一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.
1. 已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】A
【解析】由復(fù)數(shù)z滿足，可得，
所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)位于第一象限.
故選：A.
2. 已知單位向量，滿足，則在上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根據(jù)已知條件有：，又，所以，
在上的投影向量為.
故選：C.
3. 在中，下列等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】對于A，因?yàn)?，所以?br>，故A錯(cuò)誤；
對于B，，故B錯(cuò)誤；
對于C，，
，故C正確；
對于D，，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
4. 設(shè)，，其中為虛數(shù)單位.則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?br>若，則，即，解得或，
所以由推不出，故充分性不成立；
由可以推出，故必要性成立；
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
5. 定義在上的函數(shù)，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
又，
所以是偶函數(shù)，
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，
而在上單調(diào)遞增，則，
，則，
.
故選：B.
6. 設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，單位圓O上一點(diǎn)A，射線OA繞著O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到OP，P為與單位圓的交點(diǎn)，P的坐標(biāo)為，則A的坐標(biāo)為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】如圖所示：
設(shè)
則點(diǎn)
又
所以.
故選：A.
7. 如圖，在中，已知，，，，分別是，邊上的點(diǎn)，且，，且，若線段，的中點(diǎn)分別為，，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在中，，則，
分別是邊的點(diǎn)，線段的中點(diǎn)分別為，
∴，，
∴，
∴兩邊平方得：
，
∵，∴，
又∵，
∴當(dāng)時(shí)，最小值為，即的最小值為.
故選：B.
8. 銳角中，角A、B、C的對邊分別為、、，滿足，若存在最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由利用正弦定理可得，
即可得，
又，可得；
又，
所以；因此，即，可得，
由于為銳角三角形，則，即，解得，
，
因?yàn)?，則，
由二次函數(shù)性質(zhì)可得，若存在最大值，
則，解得．
故選：C．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有錯(cuò)選的得0分.
9. 已知，為復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則或
D. 若，則
【答案】AC
【解析】對于選項(xiàng)A，若，則和互為共軛復(fù)數(shù)，所以，故選項(xiàng)A正確；
對于選項(xiàng)B，取，此時(shí)，，
滿足，但，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)C，若，則，所以或，
可得或，故選項(xiàng)C正確；
對于選項(xiàng)D，取，，可得，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：AC.
10. 通過等式（，）我們可以得到很多函數(shù)模型，例如將a視為自變量x，b視為常數(shù)，那么c就是a（即x）的函數(shù)，記為y，則，也就是我們熟悉的冪函數(shù)．事實(shí)上，由這個(gè)等式還可以得到更多的函數(shù)模型．若令，（e是自然對數(shù)的底數(shù)），將a視為自變量x（，），則b為x的函數(shù)，記為，下列關(guān)于函數(shù)的敘述中正確的有（ ）
A.
B. ，
C. 若，且m，n均不等于1，，則
D. 若對任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的值為0
【答案】ACD
【解析】由題意知，則，
對于A，，A正確；
對于B，，，不妨取，
則，B錯(cuò)誤；
對于C，，且m，n均不等于1，
由得，即，結(jié)合可知，
則，故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，C正確；
對于D，當(dāng)時(shí)，，則由恒成立，
得恒成立，即恒成立，
令，則，
設(shè)，由于在上單調(diào)遞減，故，
則，故；
當(dāng)時(shí)，，結(jié)合題意可知得恒成立，
即恒成立，此時(shí)令，同理可得，
由于在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故，則，故，
綜合上述可知m的值為0，D正確.
故選：ACD.
11. “圓冪定理”是平面幾何中關(guān)于圓一個(gè)重要定理，它包含三個(gè)結(jié)論，其中一個(gè)是相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等，如圖，已知圓的半徑2，點(diǎn)是圓內(nèi)的定點(diǎn)，且，弦，均過點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A. 為定值
B. 當(dāng)時(shí)，為定值
C. 當(dāng)時(shí)，面積的最大值為
D. 的取值范圍是
【答案】ABD
【解析】如圖，過作直徑，依題意，
為定值，A正確；
若，則，
則，
又，則，
同理可得，故，B正確；
如圖，當(dāng)時(shí)，若為等邊三角形，
則，
下面說明此等邊三角形存在的情況：取中點(diǎn)，連接，
則在中，，則，
又在中，，則，所以存在滿足題意的點(diǎn)，C錯(cuò)誤；
若為中點(diǎn)，連接，
則
，
由題意，則，D正確.
故選：ABD.
三、填空題：本題共3小題，共15分.
12. 已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則取值范圍是______.
【答案】
【解析】由可知，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上，
而可理解為圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，
作直線,交圓于點(diǎn)，如圖所示.
顯然,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，.
即的取值范圍是.
13. 為測量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共線的三點(diǎn)A，B，C處測得其頂點(diǎn)P的仰角分別為30°，60°，45°，且米，則塔的高度________米.
【答案】
【解析】設(shè)塔的高，
在中，，同理可得，，
在中，，則，
，
即，解得.
所以塔的高度為米.
14. 設(shè)與圖象的相鄰3個(gè)公共點(diǎn)自左向右依次為A，B，C，若，則m的值為_____.
【答案】
【解析】作出函數(shù)的大致圖象，如圖，令，，
解得，
則函數(shù)的圖象與直線連續(xù)的三個(gè)公共點(diǎn)，，，且，
則點(diǎn)，關(guān)于直線對稱，且，
所以，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
.
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知，，.
（1）若，求；
（2）設(shè)，若，求，的夾角.
解：（1）因?yàn)椋?br>所以，，
又因?yàn)椋?br>所以.
（2）因?yàn)?，且?br>所以，
所以，，
所以，，
所以，
即，即，
所以，，所以，
所以，的夾角.
16. 已知內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，的面積為，.
（1）求角B的大?。?br>（2）若的角平分線與邊相交于點(diǎn)，，，求的周長.
解：（1）的面積為，則，即，
又，即，所以，
則，
，.
（2）因?yàn)榈慕瞧椒志€與邊相交于點(diǎn)，
所以，即，
所以，所以，
又由余弦定理，即，
所以，解得或（舍去），
所以.
17. 已知銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量，，.
（1）求；
（2）求的取值范圍.
解：（1），且，
，
，
，
，
，
由正弦定理可得，
，
，
，．
（2）由（1）知，，則，
為銳角三角形，，則，
，．
．
，，，
，，
的取值范圍為，則，
所以的范圍為.
18. 已知函數(shù)，滿足，且在區(qū)間上單調(diào)遞增.
（1）求的值；
（2）設(shè).若函數(shù)和在上有相同的最大值，求的取值范圍.
解：（1）
，
由，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對稱，
所以，即，解得，
，
又在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，即，
，即，所以當(dāng)時(shí)，.
（2）由（1），
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為2，
而函數(shù)與存在相同的最大值，
故當(dāng)時(shí)，在上取得最大值2，
可得，，
當(dāng)時(shí)，得，則，解得，
當(dāng)時(shí)，得，則，解得，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
綜上所述，的取值范圍為.
19. 定義在上的函數(shù)，如果對任意的，都有成立，則稱為階伸縮函數(shù).
（）若函數(shù)為二階伸縮函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，求的值.
（）若三階伸縮函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，求證：函數(shù)在上無零點(diǎn).
（）若函數(shù)為階伸縮函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，求在上的取值范圍.
解：（1）由題設(shè)，當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，，
∴．
∵函數(shù)f（x）為二階伸縮函數(shù)，
∴對任意x∈（0，+∞），都有f（2x）=2f（x）．
∴．
（2）當(dāng)x∈（3m，3m+1]（m∈N*）時(shí)，．
由f（x）為三階伸縮函數(shù)，有f（3x）=3f（x），
∵x∈（1，3]時(shí)，．
∴．
令，解得x=0或x=3m，它們均不在（3m，3m+1]內(nèi)．
∴函數(shù)在（1，+∞）上無零點(diǎn)．
（3）由題設(shè)，若函數(shù)f（x）為k階伸縮函數(shù)，有f（kx）=kf（x），
且當(dāng)x∈（1，k]時(shí)，f（x）的取值范圍是[0，1）．
∴當(dāng)x∈（kn，kn+1]時(shí)，．
∵，所以．
∴當(dāng)x∈（kn，kn+1]時(shí)，f（x）∈[0，kn）．
當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，即0＜x≤1，
則?k（k≥2，k∈N*）使，
∴1＜kx≤k，即kx∈（1，k]，∴f（kx）∈[0，1）．
又，∴，即．
∵k≥2，
∴f（x）在（0，kn+1]（n∈N*）上的取值范圍是[0，kn）．

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