[考情考向分析]　高考對數(shù)列求和的考查主要以解答題的形式出現(xiàn)，通過分組轉(zhuǎn)化、錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消等方法求一般數(shù)列的和，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想．

熱點(diǎn)一　分組轉(zhuǎn)化法求和
有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項(xiàng)拆開或變形，可轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，即先分別求和，然后再合并．
例1　(2018·西南名校聯(lián)盟月考)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1a3＝4，a3是a2－2與a4的等差中項(xiàng)，若an＋1＝(n∈N*)．
(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足cn＝an＋1＋，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.
解　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，且q>0，
由an>0，a1a3＝4，得a2＝2，
又a3是a2－2與a4的等差中項(xiàng)，
故2a3＝a2－2＋a4，∴2·2q＝2－2＋2q2，
∴q＝2或q＝0(舍)．
∴an＝a2qn－2＝2n－1，
∴an＋1＝2n＝，∴bn＝n(n∈N*)．
(2)由(1)得，cn＝an＋1＋
＝2n＋＝2n＋，
∴數(shù)列的前n項(xiàng)和
Sn＝2＋22＋…＋2n＋
＝＋
＝2n＋1－2＋(n∈N*)．
思維升華　在處理一般數(shù)列求和時(shí)，一定要注意使用轉(zhuǎn)化思想．把一般的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)行求和，在求和時(shí)要分清楚哪些項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，哪些項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，清晰正確地求解．在利用分組求和法求和時(shí)，由于數(shù)列的各項(xiàng)是正負(fù)交替的，所以一般需要對項(xiàng)數(shù)n進(jìn)行討論，最后再驗(yàn)證是否可以合并為一個(gè)公式．
跟蹤演練1　(2018·焦作模擬)已知{an}為等差數(shù)列，且a2＝3，{an}前4項(xiàng)的和為16，數(shù)列{bn}滿足b1＝4，b4＝88，且數(shù)列為等比數(shù)列(n∈N*)．
(1)求數(shù)列{an}和的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
解　(1)設(shè){an}的公差為d，
因?yàn)閍2＝3，{an}前4項(xiàng)的和為16，
所以a1＋d＝3,4a1＋d＝16，
解得a1＝1，d＝2，
所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n∈N*)．
設(shè)的公比為q，則b4－a4＝q3，
所以q3＝＝＝27，得q＝3，
所以bn－an＝×3n－1＝3n(n∈N*)．
(2)由(1)得bn＝3n＋2n－1，
所以Sn＝＋

＝＋
＝＋n2＝＋n2－(n∈N*)．
熱點(diǎn)二　錯(cuò)位相減法求和
錯(cuò)位相減法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}，{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列．
例2　(2018·百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足a1＝a3，an＋1－＝，設(shè)bn＝2nan(n∈N*)．
(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.
解　(1)由bn＝2nan，得an＝，代入an＋1－＝得
－＝，即bn＋1－bn＝3，
所以數(shù)列{bn}是公差為3的等差數(shù)列，
又a1＝a3，所以＝，即＝，所以b1＝2，
所以bn＝b1＋3(n－1)＝3n－1(n∈N*)．
(2)由bn＝3n－1，得an＝＝，
所以Sn＝＋＋＋…＋，
Sn＝＋＋＋…＋，
兩式相減得Sn＝1＋3－
＝－，
所以Sn＝5－(n∈N*)．
思維升華　(1)錯(cuò)位相減法適用于求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列．
(2)所謂“錯(cuò)位”，就是要找“同類項(xiàng)”相減．要注意的是相減后得到部分求等比數(shù)列的和，此時(shí)一定要查清其項(xiàng)數(shù)．
(3)為保證結(jié)果正確，可對得到的和取n＝1,2進(jìn)行驗(yàn)證．
跟蹤演練2　(2018·濱海新區(qū)七所重點(diǎn)學(xué)校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn，且Sn＋an＝1(n∈N*)．?dāng)?shù)列{bn}是公差d不等于0的等差數(shù)列，且滿足：b1＝a1，b2，b5，b14成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)cn＝an·bn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.
解　(1)n＝1時(shí)，a1＋a1＝1，a1＝，
n≥2時(shí)，
Sn－Sn－1＝，∴an＝an－1(n≥2)，
{an}是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
an＝×n－1＝2n.
b1＝1，
由b＝b2b14得，2＝，
d2－2d＝0，因?yàn)閐≠0，解得d＝2，
bn＝2n－1(n∈N*)．
(2)cn＝，
Tn＝＋＋＋…＋，①
Tn＝＋＋＋…＋＋，②
①－②得，Tn＝＋4－
＝＋4×－
＝－－，
所以Tn＝2－(n∈N*)．
熱點(diǎn)三　裂項(xiàng)相消法求和
裂項(xiàng)相消法是指把數(shù)列和式中的各項(xiàng)分別裂開后，某些項(xiàng)可以相互抵消從而求和的方法，主要適用于或(其中{an}為等差數(shù)列)等形式的數(shù)列求和．
例3　(2018·天津市十二校模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn＝a(n∈N*)(a為常數(shù)，a≠0，a≠1)．
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn＝an＋Sn，若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，求a的值；
(3)在滿足條件(2)的情形下，cn＝.若數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，且對任意n∈N*滿足Tn0，
∴an－an－1＝2，
又當(dāng)n＝2時(shí)，2＝a－2a1＋1，
即a－2a2－3＝0，解得a2＝3或a2＝－1(舍)，
a2－a1＝2，
符合an－an－1＝2，
∴{an}是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n∈N*)．
(2)bn＝＝，
∴Tn＝＝，
又∵Tn>，即>，解得n>9，
又n∈N*，∴n的最小值為10.

真題體驗(yàn)
1．(2017·全國Ⅱ)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3＝3，S4＝10，則＝________.
答案　(n∈N*)
解析　 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
由得
∴Sn＝n×1＋×1＝，
＝＝2.
∴＝＋＋＋…＋
＝2
＝2＝(n∈N*)．
2．(2017·天津)已知{an}為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，{bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.
(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列{a2nb2n－1}的前n項(xiàng)和(n∈N*)．
解　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q.
由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12，而b1＝2，
所以q2＋q－6＝0.
又因?yàn)閝>0，解得q＝2，所以bn＝2n.
由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8，①
由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16，②
聯(lián)立①②，解得a1＝1，d＝3，
由此可得an＝3n－2(n∈N*)．
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n－2(n∈N*)，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝2n(n∈N*)．
(2)設(shè)數(shù)列{a2nb2n－1}的前n項(xiàng)和為Tn，由a2n＝6n－2，b2n－1＝2×4n－1，得a2nb2n－1＝(3n－1)×4n，
故Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n，③
4Tn＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n＋1，④
③－④，得－3Tn＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n－1)×4n＋1
＝－4－(3n－1)×4n＋1
＝－(3n－2)×4n＋1－8，
得Tn＝×4n＋1＋(n∈N*)．
所以數(shù)列{a2nb2n－1}的前n項(xiàng)和為×4n＋1＋(n∈N*)．
押題預(yù)測
1．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(n∈N*)，其前n項(xiàng)和為Sn，若存在M∈Z，滿足對任意的n∈N*，都有Sn0，∴2bn＋1＝bn，
∴q＝，b3＝b1q2＝，
∴b1＝1，bn＝n－1(n∈N*)．
(2)由(1)得cn＝(2n－1)n－1，
Tn＝1＋3×＋5×2＋…＋(2n－1)n－1，
Tn＝1×＋3×2＋…＋(2n－3)n－1＋(2n－1)×n，
兩式相減，得Tn＝1＋2×＋2×2＋…＋2×n－1－(2n－1)×n
＝1＋2－(2n－1)×n
＝3－n－1.
∴Tn＝6－n－1(2n＋3)(n∈N*)．

A組　專題通關(guān)
1．已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1＝1，且an，an＋1是方程x2－bnx＋2n＝0的兩根，則b10等于(　　)
A．24 B．32
C．48 D．64
答案　D
解析　由已知有anan＋1＝2n，
∴an＋1an＋2＝2n＋1，則＝2，
∴數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)均為公比為2的等比數(shù)列，可以求出a2＝2，
∴數(shù)列{an}的項(xiàng)分別為1,2,2,4,4,8,8,16,16,32,32，…，而bn＝an＋an＋1，
∴b10＝a10＋a11＝32＋32＝64.
2．(2018·河南省六市聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝2n＋1＋m，且a1，a4，a5－2成等差數(shù)列，bn＝，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，則滿足Tn>的最小正整數(shù)n的值為(　　)
A．11 B．10 C．9 D．8
答案　B
解析　根據(jù)Sn＝2n＋1＋m可以求得an＝
所以有a1＝m＋4，a4＝16，a5＝32，
根據(jù)a1，a4，a5－2成等差數(shù)列，
可得m＋4＋32－2＝32，從而求得m＝－2，
所以a1＝2滿足an＝2n，
從而求得an＝2n(n∈N*)，
所以bn＝＝
＝－，
所以Tn＝1－＋－＋－＋…＋－＝1－，
令1－>，整理得2n＋1>2 019，
解得n≥10.
3．(2018·山西榆社中學(xué)模擬)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝，＝＋2n(n∈N*)，則S100等于(　　)
A．2－ B．2－
C．2－ D．2－
答案　D
解析　由＝＋2n，得－＝2n，
則－＝2n－1，－＝2n－2，…，－＝21，
將各式相加得－＝21＋22＋…＋2n－1＝2n－2，
又a1＝，所以an＝n·，
因此S100＝1×＋2×＋…＋100×，
則S100＝1×＋2×＋…＋99×＋100×，
兩式相減得S100＝＋＋＋…＋－100×，
所以S100＝2－99－100·100＝2－.
4．在等比數(shù)列{an}中，a2·a3＝2a1，且a4與2a7的等差中項(xiàng)為17，設(shè)bn＝(－1)nan，n∈N*，則數(shù)列{bn}的前2 018項(xiàng)的和為________．
答案?。?br /> 解析　設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q.
∵a2·a3＝2a1，∴a1·q3＝2，即a4＝2.
∵a4與2a7的等差中項(xiàng)為17，
∴a4＋2a7＝34，即a7＝16，
∴a1＝，q＝2，
∴an＝·2n－1＝2n－3(n∈N*)．
∵bn＝(－1)nan＝(－1)n·2n－3，
∴數(shù)列{bn}的前2 018項(xiàng)的和為
S2 018＝－(a1＋a3＋…＋a2 017)＋(a2＋a4＋…＋a2 018)＝－(2－2＋20＋22＋…＋22 014)＋(2－1＋21＋23＋…＋22 015)
＝－＋＝－.
5．(2018·保山模擬)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝nsin?(n∈N*)，其前n項(xiàng)和為Sn，則S2 018＝________.
答案　
解析　a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝－3，
a7＋a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝－3，
……
a6m＋1＋a6m＋2＋a6m＋3＋a6m＋4＋a6m＋5＋a6m＋6＝－3，m∈N，
所以S2 018＝.
6．(2018·山東K12聯(lián)盟考試)已知數(shù)列{an}，a1＝e(e是自然對數(shù)的底數(shù))，an＋1＝a(n∈N*)．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn＝(2n－1)ln an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
解　(1)由a1＝e，an＋1＝a知，an>0，
所以ln an＋1＝3ln an，
數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
所以ln an＝3n－1，an＝e3n－1(n∈N*)．
(2)由(1)得bn＝(2n－1)ln an＝(2n－1)·3n－1，
Tn＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n－1)×3n－1，①
3Tn＝1×31＋3×32＋…＋(2n－3)×3n－1＋(2n－1)×3n，②
①－②，得－2Tn＝1＋2(31＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n－1)×3n
＝1＋2×－(2n－1)×3n＝－2(n－1)×3n－2.
所以Tn＝(n－1)×3n＋1(n∈N*)．
7．(2018·永州模擬)在等比數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＝8，數(shù)列{bn}滿足bn＝log2an(n∈N*)，且b1＋b2＋b3＝15.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，又設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，求證：Tn

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