2019屆二輪復習數(shù)列求和學案（全國通用）-教案下載-教習網(wǎng)

考情速遞：

1. （2018年北京）設{an}是等差數(shù)列，且a1=ln 2，a2+a3=5ln 2．
（1）求{an}的通項公式；
（2）求e+e+…+e．

2 （2018年浙江）已知等比數(shù)列{an}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中項．數(shù)列{bn}滿足b1=1，數(shù)列{（bn+1-bn）an}的前n項和為2n2+n．
（1）求q的值；
（2）求數(shù)列{bn}的通項公式．
【解析】（1）等比數(shù)列{an}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中項，
可得2a4+4=a3+a5=28-a4，
解得a4=8，
由+8+8q=28，可得q=2（舍去），
則q的值為2．

可得bn=b1+（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn-bn-1）
=1+3?（）0+7?（）1+…+（4n-5）?（）n-2，
bn=+3?（）+7?（）2+…+（4n-5）?（）n-1，
相減可得bn=+4[（）+（）2+…+（）n-2]-（4n-5）?（）n-1
=+4?-（4n-5）?（）n-1，
化簡可得bn=15-（4n+3）?（）n-2．
3（2018年天津）設{an}是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項和為Sn（n∈N ），{bn}是等差數(shù)列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．
（1）求{an}和{bn}的通項公式；
（2）設數(shù)列{Sn}的前n項和為Tn（n∈N ），
（i）求Tn；
（ii）證明=-2（n∈N ）．

（2）（i）由（1），可得Sn==2n-1，
故Tn===-n=2n+1-n-2；
（ii）證明：∵===-．
∴=(-)+(-)+…+(-)=-2．

例1.(2018年新課標Ⅲ理)等比數(shù)列{an}中,a1＝1,a5＝4a3.
（1）求{an}的通項公式；
（2）記Sn為{an}的前n項和.若Sm＝63,求m.
【分析】利用等比數(shù)列的基本公式求出數(shù)列的公比，從而求得通項公式；第二問利用求和公式求解關于m的方程，確定解的情況。
【解析】（1）設等比數(shù)列{an}的公比為q.
由a1＝1,a5＝4a3,得1×q4＝4×(1×q2),解得q＝±2.
當q＝2時,an＝2n－1；
當q＝－2時,an＝(－2)n－1.
（2）當q＝－2時,Sn＝＝.由Sm＝63,得＝63,m∈N,無解；
當q＝2時,Sn＝＝2n－1.由Sm＝63,得2m－1＝63,解得m＝6.

（2018?順德區(qū)一模）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a2=﹣45，a4=﹣41，則Sn取得最小值時n的值為（　?。?br /> A．23 B．24或25 C．24 D．25
【答案】C

例2（2018?海淀區(qū)二模）已知等差數(shù)列{an}滿足2an+1﹣an=2n+3．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{an+bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列{bn}的前n項和．
【分析】（Ⅰ）{an}是等差數(shù)列，利用等差的性質建立關系求解即可．
（Ⅱ）數(shù)列{an+bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，求解等比數(shù)列的通項，利用分組求和法即可求解數(shù)列{bn}的前n項和．
【解析】：（Ⅰ）方法1：
因為數(shù)列{an}是等差數(shù)列，
所以an+an+2=2an+1．
因為2an+1﹣an=2n+3，
所以an+2=2n+3．
所以，當n≥3時，an=2（n﹣2）+3=2n﹣1．
所以an=2n﹣1（n=1，2，3，…）．
方法2：

（Ⅱ）因為數(shù)列{an+bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，
所以，
因為an=2n﹣1，
所以．
設數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，
則==2n﹣1﹣n2．
所以數(shù)列{bn}的前n項和為：2n﹣1﹣n2．

（2018?淄博二模）已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，若a1=2b1，a4﹣a2=12，S4+2S2=3S3．
（I）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
（II）設cn=，Tn為{cn}的前n項和，求T2n．
【解析】：（I）等比數(shù)列{an}的公比設為q，前n項和為Sn，
數(shù)列是公差為d=1的等差數(shù)列，
即有=t+n﹣1，即bn=n（t+n﹣1），
若a1=2b1=t，
a4﹣a2=12，S4+2S2=3S3，
可得tq3﹣tq=12，S4﹣S3=2（S3﹣S2），
即為a4=2a3，即q==2，
解得t=2，
可得an=2n；bn=n2；
（2）cn=，
即為cn=，
T2n=（c1+c3+…+c2n﹣1）+（c2+c4+…+c2n）
=[++…+]+（++…+）
=（1﹣+﹣+…+﹣）+
=﹣?+（1﹣）
=﹣?﹣?．

（2018?南平一模）已知等差數(shù)列{an}滿足a3=6，前7項和為S7=49．
（1）求{an}的通項公式；
（2）設數(shù)列{bn}滿足，求{bn}的前n項和Tn．
【解析】：（1）由，得a4=7
∵a3=6，∴d=1，
∴a1=4，
∴an=n+3

例4（2018?攀枝花三模）已知{an}是公差為2的等差數(shù)列．數(shù)列{bn}滿足b1=，b2=，且anbn+1=nbn+bn+1（n∈N ）
（I）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
（Ⅱ）設cn=，數(shù)列{cn}的前n項和為Sn，證明：Sn＜
【分析】（Ⅰ）由題意可知，n=1時a1b2=b1+b2?a1=3，又公差為2，可得an．從而有（2n+1）bn+1=nbn+bn+1?2bn+1=bn，利用等比數(shù)列的通項公式可得bn．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．利用裂項求和即可得出．
【解析】（Ⅰ）由題意可知，n=1時a1b2=b1+b2?a1=3，又公差為2，故an=2n+1．
從而有（2n+1）bn+1=nbn+bn+1?2bn+1=bn，故數(shù)列{bn}是公比為的等比數(shù)列
又，所以；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．
故=．

1．（2018?商洛模擬）《張丘建算經(jīng)》是我國南北朝時期的一部重要數(shù)學著作，書中系統(tǒng)的介紹了等差數(shù)列，同類結果在三百多年后的印度才首次出現(xiàn)．書中有這樣一個問題，大意為：某女子善于織布，后一天比前一天織的快，而且每天增加的數(shù)量相同，已知第一天織布5尺，一個月（按30天計算）總共織布390尺，問每天增加的數(shù)量為多少尺？該問題的答案為（　?。?br /> A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
【答案】B

2（2018?永州三模）在等比數(shù)列{an}中，首項a1=8，數(shù)列{bn}滿足bn=log2an，且b1+b2+b3=15．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）記數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，又設數(shù)列的前n項和為Tn，求證：．
【解析】：（Ⅰ）由bn=log2an和b1+b2+b3=15得log2（a1a2a3）=15，
∴，
設等比數(shù)列{an}的公比為q，∵a1=8，∴，
∴8?8q?8q2=215，解得q=4．（q=﹣4舍去），
∴，即．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn=2n+1，易知{bn}為等差數(shù)列，，
則，
Tn==，
∴．
必刷題：
一．選擇題（共12小題）
1．（2018?唐山二模）設{an}是任意等差數(shù)列，它的前n項和、前2n項和與前4n項和分別為X，Y，，則下列等式中恒成立的是（　　）
A．2X+ =3Y B．4X+ =4Y C．2X+3 =7Y D．8X+ =6Y
【答案】：D
　
2．（2018?廣東二模）已知等比數(shù)列{an}的首項為1，公比q≠﹣1，且a5+a4=3（a3+a2），則=（　　）
A．﹣9 B．9 C．﹣81 D．81
【答案】：B
【解析】等比數(shù)列{an}的首項為1，公比q≠﹣1，且a5+a4=3（a3+a2），
∴=3（a2q+a2），
化為：q2=3．
由等比數(shù)列的性質可得：a1a2……a9=q1+2+……+8==q4×9
則==q4=9．
故選：B．
3．（2018?宜賓模擬）設x=1是函數(shù)f（x）=an+1x3﹣anx2﹣an+2x+1（n∈N+）的極值點，數(shù)列{an}，a1=1，a2=2，bn=log2a2n，若[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則[++…+]=（　?。?br /> A．1008 B．1009 C．2017 D．2018
【答案】：A

設cn=an+1﹣an，可得2cn=cn+1，
可得數(shù)列{cn}為首項為1，公比為2的等比數(shù)列，
即有cn=2n﹣1，
則an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1）
=1+1+2+…+=2n﹣2
=1+=2n﹣1，
則bn=log2a2n=2n﹣1，
可得++…+
=2018×（++…+）
=2018××（1﹣+﹣+…+﹣）
=1009×（1﹣）=1008+，
則[++…+]=1008．
故選：A．
4．（2018?貴陽一模）已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1=，a2a6=8（a4﹣2），則S2018=（　?。?br /> A．22017﹣ B．1﹣（）2017 C．22018﹣ D．1﹣（）2018
【答案】A
【解析】：根據(jù)題意，設等比數(shù)列{an}的公比為q，
若a2a6=8（a4﹣2），則有（a4）2=8（a4﹣2），即a42﹣8a4+16=0，
解可得a4=4，
則q3===8，則q=2，
則S2018==22017﹣，
故選：A．
5．（2018?衡陽二模）在等差數(shù)列{an}中，﹣1＜＜0，若它的前n項和Sn有最大值，則當Sn＞0時，n的最大值為（　?。?br /> A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】：B

∵Sn=，
∴Sn＞0時，n的最大值為12．
故選：B．
6．（2018?益陽模擬）侏羅紀蜘蛛是一種非常有規(guī)則的蜘蛛，如圖，它是由無數(shù)個正方形環(huán)繞而成，且每一個正方形的四個頂點都恰好在它的外圍一層正方形四條邊的三等分點上，設外圍第一個正方形的邊長是m，有人說，如此下去，蜘蛛的長度也是無限的增大，那么，試問，侏羅紀蜘蛛的長度真的是無限長的嗎？設侏羅紀蜘蛛的長度為Sn，則（　?。?br />
A．Sn無限大 B． C． D．Sn可以取100m
【答案】：B

那么蜘蛛的長度為Sn=4×m（1+……+）==（9+）m．
故選：B．
7．（2018?鄭州二模）已知定義域為R，數(shù)列是遞增數(shù)列，則a的取值范圍是（　　）
A．（1，+∞） B． C．（1，3） D．（3，+∞）
【答案】：D
【解析】∵定義域為R，數(shù)列是遞增數(shù)列，
∴，
解得a＞3，
故選：D．
8．（2018?蘭州模擬）數(shù)列{an}中，a1=1，對任意n∈N ，有an+1=1+n+an，令，（i∈N ），則b1+b2+…+b2018=（　　）
A． B． C． D．
【答案】：D

9．（2018?雙流區(qū)模擬）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=9，，則Sn取最大值時的n為（　　）
A．4 B．5 C．6 D．4或5
【答案】：B
【解析】等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，
∴=a1+d為等差數(shù)列，
設公差為，首項為a1．
∵a1=9，，
∴﹣4=4×，解得d=﹣2．
則Sn=9n﹣×2=﹣n2+10n=﹣（n﹣5）2+25，
∴當n=5時，Sn取得最大值．
故選：B．
10．（2018?吉林三模）等比數(shù)列{an}的首項為，公比為，前n項和為Sn，則當n∈N 時，的最大值與最小值的比值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】：B

設Sn=t，f（t）==t﹣，
分析可得：f′（t）=1+，則f（t）在區(qū)間[，1）和（1，]都是增函數(shù)，
則的最大值為f（）=，最小值為f（）=﹣，
則的最大值與最小值的比值為=﹣；
故選：B．
11．（2018?晉城二模）已知數(shù)列{an}滿足0＜an＜1，a14﹣8a12+4=0，且數(shù)列{an2+}是以8為公差的等差數(shù)列．設{an}的前n項和為Sn，則滿足Sn＞10的n的最小值為（　?。?br /> A．122 B．121 C．61 D．60
【答案】：C

∴an2+==8n．
∴，
則，解得，
，解得，
…
歸納可得，
∴Sn=a1+a2+…+an==．
由Sn＞10，得，即，
則2n+1＞121，得n＞60．
∴n的最小值為61．
故選：C．
12．（2018?蚌埠三模）數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，an+1=an﹣an﹣1（n∈N ，n≥2），a1=2018，a2=2017，則S100=（　　）
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
【答案】：A
【解析】根據(jù)題意，數(shù)列{an}滿足an+1=an﹣an﹣1，則有an=an﹣1﹣an﹣2，
又由a1=2018，a2=2017，則a3=a2﹣a1=2017﹣2018=﹣1，
a4=a3﹣a2=（﹣1）﹣2017=﹣2018，
a5=a4﹣a3=（﹣2018）﹣（﹣1）=﹣2017，
a6=a5﹣a4=（﹣2017）﹣（﹣2018）=1，
a7=a6﹣a5=1﹣（﹣2017）=2018=a1，
a8=a7﹣a6=2018﹣1=2017=a2，
則數(shù)列{an}是周期為6的數(shù)列，且a1+a2+a3+a4+a5+a6=0，
則S100=（a1+a2+a3+a4+a5+a6）+（a7+a8+a9+a10+a11+a12）+……（a97+a98+a99+a100）=a1+a2+a3+a4=2016；
故選：A．
二．填空題（共4小題）
13．（2018?丹東一模）數(shù)列{an}滿足an+1=（2|sin|﹣1）an+2n，則{an}的前20項和為　?。?br /> 【答案】：220

14．（2018?肇慶二模）正項數(shù)列{an}中，滿足a1=1，a2=，=（n∈N ），那么
a1?a3+a2?a4+a3?a5+…+an?an+2=　?。?br /> 【答案】：．
【解析】由=（n∈N ），可得a2n+1=an?an+2，
∴數(shù)列{an}為等比數(shù)列，
∵a1=1，a2=，
∴q=，
∴an=，
∴an?an+2=?=，
∴a1?a3=，
a1?a3+a2?a4+a3?a5+…+an?an+2==，
故答案為：．
15．（2018?天心區(qū)校級二模）已知數(shù)列{an}滿足對1≤n≤3時，an=n，其對?n∈N ，有an+3+an+1=an+2+an，則數(shù)列{n?an}的前50項的和為　?。?br /> 【答案】：2525

可得：（n+4）an+4+（n+5）an+5+（n+6）an+6+（n+7）an+7
﹣[nan+（n+1）an+1+（n+2）an+2+（n+3）an+3]
=4（an+an+1+an+2+an+3）=4×8=32．
∴數(shù)列{n?an}的前50項的和=1×1+2×2+（3a3+4a4+5a5+6a6）×12+×32
=2525．
故答案為：2525．
16（2018?淮南一模）已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，當n≥2時，，且a1=1，設，則的最小值是　?。?br /> 【答案】：9
【解析】∵an=Sn﹣Sn﹣1，（an﹣Sn﹣1）2=SnSn﹣1，
∴（Sn﹣2Sn﹣1）2=SnSn﹣1，
∴Sn2+4Sn﹣12=5SnSn﹣1，
∴Sn=Sn﹣1，或Sn=4Sn﹣1，
∵正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，
∴Sn≠Sn﹣1，
∴Sn=4Sn﹣1，
∵S1=a1=1，
∴{Sn}是以1為首項，以4為公比的等比數(shù)列，
∴Sn=4n﹣1，

設t=n+1，則n=t﹣1，
可得=
==t+﹣3≥2﹣3=9，
當且僅當t=6即n=5時，等號成立，
則的最小值是9．
故答案為：9．
三．解答題（共10小題）
17（2018?南平一模）已知等差數(shù)列{an}滿足a3=6，前7項和為S7=49．
（1）求{an}的通項公式；
（2）設數(shù)列{bn}滿足，求{bn}的前n項和Tn．
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質即可求出，
（2）根據(jù)錯位相減法即可求出．
【解析】：（1）由，得a4=7
∵a3=6，∴d=1，
∴a1=4，
∴an=n+3
（2）=n?3n，
∴Tn=1×31+2×32+3×33+…+n×3n，
∴3Tn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1，
∴﹣2Tn=3+32+33+34+…+3n﹣n×3n+1=﹣n×3n+1，
∴Tn=
18．（2018?東莞市二模）已知等比數(shù)列{an}與等差數(shù)列{bn}，a1=b1=1，a1≠a2，a1，a2，b3成等差數(shù)列，b1，a2，b4成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求{an}，{bn}的通項公式；
（Ⅱ）設Sn，Tn分別是數(shù)列{an}，{bn}，的前n項和，若Sn+Tn＞100，求n的最小值．
【分析】（Ⅰ）設數(shù)列{an}的公比為q，數(shù)列{bn}的公差為d，d≠0，運用等比數(shù)列和等差數(shù)列中項的性質，可得d，q的方程組，解方程即可得到所求通項；
（Ⅱ）運用等比數(shù)列和等差數(shù)列的求和公式，結合數(shù)列的單調性，即可得到所求n的最小值．

（Ⅱ）由（Ⅰ）易知．
由Sn+Tn＞100，得，
∵是單調遞增數(shù)列，
且，
∴n的最小值為7．
19（2018?石景山區(qū)一模）等差數(shù)列{an}中，a2=4，其前n項和Sn滿足．
（Ⅰ）求實數(shù)λ的值，并求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列是首項為λ、公比為2λ的等比數(shù)列，求數(shù)列{bn}的前n項的和Tn．
【分析】（I）利用a2=S2﹣S1=4+2λ﹣1﹣λ=4，求出λ=1，再利用數(shù)列中an與 Sn關系求通項公式．
（II）求出數(shù)列的通項公式，再得出數(shù)列{bn}的通項公式，最后根據(jù)通項公式形式選擇相應方法求和．
【解析】：（I）因為a2=S2﹣S1=4+2λ﹣1﹣λ=4，解得λ=1∴
當n≥2時，則=2n，
當n=1時，也滿足，所以an=2n．
　
20．（2018?益陽模擬）已知{an}是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，且數(shù)列{}的前n項和為，n∈N
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{}的前n項和Tn，求證Tn．
【分析】（1）根據(jù){an}是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，依次令n=1，n=2，建立方程組即可求a1，公差d，可得通項公式；
（2）利用裂項相消法求解數(shù)列{}的前n項和Tn，即可證明；
【解析】：（1）由{an}是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，且數(shù)列{}的前n項和為，n∈N
當n=1時，可得=……①
當n=2時，可得+=……②
②﹣①得：
∴a1×（a1+d）=6，……③
（a1+d）（a1+2d）=12……④．
由③④解得：．
∴數(shù)列{an}的通項公式為：an=n+1；

　21．（2018?淄博二模）已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，若a1=2b1，a4﹣a2=12，S4+2S2=3S3．
（I）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
（II）設cn=，Tn為{cn}的前n項和，求T2n．
【分析】（I）等比數(shù)列{an}的公比設為q，若a1=2b1=t，運用等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式，解方程可得首項和公比，即可得到所求通項；
（Ⅱ）化簡cn，運用裂項相消求和和等比數(shù)列的求和公式，計算即可得到所求和．

可得tq3﹣tq=12，S4﹣S3=2（S3﹣S2），
即為a4=2a3，即q==2，
解得t=2，
可得an=2n；bn=n2；
（2）cn=，
即為cn=，
T2n=（c1+c3+…+c2n﹣1）+（c2+c4+…+c2n）
=[++…+]+（++…+）
=（1﹣+﹣+…+﹣）+
=﹣?+（1﹣）
=﹣?﹣?．
22．（2018?黔東南州二模）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn=（an﹣1），n∈N ．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）令bn=log2an，記數(shù)列{}的前n項和為Tn．證明：Tn．
【分析】（ I）當n=1時，有，解得a1．當n≥2時，有Sn﹣1=（an﹣1﹣1），可得
，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（ II）由（ I）有，則，利用裂項求和方法可得Tn，即可證明．

（ II）證明：由（ I）有，則
，
∴Tn=+……+=，
故得證．
　