我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家之一,城市缺水問題較為突出.某市政府為了節(jié)約生活用水,計劃在本市試行居民生活用水定額管理,即確定一個居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)a,用水量不超過a的部分按平價收費,超出a的部分按議價收費.如果希望85%以上的居民的日常生活不受影響,那么標(biāo)準(zhǔn)a定為多少比較合理?你認(rèn)為較為合理地確定出這個標(biāo)準(zhǔn),需要做哪些工作?
一、頻率分布表與頻率分布直方圖1.基本概念
2.頻率分布表和頻率分布直方圖的意義從一個總體得到一個包含大量數(shù)據(jù)的樣本時,我們很難從一個個數(shù)據(jù)中直接看出樣本所含的信息.如果把這些數(shù)據(jù)整理成頻率分布表或頻率分布直方圖,就可以比較清楚地看出樣本數(shù)據(jù)的頻率分布,從而估計總體的分布情況.用樣本估計總體,是研究統(tǒng)計問題的一個基本思想方法,而對于總體分布,我們總是用樣本頻率分布對它進(jìn)行估計.3.頻率分布表與頻率分布直方圖的制作步驟(1)頻率分布是指從各個小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小的角度,來表示數(shù)據(jù)分布的規(guī)律.(2)一般用頻率分布直方圖反映樣本的頻率分布.
(3)畫頻率分布直方圖的一般步驟為:第一步,求極差.第二步,確定組距和組數(shù).為了方便起見,組距的選擇應(yīng)力求“取整”,極差、組距、組數(shù)有如下關(guān)系:
([x]表示不大于x的最大整數(shù))第三步,分組.通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間,最后一組取閉區(qū)間.第四步,列頻率分布表.統(tǒng)計各組數(shù)據(jù)的頻數(shù),計算頻率,填入表格中,完成頻率分布表.第五步,依據(jù)頻率分布表畫頻率分布直方圖.畫圖時,以橫軸表示樣本數(shù)據(jù),縱軸(小長方形的高)表示頻率與組距的比值.
名師點析頻率分布直方圖的特征總體分布情況可以通過樣本頻率分布情況來估計,樣本頻率分布是總體分布的一種近似表示,頻率分布表和頻率分布直方圖有以下特征:(1)從頻率分布直方圖可以清楚地看出數(shù)據(jù)分布的總體趨勢.(2)從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容,把數(shù)據(jù)表示成直方圖后,原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了.(3)頻率分布表和頻率分布直方圖由樣本決定,因此它們會隨樣本的變化而變化.(4)若固定分組數(shù),隨著樣本容量的增加,頻率分布表中各個頻率會穩(wěn)定在某一個值的附近,從而頻率分布直方圖中的各個小長方形的高度也會穩(wěn)定在特定的值上.
微拓展繪制頻率分布直方圖應(yīng)注意什么問題?
提示:①各組頻率的和等于1,因此各個小長方形面積的總和等于1.②頻率分布直方圖比頻率分布表更直觀、形象地反映了樣本的分布規(guī)律.③在直角坐標(biāo)平面內(nèi)畫頻率分布直方圖時,橫軸上是樣本
④同樣一組數(shù)據(jù),如果組距不同,橫軸、縱軸單位長度不同,得到的頻率分布直方圖的形狀也會不同,不同的形狀給人們的印象也不同,這種印象有時會影響我們對總體的判斷.⑤同一個總體,由于抽樣的隨機性,因此隨機抽取另外一個同樣容量的樣本,所形成的樣本頻率分布直方圖一般會與前一個樣本頻率分布直方圖有所不同,但它們都可以用來估計總體的分布.而隨著樣本容量的增加,頻率分布表中各個頻率會穩(wěn)定在某個值的附近,從而頻率分布直方圖中的各個矩形的高度也會穩(wěn)定在特定的值上.
微思考頻率分布表與頻率分布直方圖各有什么特點?
提示:頻率分布表反映具體數(shù)據(jù)在各個不同區(qū)間的取值頻率,但不直觀,數(shù)據(jù)的總體態(tài)勢不明顯.頻率分布直方圖能直觀地表明數(shù)據(jù)分布的形狀態(tài)勢,但失去了原始數(shù)據(jù).
二、頻率折線圖在頻率分布直方圖中,按照分組原則,再在左邊和右邊各加一個區(qū)間,從所加的左邊區(qū)間的中點開始,用線段依次連接各個矩形的頂端中點,直至右邊所加區(qū)間的中點,就可以得到一條折線,我們稱之為頻率折線圖.
名師點析頻率折線圖的優(yōu)點是它反映了數(shù)據(jù)的變化趨勢,隨著樣本容量的不斷增加,分組的不斷加密,頻率折線就會越來越光滑,最終形成一條光滑的曲線.
微拓展總體密度曲線的特征.
提示:(1)在樣本頻率分布直方圖中,隨著樣本容量的增加,作圖時所分的組數(shù)增加,組距減小,相應(yīng)的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線,統(tǒng)計學(xué)中稱這條光滑曲線為總體密度曲線,如圖所示.
(2)總體密度曲線反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的百分比,它能給我們提供更加精細(xì)的信息,圖中陰影部分的面積,就是總體在區(qū)間(a,b)內(nèi)取值的百分比.
頻數(shù)與頻率的有關(guān)計算例1已知一個容量是40的樣本,把它分成六組,第一組到第四組的頻數(shù)分別是5,6,7,10,第五組的頻率是0.2,那么第六組的頻數(shù)是　　　　,頻率是　　　　.?
反思感悟頻數(shù)與頻率的求解策略對于頻數(shù)與頻率的問題,首先要明確幾個等量關(guān)系,即各組的頻數(shù)之和等于樣本容量,各組的頻率之和為1,頻率= .在解題過程中,要明確頻數(shù)、頻率以及樣本容量之間的關(guān)系,弄清已知、未知,選擇合適的公式進(jìn)行解題.
變式訓(xùn)練1一個容量為20的樣本數(shù)據(jù),分組后組距與頻數(shù)如下表:
則樣本數(shù)據(jù)在區(qū)間(0,50)上的頻率為　　　　.?
答案:0.7　解析:區(qū)間(0,50)包括四部分的數(shù)據(jù),在這四部分上的數(shù)據(jù)的頻數(shù)和是2+3+4+5=14,樣本容量為20,所以樣本數(shù)據(jù)在區(qū)間(0,50)上的頻
畫頻率分布直方圖、折線圖例2某省為了了解和掌握2020年高考考生的實際答卷情況,隨機地取出了100名考生的數(shù)學(xué)成績,數(shù)據(jù)如下:(單位:分)135981021109912111096100103125971171131109210210910411210512487131971021231041041281091231111031059211410810410212912697100115111106117104109111891101218012012110410811812999909912112310711191100991011169710210810195107101102108117991181061199712610812311998121101113102103104108
(1)列出頻率分布表;(2)畫出頻率分布直方圖和折線圖;(3)估計該省考生數(shù)學(xué)成績在[100,120)分之間的比例.分析先求極差.根據(jù)極差與數(shù)據(jù)個數(shù)確定組距、組數(shù),然后按頻率分布直方圖的畫法繪制圖形.
(1)頻率分布表如下:
(2)根據(jù)頻率分布表中的有關(guān)信息畫出頻率分布直方圖及折線圖,如圖所示.
(3)從頻率分布表中可知,這100名考生的數(shù)學(xué)成績在[100,120)分之間的頻率為0.24+0.15+0.12+0.09=0.60,據(jù)此估計該省考生數(shù)學(xué)成績在[100,120)分之間的比例為60%.(0.60=60%)
反思感悟組距和組數(shù)的確定沒有固定的標(biāo)準(zhǔn),將數(shù)據(jù)分組時,組數(shù)力求合適,使數(shù)據(jù)的分布規(guī)律能較清楚地呈現(xiàn)出來,組數(shù)太多或太少都會影響對數(shù)據(jù)分布情況的了解,若樣本容量不超過120個時,按照數(shù)據(jù)的多少常分為5組~12組,一般樣本容量越大,所分組數(shù)越多.
延伸探究本例條件不變,制成頻率分布直方圖時分組如下,[80,85),[85,90),[90,95),[95,100),[100,105),[105,110),[110,115),[115,120),[120,125),[125,130),[130,135].若90分或90分以上為及格,請計算該省考生數(shù)學(xué)成績的及格率.
解:列出頻率分布表如下
由表可得,及格(即90分或90分以上)的頻率為0.04+0.14+0.24+0.15+0.12+0.09+0.11+0.06+0.02=0.97.故及格率為97%.
頻率分布直方圖的應(yīng)用例3某校在5月份開展了科技月活動.在活動中某班舉行了小制作評比,規(guī)定作品上交的時間為5月1日到31日,逾期不得參加評比.評委會把同學(xué)們上交作品的件數(shù)按5天一組分組統(tǒng)計,繪制了頻率分布直方圖(如圖).已知從左到右各長方形的高的比為2∶3∶4∶6∶4∶1,第三組的頻數(shù)為12,請解答下列問題:
(1)本次活動共有多少件作品參加評比?(2)哪組上交的作品數(shù)最多,有多少件?(3)經(jīng)過評比,第四組和第六組分別有10件、2件作品獲獎,問這兩組哪組獲獎率較高?
分析(1)根據(jù)條件:從左到右各長方形的高的比為2∶3∶4∶6∶4∶1,第三組的頻數(shù)為12,計算參加評比的作品總數(shù);(2)根據(jù)頻率分布直方圖判斷哪組上交的作品最多,再由本組的頻率計算頻數(shù);(3)先分別由第四組和第六組的頻率計算該組的頻數(shù),再計算獲獎率.
解:(1)設(shè)從左到右各長方形的高分別為2x,3x,4x,6x,4x,x.設(shè)參加評比的作品總數(shù)為a件,
滿足(2x+3x+4x+6x+4x+x)×5=1.解得a=60(件).(2)由頻率分布直方圖可以看出第四組上交的作品數(shù)量最多,共有6×x×5×a=18(件).(3)第四組和第六組上交的作品數(shù)分別為:18件,x×5×a=3(件),則它
反思感悟1.頻率分布直方圖的性質(zhì)
相應(yīng)各組的頻率.這樣,頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個小組內(nèi)的頻率大小;(2)在頻率分布直方圖中,各小矩形的面積之和等于1;
2.頻率分布直方圖反映了樣本在各個范圍內(nèi)取值的可能性,由抽樣的代表性利用樣本在某一范圍內(nèi)的頻率,可近似地估計總體在這一范圍內(nèi)取值的可能性.
變式訓(xùn)練2為了了解高一學(xué)生的體能情況,某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測試,將所得數(shù)據(jù)整理后,畫出頻率分布直方圖如圖所示,圖中從左到右各小長方形面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小組頻數(shù)為12.
(1)第二小組的頻率是多少?樣本容量是多少?(2)若次數(shù)在110或110以上為達(dá)標(biāo),試估計該校全體高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少?
解:(1)由于頻率分布直方圖以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個小組內(nèi)的頻率大小,因此第二小組的頻率為
利用頻率分布直方圖進(jìn)行計算
典例 某班50名學(xué)生在一次百米測試中,成績?nèi)拷橛?3秒與19秒之間,將測試結(jié)果按如下方式分成六組:[13,14),[14,15),[15,16),[16,17),[17,18),[18,19].如圖所示的是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.設(shè)成績小于17秒的學(xué)生人數(shù)占全班總?cè)藬?shù)的百分比為x,成績大于等于15秒且小于17秒的學(xué)生人數(shù)為y,則x和y分別為(　　)A.0.9,35B.0.9,45C.0.1,35D.0.1,45
解析:從頻率分布直方圖可以看出x=1-(0.06+0.04)=0.9,y=50×(0.36+0.34)=35.
1.一個容量為20的樣本數(shù)據(jù),分組及各組的頻數(shù)如下則樣本在區(qū)間[20,60)上的頻率是(　　)
A.0.5B.0.6C. 0.7D. 0.8
2.一個容量為32的樣本,已知某組數(shù)據(jù)的頻率為0.125,則該組數(shù)據(jù)的頻數(shù)為(　　)A.2B. 4C. 6D. 8
解析:0.125×32=4.
3.如圖所示是一容量為100的樣本的頻率分布直方圖,則由圖中的數(shù)據(jù)可知,樣本落在[15,20]內(nèi)的頻數(shù)為(　　)A.20B. 30 C. 40D. 50
答案:B　解析:樣本數(shù)據(jù)落在[15,20]內(nèi)的頻數(shù)為:100×[1-5×(0.04+0.10)]=30.
4.從某小學(xué)隨機抽取100名同學(xué),將他們的身高(單位:cm)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖如圖所示.由圖中數(shù)據(jù)可知a=　　　　.若要從身高在[120,130),[130,140),[140,150]三組內(nèi)的學(xué)生中,用分層隨機抽樣的方法選取18人參加一項活動,則從身高在[140,150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)為　　　　.?
答案:0.030　3　解析:∵0.005×10+0.035×10+a×10+0.020×10+0.010×10=1,∴a=0.030,設(shè)身高在[120,130),[130,140),[140,150]三組的分別有x,y,z人.
5.公交車的數(shù)量太多容易造成資源的浪費,太少又難以滿足乘客的需求.為此,公交公司在某站臺隨機調(diào)查了80名乘客,他們的候車時間如下所示(單位:min):
(1)將數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸M,并畫出相應(yīng)的頻率分布直方圖和頻率折線圖;(2)候車時間不低于15分鐘比例是多少?你能為公交公司提出什么建議?
解:(1)該數(shù)據(jù)中最大值為34,最小值為1,兩者之差為33,故取組距為5,分為7組.
頻率分布直方圖如下圖所示:
頻率折線圖如下圖所示:

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