一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知向量，，若向量，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因?yàn)?，所以，解?
故選：C.
2. 若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴.
故選：C.
3. 已知向量，滿足，，，夾角為，則在上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在上的投影向量.
故選：C.
4. 在中，若，則是（ ）
A. 銳角三角形B. 鈍角三角形
C. 直角三角形D. 等腰三角形
【答案】C
【解析】由于，
故，從而.
所以是直角三角形.
故選：C.
5. 已知，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以?br>解得，，
由同角三角函數(shù)基本關(guān)系得，故D正確.
故選：D.
6. 一艘船在A處，燈塔S在船正北方向，船以100海里/小時的速度向北偏東30°航行，30 分鐘后船航行到B處，從B處看燈塔S位于船南偏西75°方向上．此時燈塔S與船B之間的距離為（ ）海里
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由題意可作圖如下：
在中，，，，
，
由正弦定理可得，則.
故選：A.
7. 如圖，在直角，，，點(diǎn)，是邊上兩個三等分點(diǎn)，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因?yàn)?，?br>在中，.
故選：B.
8. 在中，角所對的邊分別為，若，且，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在中，因?yàn)椋?br>所以，，所以，
因?yàn)椋?br>由正弦定理得，
所以，即，
所以，，
，
由，解得，
所以，，
所以的范圍是.
故選：B.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分．
9. 下列化簡結(jié)果是的選項(xiàng)為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】對于A，，故A正確；
對于B，，故B正確；
對于C，
.
對于D，，故D不正確.
故選：AB.
10. 下列命題正確的是（ ）
A. 在中，是的充要條件
B. 在中，角所對邊分別為，若，則
C. 在中，角所對的邊分別為，若三角形有兩解，則的取值范圍為
D. 在中，，則為銳角三角形
【答案】AC
【解析】對于A中，在中，由得，可得，
可得，反之，由得，即，則，所以A正確；
對于B中，在中，，由正弦定理知，
即，得或.故B不正確；
對于C，在中，，若三角形有兩解，則即故C正確；
對于D，在中，，由正弦定理得，
則，根據(jù)余弦定理知，所以是鈍角，故D不正確.
故選：AC.
11. 在中，點(diǎn)分別滿足與相交于點(diǎn)，則下列說法中正確的是（ ）
A.
B. 若，則
C.
D. 若外接圓的半徑為2，且，則的取值范圍為
【答案】AC
【解析】對于A，設(shè)，因?yàn)?br>則，
，
由共線，得解得，所以，故A正確；
對于B，由得，
所以，
所以，故B不正確；
對于C，由知是的中點(diǎn)，所以，，又，
所以，所以，，故C正確；
對于D，設(shè)的三邊分別為，依題意得，由外接圓的半徑為2，根據(jù)正弦定理得，所以，由，得或，
當(dāng)時，，故D不正確.
故選：AC.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知向量 ，滿足，，且，則 ，夾角余弦值為________．
【答案】
【解析】，
解得，
所以.
13. ________．
【答案】2
【解析】
.
14. 如圖所示，已知點(diǎn)是的重心，過點(diǎn)作直線與、兩邊分別交于、兩點(diǎn)，且，，則 ________；的最小值為________．
【答案】
【解析】因?yàn)闉榈闹匦?，延長交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，
且，
由重心的幾何性質(zhì)可知，
因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，設(shè)，即，
所以，，
因?yàn)?，，則，，
則，
因?yàn)椤⒉还簿€，所以，，，則，，
故，即，則，
所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，
故的最小值為.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知，，且與的夾角為.
（1）求；
（2）若向量，求實(shí)數(shù)的值．
解：（1），
，
所以.
（2）由，則，
即，
，即，
或.
16. 已知.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
解：（1）由，
得.
（2）由（1）得.
（3）依題意，，
由，，得，，而，
則，所以.
17. 如圖，在 中，已知 ，是邊上一點(diǎn)，，，.
（1）求的值；
（2）求的長；
（3）求的面積.
解：（1）在中，，，，
由余弦定理可得：.
（2）因?yàn)椋?br>所以，所以，
在中，，，，
由正弦定理可得.
（3）在中，，，所以，
在中，由正弦定理
可得，，
所以，
18. 已知函數(shù)．
（1）求的周期及在上的值域；
（2）已知銳角中，，且的面積為，，求邊上的中線的長．
解：（1），
，
因?yàn)椋?，所以?br>所以在上的值域.
（2）因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，
又，所以，即，
因?yàn)?，所以?br>在中，由余弦定理得，所以，
因?yàn)闉檫吷系闹芯€，所以，
所以，
所以.
即邊上的中線的長為.
19. 我們知道，三角形中存在諸多特殊位置的點(diǎn)，并且這些特殊點(diǎn)都具備一定的特殊性質(zhì).意大利學(xué)者托里拆利在研究時發(fā)現(xiàn)：在三角形的三邊分別向其外側(cè)作等邊三角形，這三個等邊三角形的外接圓交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即稱為托里拆利點(diǎn)（以下簡稱“點(diǎn)”）.通過研究發(fā)現(xiàn)三角形中的“點(diǎn)”滿足到三角形三個頂點(diǎn)的距離和最小.當(dāng)?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時，使得的點(diǎn)即為“點(diǎn)”； 當(dāng)有一個內(nèi)角大于或等于時，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為“點(diǎn)”.試用以上知識解決下面問題: 已知的內(nèi)角所對的邊分別為.
（1）若，則
①求；
②若，設(shè)點(diǎn)為的“點(diǎn)”，求；
（2）若，設(shè)點(diǎn)為的“點(diǎn)”，，求實(shí)數(shù)的最小值.
解：（1）①在中，由正弦定理得，
，有，
，
，
，，又，
；
②由①知，則 的三個角都小于，
由“點(diǎn)”定義知：，
設(shè)，，，
由得，
整理得，
所以.
（2）由，結(jié)合正弦定理，
有，均為三角形內(nèi)角，（舍）
或，即，，
由點(diǎn)為的“點(diǎn)”，得，
設(shè)，，，，
由，得，由余弦定理得
，
，
，
相加得，得，
整理得，
于是，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
又 因?yàn)?而 解得，
所以實(shí)數(shù)的最小值為.

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