安徽省A10聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月階段考試數(shù)學(xué)（人教A版）D卷試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．滿分 150 分，考試時間 120 分鐘．請
在答題卡上作答．
第Ⅰ卷（選擇題共 58 分）
一、選擇題：本題共 8 小題，每小題滿分 5 分，共 40 分，在每小題給出的四個選項中只有一
項符合題目要求．
1. （）
A. 14 B. 16 C. 18 D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合排列數(shù)和組合數(shù)的公式，準(zhǔn)確計算，即可求解.
【詳解】由排列數(shù)和組合數(shù)的公式，可得 .
故選：C.
2. 若橢圓 C：的焦點和頂點分別是雙曲線 E 的頂點和焦點，則雙曲線 E 的標(biāo)準(zhǔn)方程為（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由橢圓的方程先求出雙曲線的焦點和頂點坐標(biāo)，再結(jié)合即可求解.
【詳解】由橢圓可得，，，且焦點在 y 軸上，
可知橢圓的長軸頂點為，焦點為，
所以雙曲線的焦點為，頂點為，
設(shè)雙曲線方程為，可得，，則，
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所以雙曲線的方程為 .
故選：A.
3. 已知隨機變量，且，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)直接求解即可.
【詳解】由，得，
故．
故選：B
4. “點在圓外”是“直線與圓相交”的（）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】利用點與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.
【詳解】由題意可知，圓的圓心為原點，半徑為，
若點在圓外，則，
則圓心到直線的距離為，此時，直線與圓相交，
即“點在圓外” “直線與圓相交”；
若直線與圓相交，則，可得，
不妨取，，則，此時，點在圓內(nèi)，
所以，“點在圓外” “直線與圓相交”.
因此，“點在圓外”是“直線與圓相交”的充分不必要條件.
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故選：A.
5. 編號為 1，2，3，4，5，6，7 的七盞路燈，晚上用時只亮三盞燈，若任意兩盞亮燈不相鄰，則不同的開
燈方案有（）
A. 10 種 B. 12 種 C. 15 種 D. 18 種
【答案】A
【解析】
【分析】在四盞熄滅的燈中，使用插空法即可求解；
【詳解】四盞熄滅的燈產(chǎn)生的 5 個空中放入 3 盛亮燈，即不同的開燈方案有（種）
故選：A
6. 已知點的坐標(biāo)為，動點滿足，為坐標(biāo)原點，則的最大值為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出點的軌跡為以點為圓心，為半徑的圓，從而的最大值為，得到答
案.
【詳解】點的坐標(biāo)為，動點滿足，
故點的軌跡為以點為圓心，為半徑的圓，
圓的方程為，
圓心與原點的距離為，
則的最大值為 .
故選：B
7. 已知是橢圓上兩點，分別為的左、右焦點，
，則的離心率為（）
A. B. C. D.
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【答案】D
【解析】
【分析】由已知，可得，點共線，設(shè) ，可得，由
的周長為，可得，在中，利用勾股定理有，化簡整
理，即可求出離心率.
【詳解】由可知，
，由得，點共線.
又，設(shè) ，
連接，則，
由橢圓的定義可知的周長為，
則，解得，
所以，再根據(jù)橢圓的定義可知，，
則在中，，即，
解得 .
故選：D.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：由，設(shè) ，得到，由的
周長為，可得，再在中，利用勾股定理即可.
8. 有甲、乙兩個不透明的袋子，甲袋子里有 1 個白球，乙袋子里有 5 個白球和 5 個黑球，現(xiàn)從乙袋子里隨
機取出個球放入甲袋子里，再從甲袋子里隨機取出一個球，記取到的白球的個數(shù)為
，則當(dāng) 變大時（）
A. 變小 B. 先變小再變大
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C. 變大 D. 先變大再變小
【答案】A
【解析】
【分析】運用超幾何分布與兩點分布，求解離散隨機變量的期望，然后判斷選項.
【詳解】由題意可知，從乙盒子里隨機取出個球，其中白球的個數(shù) 服從超幾何分
布，則．故從甲盒子里隨機取一球，相當(dāng)于從含有個白球的個球中取一球，
取到白球的個數(shù)為，
易知隨機變量服從兩點分布，故，
所以，隨著的增加，減小.
故選：A
二、選擇題：本題共 3 個小題，每小題 6 分，共 18 分．在每小題給出的選項中，有多項符合
題目要求．全部選對的得 6 分，有選錯的得 0 分，部分選對的得部分分．
9. 已知的展開式中第 4 項與第 5 項的二項式系數(shù)相等，則（）
A. B. 所有項的系數(shù)和為 1
C. 沒有常數(shù)項 D. 的系數(shù)為 14
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)二項式系數(shù)計算判斷 A，賦值法判斷 B，根據(jù)通項公式判斷 CD.
【詳解】因為第 4 項與第 5 項的二項式系數(shù)相等，所以，解得，故 A 錯誤;
令，可得展開式中所有項的系數(shù)和為，故 B 正確;
在中，第項，
取，即，所以不存在常數(shù)項，故 C 正確;
取，即，所以，所以的系數(shù)為 14，故 D 正確.
故選：BCD
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10. 如圖，某電子實驗貓線路圖上有 A，B 兩個紅綠指示燈，當(dāng)遇到紅燈時，實驗貓停止前行，恢復(fù)綠燈后，
繼續(xù)前行，A，B 兩個指示燈工作相互獨立，且出現(xiàn)紅燈的概率分別為，．同學(xué)甲從第一次
實驗到第五次實驗中，實驗貓在 A 處遇到紅燈的次數(shù)為 X．同一次試驗中在 A，B 兩處遇到紅燈的次數(shù)之和
為 Y，則（）
A.
B. 一次實驗中，A，B 兩處至少遇到一次紅燈的概率為
C.
D. 當(dāng) 時，
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)二項分布的概率公式和方差公式計算可判斷選項 A、C；利用相互獨立事件的概率公式和對立
事件的概率公式可判斷選項 B；應(yīng)用數(shù)學(xué)期望公式可判斷選項 D.
【詳解】由題意可知：，
所以 ,
，故選項 A、C 錯誤.
對于選項 B：因為 A，B 兩個指示燈工作相互獨立，
所以在一次實驗中 A，B 兩處都不遇到一次紅燈的概率為 .
根據(jù)對立事件的概率公式可得：
一次實驗中，A，B 兩處至少遇到一次紅燈的概率為，故選項 B 正確.
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對于選項 D：根據(jù)題意可知：Y 的所有可能取值有：，， .
當(dāng) 時， ,
,
.
所以，故選項 D 正確.
故選：BD.
11. 已知為坐標(biāo)原點，拋物線：的焦點為，拋物線的準(zhǔn)線為，點在拋物線上，直線
過點且與交于，兩點，則（）
A. 若點的坐標(biāo)為，則的最小值為 3
B. 以線段為直徑的圓與直線相離
C. 點到直線的最小距離為
D. 可能為鈍角三角形
【答案】AB
【解析】
【分析】由拋物線的定義可得 A 正確；設(shè) ，直線的方程為，聯(lián)立曲線
方程，然后用韋達定理求出弦長，再利用換元法求出中點到準(zhǔn)線的距離可得 B 正確；由點到直線的距
離公式結(jié)合二次函數(shù)可得 C 錯誤；由向量垂直的坐標(biāo)表示結(jié)合韋達定理可得 D 錯誤.
【詳解】對于 A，作于，由拋物線的定義可得，
當(dāng) 三點共線時取等號，故 A 正確；
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對于 B，設(shè) ，直線的方程為，
聯(lián)立，消去可得，，
，
設(shè)線段的中點為，則，
，
到準(zhǔn)線的距離為，
則，
設(shè) ，則，
所以，所以以線段為直徑的圓與直線相離，故 B 正確；
對于 C，設(shè) ，由點到直線的距離公式可得，
當(dāng) 時，距離的最小值為，故 C 錯誤；
對于 D，設(shè) ，則，
由 B 可得，
所以，故 D 錯誤.
故選：AB
第Ⅱ卷（非選擇題共 92 分）
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分．
12. 已知，設(shè)直線，，若，則 ______．
【答案】
【解析】
【分析】由兩直平行得到，求解并驗證即可；
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【詳解】因為直線，，，
所以，即，
當(dāng) 時，直線重合，舍去，
當(dāng) 時，符合題意；
故；
故答案為：
13. 已知點在拋物線上，且到的焦點的距離為，則實數(shù)
__________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】由拋物線定義求出，得到拋物線方程，再將點代入，即可求得 .
【詳解】由拋物線的定義可知，，
解得，所以，
將點代入得，，又 ,所以 .
故答案為： .
14. 如圖是一塊高爾頓板的示意圖.在一塊木板上釘著 10 排相互平行但錯開的小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)
的空隙作為通道，前面擋有一塊玻璃.將小球從頂端放入，小球下落過程中，假定其每次碰到小木釘后，向
左下落的概率為，向右下落的概率為，最后落入底部的格子中.格子從左到右分別編號為 0，1，2，…，
10，則小球落入_________號格子的概率最大.
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【答案】
【解析】
【分析】利用次獨立重復(fù)試驗中，小球掉入號格子的概率為，設(shè)小球
掉入號格子的概率最大，則，再利用組合數(shù)公式，結(jié)合題目已知條
件即可求解.
【詳解】小球下落需要 10 次碰撞，每次向左落下的概率為，向右下落的概率為，
小球掉入 0 號格子，需要向左 10 次，則概率為；
小球掉入 1 號格子，需要向左 9 次，向右 1 次，則概率為；
小球掉入 2 號格子，需要向左 8 次，向右 2 次，則概率為；
小球掉入 3 號格子，需要向左 7 次，向右 3 次，則概率為；
依此類推，小球掉入號格子，需要向左次，向右次，概率為，
設(shè)小球掉入號格子的概率最大，顯然，
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則，即，
即
解得，
又為整數(shù)，
，
則小球落入 8 號格子的概率最大.
故答案為： .
四、解答題：本大題共 5 個小題，共 77 分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步
驟．
15 一場小型晚會有個唱歌節(jié)目和個相聲節(jié)目，要求排出一個節(jié)目單．
（1）個相聲節(jié)目要排在一起，有多少種排法？
（2）個相聲節(jié)目彼此要隔開，有多少種排法？
（3）第一個節(jié)目和最后一個節(jié)目都是唱歌節(jié)目，有多少種排法？
（4）前個節(jié)目中要有相聲節(jié)目，有多少種排法？
（要求：每小題都要有過程，且計算結(jié)果都用數(shù)字表示）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4） .
【解析】
【分析】（1）將個相聲節(jié)目進行捆綁，與其它個節(jié)目形成個元素，利用捆綁法可求得排法種數(shù)；
（2）將個相聲節(jié)目插入其它個節(jié)目所形成的空中，利用插空法可求得排法種數(shù)；
（3）第一個節(jié)目和最后一個節(jié)目都是唱歌節(jié)目，則個節(jié)目排在中間，利用分步乘法計數(shù)原理可求得排法
種數(shù)；
（4）在個節(jié)目進行全排的排法種數(shù)中減去前個節(jié)目中沒有相聲節(jié)目的排法種數(shù)，由此可求得結(jié)果.
【詳解】（1）將個相聲節(jié)目進行捆綁，與其它個節(jié)目形成個元素，然后進行全排，
所以，排法種數(shù)為種；
第 11頁/共 18頁
（2）將個相聲節(jié)目插入其它個節(jié)目所形成的個空中，則排法種數(shù)為種；
（3）第一個節(jié)目和最后一個節(jié)目都是唱歌節(jié)目，則其它個節(jié)目排在中間，進行全排，
由分步乘法計數(shù)原理可知，排法種數(shù)為種；
（4）在個節(jié)目進行全排排法種數(shù)中減去前個節(jié)目中沒有相聲節(jié)目的排法種數(shù)，
可得出前個節(jié)目中要有相聲節(jié)目的排法種數(shù)為 .
【點睛】本題考查排列組合綜合問題，考查捆綁法、插空法、分步乘法計數(shù)原理以及間接法的應(yīng)用，考查
計算能力，屬于中等題.
16. 某校體育節(jié)組織比賽，需要志愿者參加服務(wù)的項目有：60 米袋鼠跳、100 米、200 米、1500 米、3000
米、4×100 米接力．
（1）志愿者小明同學(xué)可以在 6 個項目中選擇 3 個項目參加服務(wù)，求小明在選擇 60 米袋鼠跳服務(wù)的條件下，
選擇 3000 米服務(wù)的概率；
（2）為了調(diào)查志愿者選擇服務(wù)項目情況，從志愿者中抽取了 15 名同學(xué)，其中有 9 名首選 100 米，6 名首
選 4×100 米接力．現(xiàn)從這 15 名同學(xué)中再選 3 名同學(xué)做進一步調(diào)查．將其中首選 4×100 米接力的人數(shù)記作 X
，求隨機變量 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1）；
（2）分布列見詳解， .
【解析】
【分析】（1）小明選擇 60 米袋鼠跳服務(wù)為事件，小明選擇 3000 米服務(wù)為事件，利用組合知識和古典
概型概率公式求出，然后由條件概率公式可得；
（2）根據(jù)超幾何分布概率公式計算可得分布列，再由期望公式可得數(shù)學(xué)期望.
【小問 1 詳解】
記小明選擇 60 米袋鼠跳服務(wù)為事件，小明選擇 3000 米服務(wù)為事件，
則，，
所以，
第 12頁/共 18頁
即小明在選擇 60 米袋鼠跳服務(wù)的條件下，選擇 3000 米服務(wù)的概率為 .
【小問 2 詳解】
由題知，的所有可能取值為，
由超幾何分布概率公式得：
，
.
得隨機變量 X 的分布列為：
0 1 2 3
所以 .
17. 如圖，在正四棱錐中，，為側(cè)棱 SD 的中點．
（1）求證：；
（2）求點到平面 PAC 的距離；
（3）求平面 SBC 與平面 PAC 夾角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【解析】
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【分析】（1）利用空間向量的坐標(biāo)運算證明垂直關(guān)系；
（2）利用空間向量的坐標(biāo)運算求點到直線的距離；
（3）利用空間向量的坐標(biāo)運算求平面與平面夾角的余弦值.
【小問 1 詳解】
連接交于點，連接 ,
因為是正四棱錐，所以平面，
且平面，所以 ,
又因為為正方形，所以 ,
所以以方向為軸建立如圖所示空間指標(biāo)坐標(biāo)系，
因為，所以 , ,
所以 , ,
所以 ,
所以，
，所以 .
【小問 2 詳解】
設(shè)平面的一個法向量為，
,
所以，即，令，可得，
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所以點到平面 PAC 的距離為 .
【小問 3 詳解】
設(shè)平面的一個法向量為，
,
所以，即，令，可得，
設(shè)平面 SBC 與平面 PAC 夾角為，則由圖可知為銳角，
所以即為所求.
18. 已知過點的雙曲線的漸近線方程為 .如圖所示，過雙曲線的右焦點作與坐
標(biāo)軸都不垂直的直線交的右支于兩點.
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若雙曲線上的點到其兩條漸近線的距離分別為，求的值；
（3）已知點，求證： .
【答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由漸近線方程得到，代入點即可求解；
（2）由點到線的距離公式求解即可；
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（3）設(shè)直線方程，聯(lián)立雙曲線方程，結(jié)合韋達定理，由即可求證；
【小問 1 詳解】
因為雙曲線的漸近線方程為，
所以設(shè)雙曲線方程為，
又雙曲線過點，
則，所以雙曲線方程為，
即 .
【小問 2 詳解】
因為在曲線上，
則，
漸近線方程：，
所以：
【小問 3 詳解】
由（1）可知的斜率存在且不為 0，設(shè) 的方程為，
聯(lián)立，消去得，
設(shè) ，由題意得，
則，
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所以
，
所以得證.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：由，求證；
19. 手工刺繡是中國非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一，指以手工方式把圖案設(shè)計和制作添加在編織物上的一種藝術(shù)，大
致分為三個環(huán)節(jié)，簡記為工序，工序，工序．經(jīng)過試驗測得小李在這三道工序成功的概率依次為，
，．現(xiàn)某單位推出一項手工刺繡體驗活動，報名費 30 元，成功通過三道工序最終的獎勵金額是 200 元，
為了更好地激發(fā)參與者的興趣，舉辦方推出了一項工序補救服務(wù)，可以在活動開始前付費聘請技術(shù)員，若
某一道工序沒有成功，可以由技術(shù)員完成本道工序，技術(shù)員只完成其中一道工序，且只能聘請一位技術(shù)員，
需另付聘請費用 100 元，若制作完成后沒有接受技術(shù)員補救服務(wù)的退還一半的聘請費用．
（1）求小李獨立成功完成三道工序的概率；
（2）若小李聘請一位技術(shù)員，且接受技術(shù)員補救服務(wù)，求他成功完成三道工序的概率；
（3）為了使小李獲得收益期望值更大，請問小李是否需要聘請一位技術(shù)員？請說明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）小李需要聘請一位技術(shù)員，理由見解析
【解析】
【分析】（1）利用獨立事件概率乘法公式得到小李獨立成功完成三道工序的概率；
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（2）分三種情況，求出相應(yīng)的概率，再相加得到答案；
（3）分別求出沒有聘請技術(shù)員參與比賽，和聘請技術(shù)員參與比賽，收益的期望值，比較后得到結(jié)論.
【小問 1 詳解】
設(shè)事件 “小李獨立成功完成三道工序”
則．
【小問 2 詳解】
設(shè)事件 “小李聘請一位技術(shù)員，且接受技術(shù)員補救服務(wù)，成功完成三道工序”，
當(dāng)技術(shù)員完成工序時，小李成功完成三道工序的概率為：，
當(dāng)技術(shù)員完成工序時，小李成功完成三道工序的概率為：，
當(dāng)技術(shù)員完成工序時，小李成功完成三道工序的概率為：，
故．
【小問 3 詳解】
若小李沒有聘請技術(shù)員參與比賽，設(shè)小李最終收益為，
，所以，
若小李聘請一位技術(shù)員參與比賽，設(shè)小李最終收益為，
有如下幾種情況：
技術(shù)員最終未參與補救仍成功完成三道工序，此時，
由（1）知，，
技術(shù)員參與補救并成功完成三道工序，此時，由（2）知，
技術(shù)員參與補救但仍未成功完成三道工序，此時，
，
所以，
因為，所以小李需要聘請一位技術(shù)員．
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