考生須知：
1．本卷共 5 頁(yè)滿分 150 分，考試時(shí)間 120 分鐘.
2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字
.
3．所有答案必須寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效.
4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙.
選擇題部分
一、單項(xiàng)選擇題：本題共 8 小題，每題 5 分，共 40 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一
項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 若復(fù)數(shù) ， 為虛數(shù)單位，則 的虛部為（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn) ，即可判斷.
【詳解】因?yàn)?，
所以 的虛部為 .
故選：B
2. 已知 ， ，則 在 方向上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用投影向量的定義，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解.
【詳解】根據(jù)題意， ，
所以 在 方向上的投影向量 .
第 1頁(yè)/共 23頁(yè)
故選：A.
3. 若 ， 表示兩條直線， ， ， 表示三個(gè)不重合的平面，下列命題正確的是（ ）
A. 若 ， ， ，則
B. 若 ， ， ，則
C. 若 ， ， ，則
D. 若 ， ， ，則
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)線線、線面、面面之間的位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷.
【詳解】對(duì)于 A，若 ， ， ，則 ，或 與 相交，故 A 錯(cuò)誤；
對(duì)于 B，若 ， ， ，則 ，或 與 為異面直線，故 B 錯(cuò)誤；
對(duì)于 C，若 ， ， ，則 ，或 與 相交，故 C 錯(cuò)誤；
對(duì)于 D，由 可得 ，因?yàn)?，所以 ，
又因?yàn)?，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得 ，故 D 正確.
故選：D.
4. 如圖的平面直角坐標(biāo)系 中，線段 長(zhǎng)度為 2，且 ，按“斜二測(cè)”畫(huà)法水平放置的平面
上畫(huà)出為 ，則 （ ）
A. 4 B. C. D.
【答案】C
【解析】
第 2頁(yè)/共 23頁(yè)
【分析】在 中求出 ， 的值，根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法，得到 ， 的值，在 中，
根據(jù)余弦定理求出 .
【詳解】因?yàn)?， ，
所以 ， ，
由斜二測(cè)畫(huà)法得 ， ，
因?yàn)?，
所以在 中，
，
故選：C.
5. 在 中， 為邊 的中點(diǎn)，對(duì)于 所在直線上的任意點(diǎn) ，均有
，則 的形狀一定是（ ）
A. 銳角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 鈍角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】以 為原點(diǎn)，直線 為 軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)
，通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.
【詳解】以 為原點(diǎn)，直線 為 軸，建立如圖平面直角坐標(biāo)系，
設(shè) ，
則 ，
上式為開(kāi)口向上的二次函數(shù)，當(dāng) 時(shí)，
，
因?yàn)?，
又因?yàn)?，
第 3頁(yè)/共 23頁(yè)
所以 ，
解得 ，即 ，故 ，
所以 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，故 ,
所以 為直角三角形.
故選：B.
6. 已知復(fù)數(shù) ， 為虛數(shù)單位，則對(duì)于 ， 最小值為（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù) 得 ，進(jìn)而得到 ，結(jié)合模的計(jì)算公式求出
，進(jìn)而得到答案.
【詳解】因?yàn)?，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以當(dāng) 時(shí)， 有最小值，最小值為 ，
故選：D.
7. 在正四棱錐 中， ，球 與四棱錐 的所有側(cè)棱相切，并與底面
也相切，則球 的半徑為（ ）
A. B. 1 C. D.
第 4頁(yè)/共 23頁(yè)
【答案】C
【解析】
【分析】連接 、 ，設(shè) ，連接 ，求出 內(nèi)切圓的半徑 ，即為球 的半徑.
【詳解】連接 、 ，設(shè) ，連接 ，則 平面 ，
又 ，則 ， ，
所以 ，
設(shè) 內(nèi)切圓的半徑為 ，則 ，即 ，解得
，
所以球 的半徑為 .
故選：C
8. 已知圓錐的軸截面頂角為 ，側(cè)面展開(kāi)扇形的圓心角為 ，則 為（ ）
A. 銳角 B. 直角 C. 鈍角 D. 不存在
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為 ，即可得到圓錐的底面半徑 ，依題意可得 ，再分
、 、 三種情況討論，結(jié)合存在性定理判斷即可.
【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為 ，則圓錐的底面半徑 ，
側(cè)面展開(kāi)圖的扇形弧長(zhǎng)，即圓錐底面的周長(zhǎng) ，
因此 ，則 ，
若 ，則 ， ，顯然不滿足 ，故舍去；
若 ，所以 ，所以 ，則 ，
第 5頁(yè)/共 23頁(yè)
又 ，不滿足 ，故舍去；
若 ，令 ， ，
則 在 上 單 調(diào) 遞 增 ， 又 ，
，
所以存在 ，使得 。即 在 上有解，
符合題意；
綜上可得 為鈍角.
故選：C
二、多項(xiàng)選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符
合題目要求，全部選對(duì)得 6 分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得 0 分．
9. 設(shè)平面向量 ， ， 均為非零向量，且 ，則下列命題正確的是（ ）
A. 若 ，則 B.
C. 若 ，則 D. 若 ，則
【答案】CD
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律判斷 A、C、D，利用特殊值判斷 B.
【詳解】對(duì)于 A：因?yàn)?，所以 ，
又 ，即 ，即 ，所以 ，即 ，故 A 錯(cuò)誤；
對(duì)于 B：令 ， ， 滿足題意，
但是 ， ，顯然 不成立，故 B 錯(cuò)誤；
對(duì)于 C：若 ，又 ，所以 ，
所以 ，故 C 正確；
第 6頁(yè)/共 23頁(yè)
對(duì)于 D：由 A 知，由 可以得到 ，
若 ，即 ，則 ，所以 ，則 ，
所以由 ，可以得到 ，故 D 正確.
故選：CD
10. 已知四棱錐 如圖， 且 ， ， 分別是 ， 的中點(diǎn)，則下列說(shuō)
法正確的有（ ）
A. 平面
B. 四棱錐 的體積為 ，三棱錐 的體積為 ，則
C. 平面 與平面 的交線記為 ，則直線 平面
D. 平面 與平面 的交線記為 ，則直線 平面
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用線面平行的判定推理判斷 AD；利用線面平行的判定性質(zhì)推理判斷 C；利用錐體積體公式求出
體積比判斷 B.
【詳解】對(duì)于 A，連接 ，連接 ，由 且 ， 為 中點(diǎn)，
得 ，則 是 中點(diǎn)，而 是 中點(diǎn)，于是 ，
而 平面 ， 平面 ，因此 平面 ，A 正確；
對(duì)于 B， ，由 是 中點(diǎn)，得 到平面 的距離是 到此平面距離 的 2
倍，
第 7頁(yè)/共 23頁(yè)
而 ，因此 ，B 錯(cuò)誤；
對(duì)于 C， 平面 ， 平面 ，則 平面 ，
而平面 平面 ， 平面 ，于 ，而 平面 ，
平面 ，因此直線 平面 ，C 正確；
對(duì)于 D，延長(zhǎng) 交于點(diǎn) ，連接 ，直線 直線 ，由 且 ，
得 為 中點(diǎn)，而 是 中點(diǎn)，則 平面 ， 平面 ，
因此直線 平面 ，D 正確.
故選：ACD
11. 圖為溫嶺的標(biāo)志性景觀-石夫人，“峰以形名，頭挽發(fā)髻，延頸削肩，神奇秀麗”．某興趣小組測(cè)繪山峰
數(shù)據(jù)：于山腳 處測(cè)得峰頂 的仰角為 ，從 出發(fā)選擇地平面方向 使得 ，前進(jìn)至點(diǎn)
恰使 ，測(cè)得前進(jìn)距離 ．若峰頂 在 所在地平面垂直投影點(diǎn)為 ，山坳
處有一個(gè)憩息點(diǎn) ，觀測(cè)峰頂 的仰角為 ， 在地平面投影點(diǎn) 落在 上， ，下列說(shuō)法
正確的是（ ）
A.
第 8頁(yè)/共 23頁(yè)
B.
C. 從 點(diǎn)觀測(cè)峰頂 的仰角為 ，則
D. 從 點(diǎn)觀測(cè)點(diǎn) 的仰角為 ，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】首先求出 ，即可求出 ，從而判斷 A，過(guò)點(diǎn) 作 交 于點(diǎn) ，求出 ，
即可判斷 B，利用銳角三角函數(shù)判斷 C，利用余弦定理求出 ，即可判斷 D.
【詳解】對(duì)于 A：依題意 ， ， 且 ，
所以 ，則 ，
因?yàn)榉屙?在 所在地平面垂直投影點(diǎn)為 ，即 平面 ， 平面 ，所以
，
所以 ，故 A 正確；
對(duì)于 B：因?yàn)?在地平面投影點(diǎn) 落在 上，即 平面 ，且 平面 ，
所以 ，過(guò)點(diǎn) 作 交 于點(diǎn) ，則 ， ，
又 ， ，所以 ，
因?yàn)樯桔晏幱幸粋€(gè)憩息點(diǎn) ，觀測(cè)峰頂 仰角為 ，即 ，
所以 ，
則 ，故 B 正確；
對(duì)于 C：因?yàn)閺?點(diǎn)觀測(cè)峰頂 的仰角為 ，則 ，
第 9頁(yè)/共 23頁(yè)
所以 ，則 ，故 C 錯(cuò)誤；
對(duì)于 D：因?yàn)?， 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
因?yàn)?平面 ，所以 ，
所以 ，
，
所以 ，所以 ，
所以從 點(diǎn)觀測(cè)點(diǎn) 的仰角為 ，則 ，故 D 正確.
故選：ABD
非選擇題部分
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分．
12. 已知 ， 為平面中的單位向量，滿足 ，若 ， ，且 ，則實(shí)數(shù)
________．
【答案】
【解析】
【分析】利用向量垂直的性質(zhì)即可求解.
【詳解】因?yàn)?，且 ， ，
所以 ，
第 10頁(yè)/共 23頁(yè)
即 ，
所以 ，
解得 .
故答案為： .
13. 已知復(fù)數(shù) 的實(shí)部為 1，且 ，若 是關(guān)于 的方程 ， 的根，則
________．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè) ，根據(jù)向量的模求出 ，即可得到 ，再由韋達(dá)定理計(jì)算可得.
【詳解】設(shè) ，則 ，解得 ，
所以 或 ，
因?yàn)?是關(guān)于 的方程 ， 的根，
所以 ，所以 ，
所以 .
故答案為：
14. 已知圓臺(tái)的一個(gè)底面面積為 ，且有半徑為 的內(nèi)切球，則該圓臺(tái)體積為_(kāi)_______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】作出圓臺(tái)的軸截面，依題意可得圓臺(tái)的高 ，又 ， ，
，設(shè) ，利用勾股定理求出 ，再由圓臺(tái)的體積公式計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)閳A臺(tái)的一個(gè)底面面積為 ，則該底面圓的半徑 ，不妨令其為上底面，
如圖為該幾何體的軸截面，其中圓 為等腰梯形 的內(nèi)切圓，
第 11頁(yè)/共 23頁(yè)
設(shè)圓 與梯形的腰相切于點(diǎn) ，與上、下底分別切于點(diǎn) ， ，球的半徑 ，
則圓臺(tái)的高 ，又 ， ， ，
設(shè) ，則 ，所以 ，解得 ，
所以圓臺(tái)的體積 .
故答案為：
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．
15. 記 的內(nèi)角 的對(duì)邊分別為 ，已知 ．
（1）求 ；
（2）若 ，求 面積．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可解出；
（2）由（1）可知，只需求出 即可得到三角形面積，對(duì)等式恒等變換，即可解出．
【小問(wèn) 1 詳解】
因?yàn)?，所以 ，解得： ．
【小問(wèn) 2 詳解】
由正弦定理可得
第 12頁(yè)/共 23頁(yè)
，
變形可得： ，即 ，
而 ，所以 ，又 ，所以 ，
故 的面積為 ．
16. 已知長(zhǎng)方體 中 ， ，其外接球的表面積為 ，平面 截去長(zhǎng)
方體的一個(gè)角后，得到如圖所示的幾何體 ，其體積為 ．
（1）證明：平面 平面 ；
（2）求棱 的長(zhǎng)；
（3）求幾何體 的表面積．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)得到 、 ，即可得證；
（2）設(shè) ， ， ，根據(jù)外接球的表面積及棱柱、棱錐的體積公式得到方程
組，解得即可；
（3）根據(jù)表面積公式計(jì)算可得.
第 13頁(yè)/共 23頁(yè)
【小問(wèn) 1 詳解】
根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)可知 且 ，所以四邊形 為平行四邊形，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 且 ， 且 ，
所以 且 ，所以四邊形 為平行四邊形，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 ， 平面 ，所以平面 平面 ；
小問(wèn) 2 詳解】
設(shè) ， ， ，
又 （ 為長(zhǎng)方體外接球半徑），
又外接球的表面積為 ，即 ，所以 ，
∴ ①；
又 ，
∴ ②；
由①②解得 或 （舍去），∴棱長(zhǎng) 為 ；
【小問(wèn) 3 詳解】
若 ， ， ，則 ，
， ， ，
在 中由余弦定理 ，
則 ，
所以 ，
第 14頁(yè)/共 23頁(yè)
所以
.
17. 如圖所示，直三棱柱 的所有棱長(zhǎng)均相等，點(diǎn) 為 的中點(diǎn)，點(diǎn) 為 的中點(diǎn)．
（1）求證： 平面 ；
（2）若棱長(zhǎng) ，求此直三棱柱的體積；
（3）若三棱錐 的體積為 ，求該三棱柱的外接球表面積．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）連接 ， ，根據(jù)棱柱的性質(zhì)可知點(diǎn) 為 的中點(diǎn)，從而得到 ，即可得證；
（2）根據(jù)棱柱的體積公式計(jì)算可得；
（3）設(shè) ，由 可求出 ，然后求出外接球的半徑即可.
【小問(wèn) 1 詳解】
連接 ， ，
因?yàn)?為直三棱柱，點(diǎn) 為 的中點(diǎn)，
所以 ，即點(diǎn) 為 的中點(diǎn)，
又點(diǎn) 為 的中點(diǎn)，
第 15頁(yè)/共 23頁(yè)
所以 ，
因?yàn)?平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
【小問(wèn) 2 詳解】
因?yàn)橹比庵?所有棱長(zhǎng)均相等， ，
所以 ，
所以 .
【小問(wèn) 3 詳解】
設(shè) ，因?yàn)?，
又因?yàn)橹比庵?的所有棱長(zhǎng)均相等，
取 的中點(diǎn) ，連接 ，則 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
所以點(diǎn) 到平面 的距離為 ， ，
所以 ，解得 ，
因?yàn)榈冗吶切?的外接圓半徑為 ，三棱柱的高 ，
所以三棱柱的外接球半徑 ，
第 16頁(yè)/共 23頁(yè)
所以三棱柱的外接球表面積 .
18. 如圖，設(shè) 是平面內(nèi)相交成 的兩條射線， 分別為 同向的單位向量，定
義平面坐標(biāo)系 為 仿射坐標(biāo)系，在 仿射坐標(biāo)系中，若 ，則記 .
（1）在 仿射坐標(biāo)系中
①若 ，求 ；
②若 ，且 與 的夾角為 ，求 ；
（2）如上圖所示，在 仿射坐標(biāo)系中，B，C 分別在 軸， 軸正半軸上，
分別為 BD，BC 中點(diǎn)，求 的最大值.
【答案】（1）① ；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①由題意， ，將其兩邊平方，再開(kāi)方即可得到 ；
②由 ，由 表示出 和 ，再由已知用 表示出 ，因?yàn)?與 的夾角
為 ，然后由 ，即可得到 ；
第 17頁(yè)/共 23頁(yè)
（2）由題意，設(shè)出 坐標(biāo) ，表示出 ，由
，將 表示成 ，
在 中依據(jù)余弦定理可得 ，代入得 ，
方法一：設(shè) ，得到 ，則可得 的最大值；
方法二：在 中，用正弦定理，再設(shè) ，可得 ，代入
，通過(guò)三角恒等化簡(jiǎn)可得 ，進(jìn)而得到 的最大值.
【小問(wèn) 1 詳解】
①因?yàn)?，
所以 ，
②由 ，
得 ，
，
，
因?yàn)?與 的夾角為 ，
則 ，得 ．
【小問(wèn) 2 詳解】
方法一：依題意設(shè) ，
，
因?yàn)?為 BC 中點(diǎn) ，
第 18頁(yè)/共 23頁(yè)
為 BD 中點(diǎn)，所以 ，
所以， ，
因?yàn)?，則
，
在 中依據(jù)余弦定理得 ，所以 ，代入上式得，
.
設(shè) ，則 ，
令 得 ，得 (舍)，
所以 ，
則 .
方法二：依題意設(shè) ，
，
因?yàn)?為 BC 中點(diǎn)，則 ，
為 BD 中點(diǎn)，所以 ，
所以， ，
第 19頁(yè)/共 23頁(yè)
因?yàn)?.
，
在 中依據(jù)余弦定理得 ，所以 ，
代入上式得， ，
在 中，由正弦定理 ，
設(shè) ，
，
則
19. “費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問(wèn)題．該問(wèn)題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，
使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小．”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng) 的三個(gè)內(nèi)角均
小于 時(shí)，使得 的點(diǎn) 即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng) 有一個(gè)內(nèi)角大于或等于
時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)．試用以上知識(shí)解決下面問(wèn)題：已知 的內(nèi)角 所對(duì)的邊分
別為 ， ， ，設(shè)點(diǎn) 為 的費(fèi)馬點(diǎn)，記 ， ， ．
（1）若 ，
①求 ；
②若 ，求 的值；
第 20頁(yè)/共 23頁(yè)
（2）若 ， ，求實(shí)數(shù) 的最小值．
【答案】（1）① ；② ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）①利用正弦定理角化邊，然后利用余弦定理來(lái)求解；②利用等面積法列方程，結(jié)合向量數(shù)量
積運(yùn)算求得結(jié)果；
（2）根據(jù)條件，利用三角恒等變換化簡(jiǎn)計(jì)算得 ，利用余弦定理和勾股定理，根據(jù)邊長(zhǎng)關(guān)系建立等式，
結(jié)合基本不等式求最值.
【小問(wèn) 1 詳解】
①由正弦定理得 ，即 ，
所以 ，
又 ，所以 .
②由①可知 ，所以 的三個(gè)內(nèi)角均小于 ，
則由費(fèi)馬點(diǎn)定義可知， ，
則 ，
因?yàn)?，
所以 ，
即 ，得 ，
所以 .
【小問(wèn) 2 詳解】
因?yàn)?，
所以 ，
第 21頁(yè)/共 23頁(yè)
所以 ，
因?yàn)?，所以 ，
所以 ，則 或 .
當(dāng) 時(shí)， ， 為直角三角形；
當(dāng) 時(shí)，
則 ，
整理得 ，在三角形中不可能成立.
所以 ， 為直角三角形.
如圖，因?yàn)辄c(diǎn) 為 的費(fèi)馬點(diǎn)，所以 ，
設(shè) ，即 ， ，
則由 得 ， .
在 中，由余弦定理可得 ，
同理，在 中，由余弦定理可得 ，
在 中，由余弦定理可得 .
因?yàn)?為直角三角形， ，所以 ，
則 ，整理可得 ，
，
當(dāng)且僅當(dāng) ，結(jié)合 ，解得 時(shí)等號(hào)成立，
第 22頁(yè)/共 23頁(yè)
又 ，即 ，整理得 ，解得 或 （舍去），
所以實(shí)數(shù) 的最小值為 .
第 23頁(yè)/共 23頁(yè)

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