第Ⅰ卷（選擇題 共58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分，在每小題給出的四個選項中只有一項符合題目要求.
1. 已知函數(shù)在處可導，且，則（ ）
A. B. 9C. D. 1
【答案】B
【解析】.
故選：B
2. 下列求導運算錯誤的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】對于A選項，，A對；
對于B選項，，B對；
對于C選項，，C對；
對于D選項，，D錯.
故選：D.
3. 設(shè)公比不為的等比數(shù)列的前項和為，且恰為和的等差中項，則（ ）
A. 4B. 5C. 16D. 17
【答案】B
【解析】因為恰為和的等差中項，即，
又等比數(shù)列，設(shè)公比為時，所以，
，可得，
所以.
故選：B
4. “點在圓外”是“直線與圓相交”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】由題意可知，圓的圓心為原點，半徑為，
若點在圓外，則，
則圓心到直線的距離為，
此時，直線與圓相交，
即“點圓外”“直線與圓相交”；
若直線與圓相交，則，可得，
不妨取，，則，此時，點在圓內(nèi)，
所以，“點在圓外”“直線與圓相交”.
因此，“點在圓外”是“直線與圓相交”的充分不必要條件.
故選：A.
5. 在數(shù)列中，，，記為數(shù)列的前項和，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在數(shù)列中，，，則，
可得，
，可得，，可得，
，可得，，可得，
，可得，，可得，
，可得，，可得，
因此，.
故選：A.
6. 已知上的可導函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由圖象知的解集為，的解集為，
或，
所以或，解集即為．
故選：C
7. 記等差數(shù)列的前項和為，公差為，若，，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】對于B，，所以，故B正確；
對于A、C，因為，即，，
所以，，則，故A、C正確；
對于D，因為，
，所以，故D錯誤.
故選：D
8. 若函數(shù)，且，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題意可知函數(shù)的定義域為，
又，，
恒成立，即恒成立，即，
令，，
令，，
在上單調(diào)遞增，且，當時，，
存在使得，即，即，
當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，
，
又，，，
，，
，
，，
又，當且僅當時等號成立，
，，，
實數(shù)的取值范圍是.
故選：C.
二、選擇題：本題共3個小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分．
9. 設(shè)函數(shù)，則（ ）
A. 有3個零點
B. 的極大值為4
C. 當時，
D. 的圖象關(guān)于點中心對稱
【答案】BCD
【解析】對于A，令，可得或，
所以有兩個零點，故A錯誤；
對于B，，
令，可得，
當時，，在單調(diào)遞減；當或時，，在和單調(diào)遞增，
所以極大值為，故B正確；
對于C，當時，，由B可得，故C正確；
對于D，，
所以的圖象關(guān)于點中心對稱，故D正確.
故選：BCD.
10. 已知數(shù)列的前項和為，下列說法正確的是（ ）
A. 若，則、、成等比數(shù)列
B. 若為等差數(shù)列，則為等差數(shù)列
C. 若為等比數(shù)列，則為等差數(shù)列
D. 若，，，則為等比數(shù)列
【答案】BD
【解析】對于A，當時有，此時、、不成等比數(shù)列，A錯；
對于B，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，
所以，，則，
因此，若為等差數(shù)列，則為等差數(shù)列，B對；
對于C，若為等比數(shù)列，取，則當為正奇數(shù)時，無意義，C錯；
對于D，因為，所以，
而，，，，
因此數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，D對
故選：BD.
11. 已知為坐標原點，拋物線：的焦點為，拋物線的準線為，點在拋物線上，直線過點且與交于，兩點，則（ ）
A. 若點的坐標為，則的最小值為3
B. 以線段為直徑的圓與直線相離
C. 點到直線的最小距離為
D. 可能為鈍角三角形
【答案】AB
【解析】對于A，作于，由拋物線的定義可得，
當三點共線時取等號，故A正確；
對于B，設(shè)，直線的方程為，
聯(lián)立，消去可得，，
，
設(shè)線段的中點為，則，
，
到準線的距離為，
則，
設(shè)，則，
所以，所以以線段為直徑的圓與直線相離，故B正確；
對于C，設(shè)，由點到直線的距離公式可得，
當時，距離的最小值為，故C錯誤；
對于D，設(shè)，則，
由B可得，
所以，故D錯誤.
故選：AB
第Ⅱ卷（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知，則______．
【答案】
【解析】，
所以，
所以，
所以，所以.
故答案為：.
13. 已知各項均不為零的數(shù)列，其前項和是，且．若為遞增數(shù)列，，則的取值范圍是______．
【答案】
【解析】由題意可知，，且對任意的，，
當時，則有，即，解得，
當且時，由可得，
這兩個等式作差可得，可得，
所以，數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成以為公差的等差數(shù)列，且，
因為數(shù)列為遞增數(shù)列，只需即可，即，解得.
因此，實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
14. 過點作曲線：的兩條切線，切點分別為，，則直線的方程為______．
【答案】
【解析】設(shè)，
由題意可得切線的斜率，
所以切線方程為，
代入點可得
因為切點在曲線上，所以，代入上式可得，
，化簡可得，
又，所以，
同理
所以直線方程為.
故答案為：
四、解答題：本大題共5個小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．
15. 已知函數(shù)，．
（1）當時，求的最小值；
（2）若，試討論的單調(diào)性．
解：（1）因，所以，
所以函數(shù)的定義域為，
，
令，解得；令，解得；
所以函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
所以的最小值為.
（2）函數(shù)的定義域為，
,
當時，由解得或，
由解得；
當時，恒成立；
當時，由解得或，
由，
解得；
綜上可得，
當時，函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；
當時函數(shù)在單調(diào)遞增，；
當時，函數(shù)單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.
16. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）如果函數(shù)的導數(shù)為，且在上的零點從小到大排列后構(gòu)成數(shù)列，求的前20項和．
解：（1）
，
令，可得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2），則，
令，可得，
因為在上的零點從小到大排列后構(gòu)成數(shù)列，可知，
所以，公差，所以，
所以的前20項和
17. 如圖，在正四棱錐中，，為側(cè)棱SD的中點．
（1）求證：；
（2）求點到平面PAC距離；
（3）求平面SBC與平面PAC夾角的余弦值．
解：（1）連接交于點，連接,
因為是正四棱錐，所以平面，
且平面，所以,
又因為為正方形，所以,
所以以方向為軸建立如圖所示空間指標坐標系，
因為，所以,,
所以,,
所以,
所以，
，所以.
（2）設(shè)平面的一個法向量為，
,
所以，即，
令，可得，
所以點到平面PAC的距離為.
（3）設(shè)平面的一個法向量為，
,
所以，即，令，可得，
設(shè)平面SBC與平面PAC夾角為，則由圖可知為銳角，
所以即為所求.
18. 已知函數(shù)．
（1）若方程有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍；
（2）是否存在過原點的曲線的切線？若存在，求出切線方程；若不存在，說明理由；
（3）求證：當時，對恒成立．
解：（1）函數(shù)的定義域為，，
由可得，由可得，
所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，
且當時，，當時，，
函數(shù)的極大值為，如下圖所示：
由圖可知，當時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，
此時，方程有兩個不同的實數(shù)根，
因此，實數(shù)的取值范圍是.
（2）不存在，理由如下：
假設(shè)曲線存在過原點的切線，且切點坐標為，
由，則該切線斜率為，
即該切線方程為，
即有，整理得，
，該方程無解，
故不存在過原點的曲線的切線.
（3）先證明對任意的，，即證，
因為，即證，
構(gòu)造函數(shù)，其中，
則，當時，；當時，.
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，當時，，即，即，
因為，故對任意的，，即恒成立.
19. 已知數(shù)列滿足，，．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）令，求數(shù)列的前項和；
（3）令，記數(shù)列的前項和中所有奇數(shù)項的和為，求證：．
解：（1）數(shù)列滿足，，，
，
令，則，，
所以，即，
又，
所以.
（2），
，①
，②
①減②得：
，
所以
（3），
，
，
下面證明，
設(shè)，
則，當時，，在上單調(diào)遞增，
所以，
則，
即，
所以
所以.

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