湖南省部分學(xué)校2023?2024學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

這是一份湖南省部分學(xué)校2023?2024學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考 數(shù)學(xué)試題（含解析），共10頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、單選題（本大題共8小題）
1．若集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知，則的虛部為（ ）
A．2B．4C．-2D．
3．下列結(jié)論正確的是（ ）
A．底面是正方形的棱錐是正四棱錐
B．繞直角三角形的一條邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是圓錐
C．有兩個面是四邊形且相互平行，其余四個面都是等腰梯形的幾何體是四棱臺
D．棱臺的所有側(cè)棱所在直線必交于一點
4．將函數(shù)圖象上所有的點向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（ ）
A．B．
C．D．
5．函數(shù)的零點所在區(qū)間為（ ）
A．B．C．D．
6．一艘輪船從地出發(fā)，先沿東北方向航行15海里后到達(dá)地，然后從地出發(fā)，沿北偏西方向航行10海里后到達(dá)地，則地與地之間的距離是（ ）
A．海里B．海里C．海里D．15海里
7．設(shè)，則（ ）
A．B．
C．D．
8．已知為第一象限角，若函數(shù)的最大值是2，則（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知（，），若，則（ ）
A．B．C．D．
10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A．B．在上單調(diào)遞增
C．D．點是圖象的一個對稱中心
11．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的圖象關(guān)于直線對稱
B．
C．當(dāng)時，的值域是
D．當(dāng)時，
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知向量．若，則 ；若，則 ．
13．已知某圓臺的上、下底面直徑分別為4，10，高為4，則該圓臺的側(cè)面積為 ．
14．已知函數(shù)在0,π內(nèi)恰有兩個不同的零點，則 ， .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知復(fù)數(shù)，．
(1)若是純虛數(shù)，求的值；
(2)若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，求的取值范圍．
16．已知向量，的夾角為，且．
(1)求向量在向量上的投影向量；
(2)若，求的值．
17．在中，．
(1)若為的角平分線，且交于，求的長；
(2)若為的中線，且交于，求的長．
18．如圖，在長方體中，分別在上.已知，.
(1)作出平面截長方體的截面，并寫出作法；
(2)求（1）中所作截面的周長；
(3)長方體被平面截成兩部分，求體積較小部分的幾何體的體積.
19．如圖，在平面四邊形中，，，，．
(1)若為銳角，且，求的面積；
(2)求四邊形面積的最大值；
(3)當(dāng)時，在四邊形所在平面內(nèi)，求的最小值．
參考答案
1．【答案】B
【詳解】由題意得，，
則.
故選：B.
2．【答案】A
【詳解】因為，所以
則z的虛部為2.
故選：A
3．【答案】D
【分析】根據(jù)正四棱錐的定義即可判斷A；舉反例即可判斷BC；根據(jù)棱臺特點即可判斷D.
【詳解】對于A：底面是正方形的棱錐且頂點在底面的射影為底面中心才是正四棱錐，故A錯誤；
對于B：以直角三角形斜邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸時，所形成的幾何體是兩個同底的圓錐，故B錯誤；
對于C：如圖的幾何體滿足條件，但側(cè)棱延長線不能相交于一點，不是棱臺，故C錯誤；

對于D，由棱臺結(jié)構(gòu)特征知側(cè)棱延長后必交于一點，故D正確.
故選D.
4．【答案】A
【詳解】圖象上所有的點向右平移個單位長度，得到函數(shù).
故選：A
5．【答案】C
【詳解】對于，則fx為上的增函數(shù)，
而，，，，，由于，
根據(jù)零點存在性定理，知道函數(shù)的零點所在區(qū)間為.
故選：C.
6．【答案】A
【詳解】在中，由題意可知海里，海里，.

由余弦定理可得，
則海里.
故選：A.
7．【答案】D
【詳解】因為函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以，即.
又因為函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，所以，所以.
故選：D.
8．【答案】A
【詳解】由題意可得，
，
則，解得，又為第一象限角，，
所以
.
故選：A.
9．【答案】BCD
【詳解】依題意可得，則，解得，則，
所以，故A錯誤；
，故B正確；
，故C正確；
，故D正確．
故選：BCD
10．【答案】ABD
【詳解】解：由圖象知：，
函數(shù)的最小正周期為，
，則，故A正確，
即，
又，得，
由，可知，故C錯誤，
從而，
，
點是圖象的一個對稱中心，故D正確，
，
，
故在上單調(diào)遞增，故B正確；
故選：ABD．
11．【答案】ABD
【詳解】因為，則關(guān)于直線對稱，
則，因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，
則，則，則B正確，
則
則的圖象關(guān)于直線對稱，故A正確；
對C，因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則當(dāng)時，的值域與時值域相同，
當(dāng)時，，顯然其為增函數(shù)，則的值域為，即，故C錯誤；
對D，當(dāng)時，，則，
當(dāng)時，，根據(jù)的周期為4，
則，故D正確；
故選：ABD.
12．【答案】
【詳解】由于，則時，，解得；
則時，，解得.
故答案為： ；.
13．【答案】
【詳解】如圖，圓臺的上、下底面直徑分別為4，10，高為4，則.
則，根據(jù)側(cè)面積公式，知道圓臺側(cè)面積為．
故答案為：．
14．【答案】 /
【詳解】由題意可得.
令，得，
則或，
解得或.
由，得或，所以.
不妨取，
則.
15．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由實部為且虛部不為列式求解；
（2）由實部小于0與虛部大于得到不等式組，求出的取值范圍．
【詳解】（1）是純虛數(shù)，
故，解得.
（2），
因為在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，
所以，解得，
故的取值范圍為.
16．【答案】(1)；
(2)或3.
【詳解】（1）由向量，的夾角為，且，得，
所以向量在向量上的投影向量為.
（2）由（1）知，，由，得，即，
整理得，解得或，
所以的值是或3.
17．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由，
則
得，即的長為.
（2）由為的中線，則，
得，
故，即的長為.
18．【答案】(1)答案見解析
(2)
(3)
【詳解】（1）如圖所示，五邊形為所求截面.
作法如下：
延長，與的延長線交于點，
連接并延長，分別交于，交的延長線于，
連接，交于點，連接，則五邊形為所求截面.
（2）因為，所以，則，
由，可得，
得，則，
.
由，得，由，得，
則
.
故截面的周長為.
（3），
故所求體積為.
19．【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）連接.
在中，由余弦定理可得，即.
在中，由余弦定理可得，即，
則，即.
因為為銳角，且，所以，所以，則，
故的面積為.
（2）四邊形的面積，
則.①
由（1）可知，則.②
聯(lián)立①②，解得，則，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，
所以四邊形面積的最大值為.
（3）將繞點旋轉(zhuǎn)，使得，分別與，重合，連接，，
則，，，.
因為，所以，
所以，則.
由圖可知，
當(dāng)且僅當(dāng)，，，四點共線時，等號成立，
故的最小值是.