是________．
2x－y＝0　[設x＞0，則－x＜0，f(－x)＝ex－1＋x.
∵f(x)為偶函數，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝ex－1＋x.
∵當x＞0時，f′(x)＝ex－1＋1，
∴f′(1)＝e1－1＋1＝1＋1＝2.
∴曲線y＝f(x)在點(1,2)處的切線方程為y－2＝2(x－1)，
即2x－y＝0.]

求曲線y＝f(x)的切線方程的3種類型及方法
類型
方法
已知切點P(x0，y0)，求切線方程
求出切線的斜率f′(x0)，由點斜式寫出方程
已知切線的斜率k，求切線方程
設切點P(x0，y0)，通過方程k＝f′(x0)解得x0，再由點斜式寫出方程
已知切線上一點(非切點)，求切線方程
設切點P(x0，y0)，利用導數求得切線斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切線斜率，列方程(組)解得x0，再由點斜式或兩點式寫出方程

1．(求切點坐標)曲線f(x)＝x3－x＋3在點P處的切線平行于直線y＝2x－1，則P點的坐標為(　　)
A．(1,3)　 B．(－1,3)
C．(1,3)和(－1,3) D．(1，－3)
C　[f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，則3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，
∴P(1,3)或(－1,3)．
經檢驗，點(1,3)，(－1,3)均不在直線y＝2x－1上，故選C.]
2．(已知切線求參數)已知直線y＝kx＋1與曲線y＝x3＋mx＋n相切于點A(1,3)，則n＝(　　)
A．－1 B．1
C．3 D．4
C　[對y＝x3＋mx＋n求導得，y′＝3x2＋m，
∵A(1,3)在直線y＝kx＋1上，∴k＝2，
∴由解得n＝3.]
3．[一題多解](公切線問題)已知曲線y＝x＋ln x在點(1,1)處的切線與曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，則a＝________.
8　[法一：∵y＝x＋ln x，∴y′＝1＋，y′|x＝1＝2.
∴曲線y＝x＋ln x在點(1,1)處的切線方程為
y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
∵y＝2x－1與曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，
∴a≠0(當a＝0時曲線變?yōu)閥＝2x＋1與已知直線平行)．
由消去y，得ax2＋ax＋2＝0.
由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.
法二：同方法一得切線方程為y＝2x－1.
設y＝2x－1與曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于點(x0，ax＋(a＋2)x0＋1)．∵y′＝2ax＋(a＋2)，
∴y′|x＝x0＝2ax0＋(a＋2)．
由解得]
　利用導數研究函數的單調性(5年6考)

[高考解讀]　利用導數研究函數的單調性是每年的必考內容，但是單獨命題的概率較小，主要是作為解答題的第(1)問出現.
角度一：討論函數的單調性
1．(2017·全國卷Ⅱ)設函數f(x)＝(1－x2)ex.
(1)討論f(x)的單調性；
(2)當x≥0時，f(x)≤ax＋1，求a的取值范圍．
切入點：利用導數討論f(x)的單調性．
關鍵點：對參數a的取值進行分類討論，當a≥1時，構造函數可知(1－x)·ex≤1，所以f(x)＝(x＋1)(1－x)·ex≤x＋1≤ax＋1成立；當00)，因此h(x)在[0，＋∞)單調遞減．而h(0)＝1，故h(x)≤1，所以f(x)＝(x＋1)h(x)≤x＋1≤ax＋1.
當00，解得a0，即a0；
當x∈時，f′(x)0時，f(x)在x＝處取得最大值，最大值為
f＝ln＋a＝－ln a＋a－1.
因此f>2a－2等價于ln a＋a－10，∴g′(x)>0.
∴g(x)在(0，＋∞)上是增函數，函數g(x)無極值點．
②當a>0時，g′(x)＝＝－，
令g′(x)＝0得x＝.
∴當x∈時，g′(x)>0；
當x∈時，g′(x)0時，函數g(x)有極大值－ln a，無極小值．
2．(函數的最值)已知函數f(x)＝xex＋a(ln x＋x)．
(1)若a＝－e，求f(x)的單調區(qū)間；
(2)當a0，h(x)＝x－xln x單調遞增，當x∈(1，＋∞)時，h′(x)＝－ln x