高考定位　數(shù)列求和主要考查通過(guò)分組轉(zhuǎn)化、錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消等方法求數(shù)列的和，難度中檔偏下；數(shù)列的綜合問(wèn)題是高考考查的熱點(diǎn)，主要考查數(shù)列與其他知識(shí)的交匯問(wèn)題.


真 題 感 悟
(2018·浙江卷)已知等比數(shù)列{an}的公比q>1，且a3＋a4＋a5＝28，a4＋2是a3，a5的等差中項(xiàng).數(shù)列{bn}滿足b1＝1，數(shù)列{(bn＋1－bn)an}的前n項(xiàng)和為2n2＋n.
(1)求q的值；
(2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.
解　(1)由a4＋2是a3，a5的等差中項(xiàng)得a3＋a5＝2a4＋4，
所以a3＋a4＋a5＝3a4＋4＝28，
解得a4＝8.
由a3＋a5＝20得8＝20，
解得q＝2或q＝，
因?yàn)閝>1，所以q＝2.
(2)設(shè)cn＝(bn＋1－bn)an，數(shù)列{cn}前n項(xiàng)和為Sn.
由cn＝解得cn＝4n－1.
由(1)可知an＝2n－1，
所以bn＋1－bn＝(4n－1)·，
故bn－bn－1＝(4n－5)·，n≥2，
bn－b1＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b3－b2)＋(b2－b1)
＝(4n－5)·＋(4n－9)·＋…＋7·＋3.
設(shè)Tn＝3＋7·＋11·＋…＋(4n－5)·，n≥2，
Tn＝3·＋7·＋…＋(4n－9)·＋(4n－5)·，
所以Tn＝3＋4·＋4·＋…＋4·－·，
因此Tn＝14－(4n＋3)·，n≥2，
又b1＝1，所以bn＝15－(4n＋3)·，n≥2，又b1＝1也適合上式，所以bn＝15－(4n＋3)·.
考 點(diǎn) 整 合
1.數(shù)列求和常用方法
(1)分組轉(zhuǎn)化求和：把數(shù)列的每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)(或多項(xiàng))，再重新組合成兩個(gè)(或多個(gè))簡(jiǎn)單的數(shù)列，最后分別求和.
(2)錯(cuò)位相減法：適用于各項(xiàng)由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積組成的數(shù)列.把Sn＝a1＋a2＋…＋an兩邊同乘以相應(yīng)等比數(shù)列的公比q，得到qSn＝a1q＋a2q＋…＋anq，兩式錯(cuò)位相減即可求出Sn.
(3)裂項(xiàng)相消法：即將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)差的形式，然后通過(guò)累加抵消中間若干項(xiàng)的方法，裂項(xiàng)相消法適用于形如(其中{an}是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列.
2.數(shù)列中的不等式問(wèn)題主要有證明數(shù)列不等式、比較大小或恒成立問(wèn)題，解決方法如下：
(1)利用數(shù)列(或函數(shù))的單調(diào)性；
(2)放縮法：①先求和后放縮；②先放縮后求和，包括放縮后成等差(或等比)數(shù)列再求和，或者放縮后成等差比數(shù)列再求和，或者放縮后裂項(xiàng)相消法求和；
(3)數(shù)學(xué)歸納法.
3.數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題
主要題型為：證明不等式，或不等式恒成立問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題是其主要思路，而求最值常用方法為：①作差比較，利用數(shù)列單調(diào)性求最值；②放縮法求最值.

熱點(diǎn)一　數(shù)列的求和問(wèn)題
[考法1]　分組轉(zhuǎn)化求和
【例1－1】 (2018·天津卷)設(shè){an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)；{bn}是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項(xiàng)和為Tn(n∈N*).已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6.
(1)求Sn和Tn；
(2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整數(shù)n的值.
解　(1)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q(q>0).
由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q2－q－2＝0.
因?yàn)閝>0，可得q＝2，故bn＝2n－1.
所以，Tn＝＝2n－1.
設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.
由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4.
由b5＝a4＋2a6，可得3a1＋13d＝16，從而a1＝1，d＝1，
故an＝n.
所以，Sn＝.
(2)由(1)，有
T1＋T2＋…＋Tn＝(21＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2.
由Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn可得
＋2n＋1－n－2＝n＋2n＋1，
整理得n2－3n－4＝0，解得n＝－1(舍)，或n＝4.
所以，n的值為4.
探究提高　1.在處理一般數(shù)列求和時(shí)，一定要注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想.把一般的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)行求和.在利用分組求和法求和時(shí)，常常需要對(duì)項(xiàng)數(shù)n進(jìn)行討論，最后再驗(yàn)證是否可以合并為一個(gè)表達(dá)式.
2.分組求和的策略：(1)根據(jù)等差、等比數(shù)列分組；(2)根據(jù)正號(hào)、負(fù)號(hào)分組.
[考法2]　裂項(xiàng)相消法求和
【例1－2】 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn滿足S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*.
(1)求a1的值；
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有＋＋…＋＜.
(1)解　由題意知，S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*.
令n＝1，有S－(12＋1－3)S1－3×(12＋1)＝0，
可得S＋S1－6＝0，解得S1＝－3或2，即a1＝－3或2，
又an為正數(shù)，所以a1＝2.
(2)解　由S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*可得，(Sn＋3)(Sn－n2－n)＝0，則Sn＝n2＋n或Sn＝－3，
又?jǐn)?shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，
所以Sn＝n2＋n，Sn－1＝(n－1)2＋(n－1)，
所以當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n.
又a1＝2＝2×1，所以an＝2n.
(3)證明　當(dāng)n＝1時(shí)，＝＝＜成立；
當(dāng)n≥ 2時(shí)，＝＜＝(－)，
所以＋＋…＋＜＋
[(－)＋…＋(－)]＝＋(－)＜＋＝.
所以對(duì)一切正整數(shù)n，有＋＋…＋＜.
探究提高　(1)解決本題的關(guān)鍵是先放縮后裂項(xiàng)求和，如本題中＜，根據(jù)結(jié)構(gòu)特征合理放縮.
(2)裂項(xiàng)相消法的基本思想是把數(shù)列的通項(xiàng)an分拆成an＝bn＋1－bn等形式，從而達(dá)到在求和時(shí)逐項(xiàng)相消的目的，在解題中要善于根據(jù)這個(gè)基本思想變換數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，使之符合裂項(xiàng)相消法的條件.
[考法3]　錯(cuò)位相減法求和
【例1－3】 (2018·杭州調(diào)研)已知等差數(shù)列{an}滿足：an＋1>an(n∈N*)，a1＝1，該數(shù)列的前三項(xiàng)分別加上1，1，3后成等比數(shù)列，且an＋2log2bn＝－1.
(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和Tn.
解　(1)設(shè)d為等差數(shù)列{an}的公差，且d>0，
由a1＝1，a2＝1＋d，a3＝1＋2d，分別加上1，1，3成等比數(shù)列，
得(2＋d)2＝2(4＋2d)，
因?yàn)閐>0，所以d＝2，所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
又因?yàn)閍n＝－1－2log2bn，
所以log2bn＝－n即bn＝.
(2)由(1)知，an·bn＝(2n－1)·.
Tn＝＋＋＋…＋，①
　 Tn＝＋＋＋…＋，②
①－②，得Tn＝＋2×－
＝＋2×－
＝＋1－－＝－.
所以Tn＝3－.
探究提高　(1)所謂“錯(cuò)位”，就是要找“同類項(xiàng)”相減.要注意的是相減后得到的部分，在求等比數(shù)列的和時(shí)，一定要查清其項(xiàng)數(shù).(2)為保證結(jié)果正確，可對(duì)得到的和取n＝1，2進(jìn)行驗(yàn)證.
【訓(xùn)練1－1】 (2018·北京卷)設(shè){an}是等差數(shù)列，且a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)求ea1＋ea2＋…＋ean.
解　(1)設(shè){an}的公差為d.
因?yàn)閍2＋a3＝5ln 2，
所以2a1＋3d＝5ln 2.
又a1＝ln 2，所以d＝ln 2.
所以an＝a1＋(n－1)d＝nln 2.
(2)因?yàn)閑a1＝eln 2＝2，＝ean－an－1＝eln 2＝2，
所以{ean}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.
所以ea1＋ea2＋…＋ean＝2×＝2n＋1－2.
【訓(xùn)練1－2】 已知{an}為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，{bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.
(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列{a2nbn}的前n項(xiàng)和(n∈N*).
解　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q(q>0)，
由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12，
而b1＝2，所以q2＋q－6＝0，
又因?yàn)閝>0，解得q＝2，所以bn＝2n.
由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8，①
由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16，②
聯(lián)立①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得an＝3n－2.
所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n－2，{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝2n.
(2)設(shè)數(shù)列{a2nbn}的前n項(xiàng)和為Tn，由a2n＝6n－2，bn＝2n，有Tn＝ 4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n－2)×2n，
2Tn＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n－8)×2n＋(6n－2)×2n＋1，
上述兩式相減，得
－Tn＝4×2＋6×22＋6×23＋…＋6×2n－(6n－2)×2n＋1，
＝－4－(6n－2)×2n＋1＝－(3n－4)2n＋2－16.所以Tn＝(3n－4)2n＋2＋16.
所以數(shù)列{a2nbn}的前n項(xiàng)和為(3n－4)2n＋2＋16.
熱點(diǎn)二　數(shù)列的綜合應(yīng)用
【例2】 已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1a2a3…an＝()bn(n∈N*).若{an}為等比數(shù)列，且a1＝2，b3＝6＋b2.
(1)求an與bn；
(2)設(shè)cn＝－(n∈N*).記數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn.
①求Sn；
②求正整數(shù)k，使得對(duì)任意n∈N*均有Sk≥Sn.
解　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由題意a1a2a3…an＝()bn，b3－b2＝6，
知a3＝()b3－b2＝8.
又由a1＝2，得公比q＝2(q＝－2舍去)，
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an＝2n(n∈N*).
所以，a1a2a3…an＝2＝()n(n＋1).
故數(shù)列{bn}的通項(xiàng)為bn＝n(n＋1)(n∈N*).
(2)①由(1)知cn＝－＝－(n∈N*)，
所以Sn＝
－＝－＝－(n∈N*).
②因?yàn)閏1＝0，c2>0，c3>0，c4>0；
當(dāng)n≥5時(shí)，
cn＝，
而－＝>0，
得≤a8
C.S12＝12，a5a8，且a5－1＝－(a8－1)，即a5＋a8＝2，又{an}是等差數(shù)列，
所以S12＝＝＝12.
答案　A
6.各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且3Sn＝anan＋1，則a2k＝(　　)
A. B.
C. D.
解析　當(dāng)n＝1時(shí)，3S1＝a1a2，即3a1＝a1a2，∴a2＝3，
當(dāng)n≥2時(shí)，由3Sn＝anan＋1，可得3Sn－1＝an－1an，兩式相減得：3an＝an(an＋1－an－1).∵an≠0，∴an＋1－an－1＝3，
∴{a2n}為一個(gè)以3為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，∴a2k＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝3n＋×3＝，選B.
答案　B
二、填空題
7.在數(shù)列{an}中， an＝＋＋…＋，若bn＝ ，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn為_(kāi)_______.
解析　an＝＋＋…＋＝＝.
∴bn＝＝＝＝8，
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn
＝8
＝8＝.
答案　
8.(2018·紹興調(diào)研)設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，且4a1，2a2，a3成等差數(shù)列，則公比q＝________；數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝________.
解析　因?yàn)閍1＝1，且4a1，2a2，a3成等差數(shù)列，所以4q＝4＋q2，解得q＝2，所以Sn＝＝2n－1.
答案　2　2n－1
9.(2016·浙江卷)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，則a1＝________，S5＝________.
解析　∵an＋1＝2Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，
∴Sn＋1＝3Sn＋1，∴Sn＋1＋＝3，
∴數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，
∴＝3.又S2＝4，∴S1＝1，∴a1＝1，
∴S5＋＝×34＝×34＝，
∴S5＝121.
答案　1　121
10.(2018·全國(guó)Ⅰ卷)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若Sn＝2an＋1，則S6＝________.
解析　法一　因?yàn)镾n＝2an＋1，所以當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1；
當(dāng)n＝2時(shí)，a1＋a2＝2a2＋1，解得a2＝－2；
當(dāng)n＝3時(shí)，a1＋a2＋a3＝2a3＋1，解得a3＝－4；
當(dāng)n＝4時(shí)，a1＋a2＋a3＋a4＝2a4＋1，解得a4＝－8；
當(dāng)n＝5時(shí)，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2a5＋1，解得a5＝－16；
當(dāng)n＝6時(shí)，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝2a6＋1，解得a6＝－32.
所以S6＝－1－2－4－8－16－32＝－63.
法二　因?yàn)镾n＝2an＋1，所以當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以an＝2an－1，所以數(shù)列{an}是以－1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以an＝－2n－1，所以S6＝＝－63.
答案?。?3
11.(2018·北京昌平區(qū)調(diào)研)已知數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)依次構(gòu)成公差為d1的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)依次構(gòu)成公差為d2的等差數(shù)列(其中d1，d2為整數(shù))，且對(duì)任意n∈N*，都有an2，解得d1>1；又所以解得－1＋d1

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