高考統(tǒng)計·定方向
熱點題型
真題統(tǒng)計
命題規(guī)律
題型1：數(shù)列中的an與Sn的關(guān)系
2018全國卷ⅠT14；2016全國卷ⅢT17；2015全國卷ⅡT16
分析近五年全國卷發(fā)現(xiàn)高考命題有以下規(guī)律：
1.數(shù)列求和常以an與Sn的關(guān)系為載體，重點考查分組轉(zhuǎn)化求和、裂項相消求和、錯位相減求和，難度中等.
2.與函數(shù)、不等式綜合考查，突出數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.
題型2：求數(shù)列{an}的前n項和
2017全國卷ⅡT15；2016全國卷ⅡT17; 2015全國卷ⅠT17
題型3：數(shù)列中的創(chuàng)新與交匯問題
2017全國卷ⅠT12；2014全國卷ⅡT17

題型1　數(shù)列中的an與Sn的關(guān)系
(對應(yīng)學(xué)生用書第22頁)
■核心知識儲備·
1．?dāng)?shù)列{an}中，an與Sn的關(guān)系
an＝
2．求數(shù)列{an}通項的方法
(1)疊加法
形如an－an－1＝f(n)(n≥2)的數(shù)列應(yīng)用疊加法求通項公式，an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝a1＋f(2)＋…＋f(n)(和可求)．
(2)疊乘法
形如＝f(n)(n≥2)的數(shù)列應(yīng)用疊乘法求通項公式，an＝a1···…·＝a1·f(2)·f(3)…f(n)(積可求)．
(3)待定系數(shù)法
形如an＝λan－1＋μ(n≥2，λ≠1，μ≠0)的數(shù)列應(yīng)用待定系數(shù)法求通項公式，an＋＝λ
.
■高考考法示例·
【例1】　(1)(2018·巴蜀適應(yīng)性月考)數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝Sn＋3n(n∈N*，n≥1)，則數(shù)列{Sn}的通項公式為________．
(2)(2018·錦州市模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，an≠0，a1＝1，且2anan＋1＝4Sn－3(n∈N*)．
①求a2的值并證明：an＋2－an＝2；
②求數(shù)列{an}的通項公式．
(1)Sn＝3n－2n　[∵an＋1＝Sn＋3n＝Sn＋1－Sn，
∴Sn＋1＝2Sn＋3n，
∴＝·＋，
∴－1＝，
又－1＝－1＝－，
∴數(shù)列是首項為－，公比為的等比數(shù)列，
∴－1＝－×＝－，
∴Sn＝3n－2n.]
(2)[解]?、倭頽＝1得2a1a2＝4a1－3，
又a1＝1，
∴a2＝.
由2anan＋1＝4Sn－3，
得2an＋1an＋2＝4Sn＋1－3.
即2an＋1(an＋2－an)＝4an＋1.
∵an≠0，∴an＋2－an＝2.
②由①可知：數(shù)列a1，a3，a5，…，a2k－1，…為等差數(shù)列，公差為2，首項為1，∴a2k－1＝1＋2(k－1)＝2k－1，即n為奇數(shù)時，an＝n.
數(shù)列a2，a4，a6，…，a2k，…為等差數(shù)列，公差為2，首項為，
∴a2k＝＋2(k－1)＝2k－，
即n為偶數(shù)時，an＝n－.
綜上所述，an＝
[方法歸納]　由Sn與an的遞推關(guān)系求an的思路
1．利用a1＝S1，求出a1.
2．利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項公式；或者轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an.
提醒：在利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求通項公式時，務(wù)必驗證n＝1時的情形．看其是否可以與n≥2的表達(dá)式合并．
■對點即時訓(xùn)練·
1．?dāng)?shù)列{an}中，a1＝1，對任意n∈N*，有an＋1＝1＋n＋an，令bi＝(i∈N*)，則b1＋b2＋…＋b2 018＝(　　 )
A．　　　　 B．
C． D．
D　[∵an＋1＝n＋1＋an，∴an＋1－an＝1＋n，
∴an－an－1＝n，
∴an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)
＝1＋2＋…＋n＝，
∴bn＝＝2，
∴b1＋b2＋…＋b2 018＝21－＋－＋…＋－＝，故選D．]
2．?dāng)?shù)列{an}滿足，a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋1，則數(shù)列{an}的通項公式為________．
an＝　[因為a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋1，
所以a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝2(n－1)＋1，
兩式相減得an＝2，
即an＝2n＋1，n≥2.
又a1＝3，
所以a1＝6，
因此an＝]
題型2　求數(shù)列{an}的前n項和
(對應(yīng)學(xué)生用書第23頁)
■核心知識儲備·
1．分組求和法：將數(shù)列通項公式寫成cn＝an＋bn的形式，其中{an}與{bn}是等差(比)數(shù)列或一些可以直接求和的數(shù)列．
2．裂項相消法：把數(shù)列與式中的各項分別裂開后，某些項可以相互抵消從而求和的方法，主要適用于或(其中{an}為等差數(shù)列)等形式的數(shù)列求和．
3．錯位相減法：形如{an·bn}(其中{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列)的數(shù)列求和，一般分六步：①Sn；②qSn；③差式；④和式；⑤整理；⑥結(jié)論．
■高考考法示例·
?角度一　分組求和法
【例2－1】　(2018·昆明市教學(xué)質(zhì)量檢查)已知數(shù)列{an}中，a1＝3，{an}的前n項和Sn滿足：Sn＋1＝an＋n2.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足：bn＝(－1)n＋2an，求{bn}的前n項和Tn.
[解]　(1)由Sn＋1＝an＋n2 ①
得Sn＋1＋1＝an＋1＋(n＋1)2 ②
則②－①得an＝2n＋1.當(dāng)a1＝3時滿足上式，
所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n＋1.
(2)由(1)得bn＝(－1)n＋22n＋1，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝＋(23＋25＋…＋22n＋1)＝＋＝＋(4n－1)．
【教師備選】
(2018·石家莊三模)已知等差數(shù)列{an}的首項a1＝2，前n項和為Sn，等比數(shù)列{bn}的首項b1＝1，且a2＝b3，S3＝6b2，n∈N*.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
(2)數(shù)列{cn}滿足cn＝bn＋(－1)nan，記數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，求Tn.
[解]　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，數(shù)列{bn}的公比為q.
∵a1＝2，b1＝1，且a2＝b3，S3＝6b2，
∴解得
∴an＝2＋(n－1)×2＝2n，bn＝2n－1.
(2)由題意：cn＝bn＋(－1)nan＝2n－1＋(－1)n2n.
∴Tn＝(1＋2＋4＋…＋2n－1)＋[－2＋4－6＋8－…＋(－1)n·2n]，
①若n為偶數(shù)：
Tn＝＋{(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋[－2(n－1)＋2n]}＝2n－1＋×2＝2n＋n－1.
②若n為奇數(shù)：
Tn＝＋{(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋[－2(n－2)＋2(n－1)]－2n}＝2n－1＋2×－2n＝2n－n－2.
∴Tn＝
?角度二　裂項相消法求和
【例2－2】　(2015·全國卷Ⅰ)Sn為數(shù)列{an}的前n項和．已知an＞0，a＋2an＝4Sn＋3.
(1)求{an}的通項公式；
(2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和．
[解]　(1)由a＋2an＝4Sn＋3，可知
a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.
兩式相減可得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1，
即2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．
由于an>0，可得an＋1－an＝2.
又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.
所以{an}是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，通項公式為an＝2n＋1.
(2)由an＝2n＋1可知
bn＝＝＝.
設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，則
Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
＝＝.
【教師備選】
(2018·鄭州第三次質(zhì)量預(yù)測)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝－2，且滿足Sn＝an＋1＋n＋1(n∈N*)．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若bn＝log3(－an＋1)，設(shè)數(shù)列的前n項和為Tn，求證：Tn＜.
[解]　(1)由Sn＝an＋1＋n＋1(n∈N*)，得Sn－1＝an＋n(n≥2，n∈N*)，
兩式相減，并化簡，得an＋1＝3an－2，
即an＋1－1＝3(an－1)，又a1－1＝－2－1＝－3≠0，
所以{an－1}是以－3為首項，3為公比的等比數(shù)列，
所以an－1＝(－3)·3n－1＝－3n.
故an＝－3n＋1.
(2)證明：由bn＝log3(－an＋1)＝log33n＝n，
得＝＝，
Tn＝1－＋－＋－＋…＋－＋－＝1＋－－＝－＜.
?角度三　錯位相減法求和
【例2－3】　(2018·合肥教學(xué)質(zhì)量檢測)已知等比數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足4S5＝3S4＋S6，且a3＝9.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設(shè)bn＝(2n－1)·an，求數(shù)列{bn}的前n項的和Tn.
[解]　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.
由4S5＝3S4＋S6，得S6－S5＝3S5－3S4，
即a6＝3a5，∴q＝3，∴an＝9×3n－3＝3n－1.
(2)由(1)得bn＝(2n－1)·an＝(2n－1)·3n－1，
∴Tn＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n－1)×3n－1， ①
∴3Tn＝1×31＋3×32＋…＋(2n－3)×3n－1＋(2n－1)×3n， ②
①－②得
－2Tn＝1＋2(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)·3n
＝1＋2×－(2n－1)·3n＝－2－2(n－1)·3n，
∴Tn＝(n－1)·3n＋1.
【教師備選】
(2018·石家莊教學(xué)質(zhì)量檢測)已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝an＋ .
(1)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的通項公式；
(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.
[解]　(1)由an＋1＝an ＋可得＝＋.
又∵bn＝，∴bn＋1－bn＝，由a1＝1，得b1＝1，
累加可得：
(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝＋＋…＋，
化簡并代入b1＝1得：bn＝2－.
(2)由(1)可知an＝2n－，
設(shè)數(shù)列的前n項和為Tn，
則Tn＝＋＋＋…＋ ①
Tn＝＋＋＋…＋ ②
①－②得
Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝2－，
∴Tn＝4－.
又∵數(shù)列{2n}的前n項和為n(n＋1)，
∴Sn＝n(n＋1)－4＋.
[方法歸納]　數(shù)列求和的注意事項
1．分組求和法求和時，當(dāng)數(shù)列的各項是正負(fù)交替時，一般需要對項數(shù)n進(jìn)行討論．
2．裂項相消法的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確裂項，使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項公式相等，把握相消后所剩式子的結(jié)構(gòu)．前面剩幾項，后面剩幾項．
3．錯位相減法中，兩式做減法后所得式子的項數(shù)及對應(yīng)項之間的關(guān)系，求和時注意數(shù)列是否為等比數(shù)列或是從第幾項開始為等比數(shù)列．
■對點即時訓(xùn)練·
已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，S3＋S4＝S5.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)令bn＝(－1)n－1anan＋1，求數(shù)列{bn}的前2n項和T2n.
[解]　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
由S3＋S4＝S5，可得a1＋a2＋a3＝a5，
即3a2＝a5，故3(1＋d)＝1＋4d，解得d＝2.
∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
(2)由(1)可得bn＝(－1)n－1·(2n－1)·(2n＋1)
＝(－1)n－1·(4n2－1)．
∴T2n＝(4×12－1)－(4×22－1)＋(4×32－1)－(4×42－1)＋…＋(－1)2n－1·[4×(2n)2－1]
＝4[12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2]
＝－4(1＋2＋3＋4＋…＋2n－1＋2n)
＝－4×
＝－8n2－4n.
題型3　數(shù)列中的創(chuàng)新與交匯問題
(對應(yīng)學(xué)生用書第24頁)
近幾年新課標(biāo)高考對該知識的命題主要體現(xiàn)在以下兩方面：一是新信息情境下的數(shù)列問題，此類問題多以新定義、新運算或?qū)嶋H問題為背景，主要考查學(xué)生的歸納推理解決新問題的能力；二是創(chuàng)新命題角度考遷移能力，題目常與函數(shù)、向量、三角、解析幾何等知識交匯結(jié)合，考查數(shù)列的基本運算與應(yīng)用．
■高考考法示例·
?角度一　新信息情境下的數(shù)列問題
【例3－1】　(2017·全國卷Ⅰ)幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件．為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動．這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20,21，再接下來的三項是20,21,22，依此類推．求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N＞100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪．那么該款軟件的激活碼是(　　)
A．440　　　　 B．330
C．220 D．110
[思路點撥]　
A　[設(shè)首項為第1組，接下來的兩項為第2組，再接下來的三項為第3組，依此類推，則第n組的項數(shù)為n，前n組的項數(shù)和為.
由題意知，N>100，令>100?n≥14且n∈N*，即N出現(xiàn)在第13組之后．
第n組的各項和為＝2n－1，前n組所有項的和為－n＝2n＋1－2－n.
設(shè)N是第n＋1組的第k項，若要使前N項和為2的整數(shù)冪，則N－項的和即第n＋1組的前k項的和2k－1應(yīng)與－2－n互為相反數(shù)，即2k－1＝2＋n(k∈N*，n≥14)，k＝log2(n＋3)?n最小為29，此時k＝5，則N＝＋5＝440.故選A．]
?角度二　交匯類創(chuàng)新問題
【例3－2】　(2018·長沙聯(lián)考)已知正項數(shù)列{an}，{bn}滿足：對于任意的n∈N*，都有點(n，)在直線y＝(x＋2)上，且bn，an＋1，bn＋1成等比數(shù)列，a1＝3.
(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
(2)設(shè)Sn＝＋＋…＋，如果對任意的n∈N*，不等式2aSn

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