高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科 試題
考生須知：
1． 本卷共4 頁(yè)滿分150分， 考試時(shí)間120分鐘．
2． 答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字．
3． 所有答案必須寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效．
4． 考試結(jié)束后，只需上交答題紙．
選擇題部分
一、單選題：本題共 8 小題，每小題 5分，共 40 分． 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．
1. 一個(gè)三層書(shū)架，分別放置語(yǔ)文類讀物 6 本，數(shù)學(xué)類讀物 7 本，英語(yǔ)類讀物 8本，每本圖書(shū)各不相同，從中取出1本，則不同的取法共有（ ）
A. 3種B. 21種C. 336種D. 12種
【答案】B
【解析】
【分析】由分類加法計(jì)數(shù)原理即可求解.
【詳解】一個(gè)三層書(shū)架，分別放置語(yǔ)文類讀物 6 本，數(shù)學(xué)類讀物 7 本，英語(yǔ)類讀物 8本，每本圖書(shū)各不相同，從中取出1本，則不同的取法共有種.
故選：B
2. 已知某隨機(jī)變量， ， 則（ ）
A 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】利用方差公式，即可求解.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>故選：D
3. 在 的展開(kāi)式中，第四項(xiàng)為（ ）
A. 240B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可得，令計(jì)算即可求解.
【詳解】由題意知，展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，
令，得，
即第四項(xiàng)為.
故選：D
4. 已知， 則在處的導(dǎo)數(shù)值為（ ）
A. B. 0C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再求出導(dǎo)數(shù)值即可.
【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，
所以在處的導(dǎo)數(shù)值為.
故選：B
5. 已知事件 A、B、C，滿足 則P(B∪C|A)=（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用條件概率結(jié)合概率的基本性質(zhì)計(jì)算即得.
【詳解】依題意，.
故選：A
6. 已知 則 的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用二項(xiàng)式定理分別求出，再求和得解.
【詳解】顯然，
在的展開(kāi)式中，，，
所以.
故選：C
7. 若 則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先化簡(jiǎn)，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)、研究單調(diào)性、極值、最值比較大小即可.
【詳解】由題意知：，令，
，由，解得，
在，在，
所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.
因?yàn)椋?，即，也就是?br>又，因?yàn)樵谏蟽H有一個(gè)極大值，
所以，即最大，所以.
故選：A.
8. 某學(xué)校高二年級(jí)開(kāi)設(shè) 4 門(mén)校本選修課程，某班男生 201 寢室的 5 名同學(xué)選修，每人只選 1 門(mén)，恰有1門(mén)課程沒(méi)有同學(xué)選修，則該寢室同學(xué)不同的選課方案有 （ ）
A. 360種B. 600種C. 960種D. 972種
【答案】B
【解析】
【分析】從4門(mén)課程中取出3門(mén)課程，再把5名同學(xué)分成3組，并分配課程，列式計(jì)算即得.
【詳解】從4門(mén)課程中取出3門(mén)課程，有種方法，
把5名同學(xué)分成3組，按分組有種方法，按分組有種方法，
把3門(mén)課程分配給上述分成的每一組有種方法，
所以該寢室同學(xué)不同的選課方案有（種）.
故選：B
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：不同元素的分配問(wèn)題，往往是先分組再分配．在分組時(shí)，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法．
二、多選題：本題共 3 小題，每小題6分，共 18分． 在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求． 全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 對(duì)于的展開(kāi)式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 展開(kāi)式共有9項(xiàng)B. 展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是240
C. 展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256D. 展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1
【答案】BD
【解析】
【分析】利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求出，再逐項(xiàng)分析判斷得解.
【詳解】由二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，得展開(kāi)式共有7項(xiàng)，，
對(duì)于A，展開(kāi)式共有7項(xiàng)，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是，B正確；
對(duì)于C，展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，取，得展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1，D正確.
故選：BD
10. 下列等式正確的是（ ）
A. B. 若則
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)排列數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)判斷A；根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)即可判斷B；根據(jù)組合數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，即可判斷C；根據(jù)的展開(kāi)式和計(jì)算即可判斷D.
【詳解】A：，故A正確；
B：由組合數(shù)的性質(zhì)知，若，則或，故B錯(cuò)誤；
C：
，
又，所以，故C正確；
D：，故D正確.
故選：ACD
11. 一個(gè)不透明的箱子中裝有5個(gè)小球，其中白球3個(gè)，黑球2個(gè)，小球除顏色不同外，材質(zhì)大小全部相同，現(xiàn)投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，若硬幣正面朝上，則從箱子里抽出一個(gè)小球且不再放回；若硬幣反面朝上，則不抽取小球；重復(fù)該試驗(yàn)，直至小球全部取出，假設(shè)試驗(yàn)開(kāi)始時(shí)，試驗(yàn)者手中沒(méi)有任何小球，下列說(shuō)法正確的有（ ）
A. 經(jīng)過(guò)兩次試驗(yàn)后，試驗(yàn)者手中恰有1個(gè)白球1個(gè)黑球概率為
B. 若第一次試驗(yàn)抽到一個(gè)黑球，則第二次試驗(yàn)后，試驗(yàn)者手中有黑白球各1個(gè)的概率為
C. 經(jīng)過(guò)7次試驗(yàn)后試驗(yàn)停止的概率為
D. 經(jīng)過(guò)7次試驗(yàn)后試驗(yàn)停止的概率最大
【答案】AB
【解析】
【分析】利用條件概率公式計(jì)算判斷AB；利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式計(jì)算判斷C；設(shè)實(shí)驗(yàn)次結(jié)束的概率為，令，由C項(xiàng)化簡(jiǎn)得即可判斷D.
【詳解】記事件“一次實(shí)驗(yàn)硬幣正面朝上”，則“一次實(shí)驗(yàn)硬幣反面朝上”，則，
從箱子中不放回地抽球，記“第次抽到白球”，記“第次抽到黑球”，“第次硬幣正面朝上且抽到白球”，“第次硬幣正面朝上且抽到黑球”，
對(duì)于A，，，
經(jīng)過(guò)兩次實(shí)驗(yàn)后，試驗(yàn)者手中恰有1個(gè)白球1個(gè)黑球的概率為：
，A正確；
對(duì)于B，第一次抽到黑球后，第二次抽到白球的概率為：，B正確；
對(duì)于C，實(shí)驗(yàn)7次結(jié)束，則前6次有4次硬幣正面朝上，第7次硬幣正面朝上，
則其概率為：，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，實(shí)驗(yàn)次結(jié)束的概率為，則，，
令，得化簡(jiǎn)可得，解得，即，
所以經(jīng)過(guò)8次或9次實(shí)驗(yàn)后小球全部取出的概率最大，D錯(cuò)誤.
故選：AB
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決試驗(yàn)終止時(shí)概率最大問(wèn)題關(guān)鍵是理解試驗(yàn)停止時(shí)的條件，從而求得實(shí)驗(yàn)次結(jié)束的概率，利用作商法求得中的最大項(xiàng)即可.
非選擇題部分
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 四名男生和兩名女生排成一排，要求兩位女生不相鄰，則不同排法的種數(shù)是_______.（結(jié)果用數(shù)字作答）
【答案】
【解析】
【分析】利用插空法，先排男生再排女生求解即可.
【詳解】先排男生，再將女生排到5個(gè)空位里，有種情況.
故答案為：
13. 從 1， 3， 5， 7中任取 2個(gè)不同的數(shù)字， 從 0， 2， 4， 6， 8中任取 2個(gè)不同的數(shù)字， 組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則所組成的四位數(shù)是偶數(shù)的概率為_(kāi)____．(用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)作答)
【答案】
【解析】
【分析】針對(duì)選出的4個(gè)數(shù)中有0和無(wú)0進(jìn)行分類討論，分別求出兩種情況下組成四位數(shù)的個(gè)數(shù)及偶數(shù)的個(gè)數(shù)，結(jié)合古典概型的概率個(gè)數(shù)計(jì)算即可.
【詳解】若選出的4個(gè)數(shù)中有0，
則組成的四位無(wú)重復(fù)的數(shù)字共有個(gè)，其中偶數(shù)有個(gè)；
若選出4個(gè)數(shù)中無(wú)0，
則組成的四位無(wú)重復(fù)的數(shù)字共有個(gè)，其中偶數(shù)有個(gè)，
所以的四位數(shù)為偶數(shù)的概率為.
故答案為：
14. 已知函數(shù) 對(duì)有 則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意設(shè)，不妨設(shè)，由已知化簡(jiǎn)可得即在上遞增,進(jìn)而判斷可得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意設(shè)，
不妨設(shè)，，任意有 可得即可得在上遞增,
因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，恒成立，即在上遞增.
當(dāng)時(shí)，不能恒成立，即在不符合單調(diào)遞增.
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共 77分． 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15. 設(shè)
（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若方程有3個(gè)不同的實(shí)根， 求a的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再解導(dǎo)函數(shù)小于0的不等式即得.
（2）求出函數(shù)的極小、極大值，再利用三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出a的取值范圍.
【小問(wèn)1詳解】
函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，
由，得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，當(dāng)時(shí)，或，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，
函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，
顯然當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，
所以方程有3個(gè)不同的實(shí)根，a的取值范圍是.
16. 已知關(guān)于的二項(xiàng)式的二項(xiàng)系數(shù)之和為32，其中．
（1）若，求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)；
（2）若展開(kāi)式中含項(xiàng)系數(shù)為40，求展開(kāi)式中所有有理項(xiàng)的系數(shù)之和．
【答案】（1）和
（2）
【解析】
【分析】（1）利用，解得，求出展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，即可得到展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)；
（2）利用展開(kāi)式中含項(xiàng)系數(shù)為40，解得，利用的指數(shù)為整數(shù)，求出展開(kāi)式中所有有理項(xiàng)，從而得到有理項(xiàng)的系數(shù)之和.
【小問(wèn)1詳解】
由于關(guān)于的二項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，所以，解得，
則二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：，
當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，展開(kāi)式的系數(shù)最大，
故系數(shù)最大項(xiàng)為和
【小問(wèn)2詳解】
由（1）可得二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：，
令，解得：，
因?yàn)檎归_(kāi)式中含項(xiàng)系數(shù)為40，所以，由，得，
所以二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：，
當(dāng)為整數(shù)，可取0，2，4，
所以展開(kāi)式中所有有理項(xiàng)為，，，
故展開(kāi)式中所有有理項(xiàng)的系數(shù)之和為.
17. 已知函數(shù) .
（1）討論的單調(diào)性；
（2）已知函數(shù)， 若 恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)得，分類討論、兩種情況下的單調(diào)性即可；
（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性可得，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
由題意，，
當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
綜上，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
【小問(wèn)2詳解】
，
令，則，
即在上恒成立，
令，則，
令，得，令，得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，
所以，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的恒成立問(wèn)題的求解策略：
形如的恒成立的求解策略：
1、構(gòu)造函數(shù)法：令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，只需恒成立即可；
2、參數(shù)分離法：轉(zhuǎn)化為或恒成立，即或恒成立，只需利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值即可；
3、數(shù)形結(jié)合法：結(jié)合函數(shù)的圖象在的圖象的上方（或下方），進(jìn)而得到不等式恒成立.
18. 每年的 3 月 14 日是“國(guó)際圓周率日”，這是為紀(jì)念中國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖沖之發(fā)現(xiàn)圓周率而設(shè)立的.2024 年 3月 14日，某班級(jí)為紀(jì)念這個(gè)日子，特舉辦數(shù)學(xué)題答題比賽． 已知賽題共 6道(各不相同)，其中 3 道為高考題，另 3 道為競(jìng)賽題，參賽者依次不放回地從 6 道賽題中隨機(jī)抽取一題進(jìn)行作答，答對(duì)則繼續(xù)，答錯(cuò)(或不答) 或者 6道題都答對(duì)即停止并記錄答對(duì)題數(shù)．
（1）舉辦方進(jìn)行模擬抽題，設(shè)第次為首次抽到競(jìng)賽題，求分布列；
（2）同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)異，但沒(méi)有參加過(guò)競(jìng)賽培訓(xùn)，高考題答對(duì)的概率為，競(jìng)賽題答對(duì)的概率為．
①求同學(xué)停止答題時(shí)答對(duì)題數(shù)為1的概率；
②已知同學(xué)停止答題時(shí)答對(duì)題數(shù)為2，求這兩題抽到競(jìng)賽題題數(shù)的均值．
【答案】（1）分布列見(jiàn)解析
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）寫(xiě)出可能取值，并分別求出對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列即可；
（2）①設(shè)出事件，分析可能的情況，并求出概率即可；②寫(xiě)出可能的取值，并計(jì)算出各個(gè)取值的概率，列出分布列并計(jì)算出數(shù)學(xué)期望.
【小問(wèn)1詳解】
由題意知：可能取，
，，
，.
所以的分布列為：
【小問(wèn)2詳解】①設(shè)“同學(xué)停止答題時(shí)答對(duì)題數(shù)為”為事件，
“同學(xué)第一次抽中高考題，第二次抽中競(jìng)賽題并答錯(cuò)”為事件，
“同學(xué)第一次抽中競(jìng)賽題并答對(duì)，第二次還抽中競(jìng)賽題并答錯(cuò)”為事件，
則；；
所以.
②由同學(xué)停止答題時(shí)答對(duì)題數(shù)為，
設(shè)事件“第次選中競(jìng)賽題沒(méi)答對(duì)”；“第次選中競(jìng)賽題并答對(duì)”；
“第次選中高考題”.
答題結(jié)束時(shí)答對(duì) 2 題的概率為
，
易知可能取，
；
；
.
的分布列為：
所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是，熟練掌握全概率公式與貝葉斯公式求得的分布列，從而得解.
19. 已知函數(shù)
（1）當(dāng) 時(shí)， 求以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程；
（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且 ，
①求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
②證明：.
【答案】（1）；
（2）①；②證明見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.
（2）①由函數(shù)零點(diǎn)的意義變形，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討方程有兩個(gè)根的值范圍；②利用零點(diǎn)的意義變形得，借助函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合分析法探討，構(gòu)造函數(shù)推理論證即可.
【小問(wèn)1詳解】
函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，
所以切線方程為：.
【小問(wèn)2詳解】
①由，得，
令函數(shù)，則有，求導(dǎo)得，
由，得，在上單調(diào)遞增；
在單調(diào)遞減，于是，
顯然，當(dāng)時(shí)，恒成立，因此，即，
所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是.
②由，得，兩式相加變形得：，
由，得，由，得，
不等式
，
令函數(shù)，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因此原不等式等價(jià)于，
由，得，即，則，而在上單調(diào)遞減，
因此
，
令函數(shù)，求導(dǎo)得，
令函數(shù)，求導(dǎo)得，則在上單調(diào)遞增，
則，即，則函數(shù)上單調(diào)遞減，因此，
所以成立.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問(wèn)題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，求解此類問(wèn)題的一般步驟：
①轉(zhuǎn)化，即通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題；
②列式，即根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；
③得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．X
P
0
1
2
P

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2024浙江省G5聯(lián)盟高二下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題無(wú)答案：

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浙江省G5聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題：

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