2024湖南省部分學(xué)校高二下學(xué)期7月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析

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本試卷共4頁.全卷滿分150分，考試時間120分鐘.
注意事項：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在本試卷和答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)的答案標(biāo)號涂黑，如有改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 設(shè)全集，集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)并集和補(bǔ)集的定義直接計算即可.
【詳解】由題意得，所以， .
故選：A
2. 已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解即可.
【詳解】由，
得.
故選：D.
3. 已知M，N是圓O上的兩點(diǎn)，若，則（ ）
A. 3B. C. 9D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用圓的中點(diǎn)弦的性質(zhì)，再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可.
【詳解】設(shè)為的中點(diǎn)，連接，如圖，
則，
所以.
故選：B
4. 已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則（ ）
A. B.
C. D. 的最小正周期為
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)圖象過判斷A，由圖象求出周期得出判斷BD，求出函數(shù)解析式判斷C.
【詳解】由圖象可知，，故A錯誤；
由圖象知，，所以，，故BD錯誤；
因?yàn)閳D象過點(diǎn)，且在減區(qū)間上，
所以，即，，
解得，又，所以，即，
又圖象過點(diǎn)，所以，即，所以，
所以，故C正確.
故選：C
5. 已知雙曲線E：（）的右焦點(diǎn)F到其一條漸近線的距離為1，則E的離心率為（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接代入點(diǎn)到直線距離公式求出，再求離心率.
【詳解】由題意可知，雙曲線焦點(diǎn)在軸，，右焦點(diǎn)到漸近線的距離，
所以，，.
故選：A
6. 在的展開式中，的系數(shù)是（ ）
A. B. 5C. D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】由組合知識可得展開式中與項的系數(shù)，再由多項式乘法公式即可得解.
【詳解】由多選式乘法知，只需求出展開式中與項的系數(shù)，即可得解，
由組合知識可知，的系數(shù)為，項的系數(shù)為，
故在的展開式中，的系數(shù)是.
故選：A
7. 從裝有3個白球、5個紅球的箱子中無放回地隨機(jī)取兩次，每次取一個球，A表示事件“兩次取出的球顏色相同”，B表示事件“兩次取出的球中至少有1個是紅球”，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出和，再利用條件概率的公式求解.
【詳解】由于我們不考慮兩次取球的順序，故可以視為從該箱子中一次性隨機(jī)取出兩個球.
從而，，
故.
故選：D
8. 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋覞M足，，，，都有，若，，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由條件通過賦值可以計算出函數(shù)的周期，再把自變量通過函數(shù)的周期性變到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，再根據(jù)單調(diào)性比較大小.
【詳解】由，可得，即，
再令得：，所以，即函數(shù)是以為周期的函數(shù)，所以，，
由可得關(guān)于對稱，又因?yàn)椋瑔握{(diào)遞增，所以當(dāng)，單調(diào)遞減，
因?yàn)?，所以，?
故選：C
二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯得0分.
9. 下列說法正確的是（ ）
A. 數(shù)據(jù)2，7，4，5，16，1，21，11的中位數(shù)為5
B. 當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)事件A與B相互獨(dú)立時，有
C. 若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，若，則
D. 已知一系列樣本點(diǎn)（，2，3，…，n）的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，若樣本點(diǎn)與的殘差相等，則
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)中位數(shù)概念判斷A，根據(jù)條件概率公式及相互獨(dú)立事件判斷B，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性判斷C，根據(jù)殘差概念判斷D.
【詳解】對A，數(shù)據(jù)由小到大排列為，其中位數(shù)為，故A錯誤；
對B，當(dāng)時，，即，所以事件A與B相互獨(dú)立，故B正確；
對C，隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，所以，由正態(tài)分布的對稱性知，，故C正確；
對D，由可知，與的殘差分別為，，
所以由可得，故D錯誤.
故選：BC
10. 已知拋物線，直線過的焦點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)，則（ ）
A. 的準(zhǔn)線方程為
B. 線段的長度的最小值為4
C. 存在唯一直線，使得為線段的中點(diǎn)
D. 以線段為直徑的圓與的準(zhǔn)線相切
【答案】BCD
【解析】
【分析】由拋物線方程就可求出準(zhǔn)線方程，即可判斷A；設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，進(jìn)而可求出，再逐一判斷BCD即可.
【詳解】對于A，拋物線的準(zhǔn)線方程為，故A錯誤；
對于B，，
由題意可得直線的斜率不等于零，設(shè)方程為，，
聯(lián)立，消得，，
則，所以，
所以，時取等號，
所以線段的長度的最小值為4，故B正確；
對于C，由B選項得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，
則，解得，
所以存在唯一直線，使得為線段的中點(diǎn)，故C正確；
對于D，由C選項知線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
則中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，
所以以線段為直徑圓與的準(zhǔn)線相切，故D正確.
故選：BCD.
11. 已知圓柱的高為，線段與分別為圓與圓的直徑，則（ ）
A. 若為圓上的動點(diǎn)，，則直線與所成角為定值
B. 若為等邊三角形，則四面體的體積為
C. 若，且，則
D. 若，且與所成的角為，則四面體外接球的表面積為或
【答案】ACD
【解析】
【分析】對于A，如圖①所示，為直角三角形，則與所成角即為與所成角，即為定值即可；對于B，如圖②所示，根據(jù)為等邊三角形，證明平面，則計算即可；對于CD，建立空間直角坐標(biāo)系，通過坐標(biāo)運(yùn)算及四面體外接球即為圓柱外接球計算即可.
【詳解】對于A，如圖①所示，
當(dāng)時，則,
又因?yàn)椋?br>所以為直角三角形，
且（圓半徑），
故與所成角即與所成角，
即為定值，故A正確；
對于B，如圖②所示，
當(dāng)為等邊三角形時，即，
因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，
所以,，
又因?yàn)?，且平?平面,
所以平面.
又因?yàn)?，即，故?br>所以,
故B錯誤；
對于C，如圖③所示，分別以軸，過垂直于為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)?即，由B選項可知，
則，
所以,
所以，
所以，故C正確；
對于D，如圖③所示，分別以為軸，過垂直于為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以,
因?yàn)榕c所成角位，
所以，
解得或.
設(shè)四面體外接圓半徑為，
當(dāng)時，則，故外接球表面積為；
當(dāng)時，則，故外接球表面積為；
故D正確.
故選：ACD.

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查立體幾何證明線面垂直、多面體體積、建立空間直角坐標(biāo)系向量運(yùn)算及多面體的外接球，解題關(guān)鍵在于借助空間向量可以化繁為簡，充分體現(xiàn)了空間向量的工具作用.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知平面向量，，若，則____________.
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)向量垂直得坐標(biāo)公式求出，再根據(jù)向量的模的坐標(biāo)公式即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，解得，
故，
所以.
故答案為：.
13. 3月19日，習(xí)總書記在湖南省常德市考察調(diào)研期間來到河街，了解歷史文化街區(qū)修復(fù)利用等情況，這片歷史文化街區(qū)匯聚了常德高腔、常德絲弦、桃源刺繡、安鄉(xiāng)木雕、澧水船工號子等品類繁多的非遺項目.現(xiàn)為了更好的宣傳河街文化，某部門召集了200名志愿者，根據(jù)報名情況得到如下表格：
若從這200名志愿者中按照比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取20人進(jìn)行培訓(xùn)，再從這20人中隨機(jī)選取3人聘為宣傳大使，記X為這3人中來自澧水船工號子的人數(shù)，則X的數(shù)學(xué)期望為____________.
【答案】##
【解析】
【分析】首先計算出樣本中澧水船工號子的人數(shù)，再判斷服從超幾何分布，根據(jù)超幾何分布的概率公式求出概率分布，再求期望.
【詳解】由題意得樣本中澧水船工號子的人數(shù)為，所以可取，并且服從超幾何分布，
，，，
所以.
故答案為：
14. 已知函數(shù)，且時，，則的取值范圍為____________.
【答案】
【解析】
【分析】作出函數(shù)的圖象，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖所示，
因?yàn)闀r，，
由圖可知，，
則，
即，所以，所以，
由函數(shù)關(guān)于對稱，可得，
所以，
因?yàn)?，所以?br>即的取值范圍為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：作出函數(shù)的圖象，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出，是解決本題的關(guān)鍵.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 的內(nèi)角的對邊分別為，且．
（1）求角的大小：
（2）若，的面積為，求的周長.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再結(jié)合二倍角的正弦公式即可得解.
（2）利用三角形面積公式與余弦定理依次求得，從而得解.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>由正弦定理可得，
又，所以，
又，所以；
【小問2詳解】
由，得，
由余弦定理得，
又因?yàn)椋?br>所以，
所以，所以，
所以的周長為.
16. 已知橢圓過點(diǎn)，且離心率為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線過點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)，當(dāng)最大時，求直線的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意求出即可得解；
（2）分直線斜率是否存在兩種情況討論，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)方程為，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，再根據(jù)弦長公式即可得解.
【小問1詳解】
由題意得，解得，
所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為；
【小問2詳解】
當(dāng)直線的斜率不存在時，方程為，
此時，
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)方程為，
聯(lián)立，消得，
恒成立，故，
則，
所以
，
令，則，
所以
，
當(dāng)，即時，取得最大值，此時，
綜上所述，當(dāng)最大時，求直線的方程為.
17. 如圖，四棱錐中，平面，，，．
（1）證明：；
（2）求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先證明，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明，再根據(jù)線面垂直的判定定理即可得證；
（2）設(shè)，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>所以，所以，
所以，
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以；
【小問2詳解】
設(shè)，
如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
由（1）得，，，
故，
則，
故，
設(shè)平面的法向量為，
則有，可取，
因?yàn)槠矫妫?br>所以即為平面的一條法向量，
故，
即平面與平面夾角的余弦值為.
18. 已知正項數(shù)列的前n項和為，且.
（1）求，的值及數(shù)列的通項公式；
（2）求數(shù)列的最大項；
（3）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前30項和（，）.
【答案】（1）,,
（2）3 （3）
【解析】
【分析】（1）令求出，寫出當(dāng)時，，再由兩式相減可得遞推關(guān)系判斷數(shù)列為等差數(shù)列即可；
（2）根據(jù)等差數(shù)列的求和公式化簡后配方，利用二次函數(shù)求最大值即可；
（3）分奇偶兩組求和，分別利用裂項相消法及錯位相減法求和，即可得解.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時，解得，
當(dāng)時，由，解得，
當(dāng)時，，
則，
化簡得，而，所以，
所以數(shù)列為等差數(shù)列，所以.
【小問2詳解】
由（1）知，，則，
所以，
因?yàn)?，?dāng)或時，取最大值，
所以數(shù)列的最大項為第項或第項，其值為.
【小問3詳解】
由題可知，當(dāng)時，
，
所以，
當(dāng)時，，
所以，
，
相減得，，
所以，
所以
19. 已知函數(shù)，（）.
（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）若對任意恒成立，求整數(shù)a的最小值.
【答案】（1）
（2）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
（3）1
【解析】
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率即可得解；
（2）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再利用求導(dǎo)數(shù)判斷導(dǎo)函數(shù)符號，即可得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）原不等式恒成立轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為對任意恒成立，分離參數(shù)后得，由導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，
所以，
所以切線方程為，即.
【小問2詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
設(shè)，
則，
又因?yàn)?，所以，即單調(diào)遞增，
又因?yàn)?，所以時，，即；
時，，即，
綜上可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
【小問3詳解】
因?yàn)閷θ我夂愠桑?br>即，，
即，
即，
設(shè)，則，
易知單調(diào)遞增，所以，
所以單調(diào)遞增，則原不等式等價于，
即 對任意恒成立，
所以，令，則，
又因?yàn)椋?br>令，則，所以單調(diào)遞減;
又因?yàn)?，?br>所以，
所以時，，即，單調(diào)遞增；
時，，即，單調(diào)遞減；
所以，
所以，而，
所以整數(shù)的最小值為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問關(guān)鍵點(diǎn)之一在于對原不等式進(jìn)行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，第二關(guān)鍵點(diǎn)在于結(jié)合構(gòu)造函數(shù)再對不等式變形后構(gòu)造出恰當(dāng)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，再次轉(zhuǎn)化恒成立結(jié)論，第三關(guān)鍵點(diǎn)在于會找函數(shù)的隱零點(diǎn)，得到，難度較大.
項目
常德高腔
常德絲弦
桃源刺繡
安鄉(xiāng)木雕
澧水船工號子
志愿者人數(shù)
30
60
50
40
20