滿分：150分 考試時(shí)間：120分鐘
考生注意：
1．答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)姓名填寫在答題卡上．考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致．
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 直線l與直線垂直，則l的斜率是（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出已知直線的斜率，利用兩直線垂直的關(guān)系，即可求解.
【詳解】直線l與直線垂直，且的斜率，
則直線l的斜率為．
故選：D.
2. 下列向量中與共線的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)（）可得，進(jìn)行判斷.
【詳解】因?yàn)?，所以C選項(xiàng)滿足題意；
其他選項(xiàng)不存在，使寫成該選項(xiàng)的形式，所以其他選項(xiàng)均不滿足題意.
故選：C
3. 等比數(shù)列的公比是2，前n項(xiàng)和為，若，則（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和的概念求解.
【詳解】由題意：.
故選：B
4. 雙曲線C的離心率為2，右焦點(diǎn)為，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用已知可求得，進(jìn)而可求得，可求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【詳解】因?yàn)殡p曲線C的右焦點(diǎn)為，所以，
又雙曲線C的離心率為2，所以，解得，所以，
所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：A.
5. 圓與圓的位置關(guān)系為（ ）
A. 內(nèi)切B. 相交C. 外切D. 外離
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)圓心距與半徑的關(guān)系判斷兩圓的位置關(guān)系.
【詳解】因?yàn)閳A的圓心：，半徑；
圓，即的圓心：，半徑.
又，由，所以兩圓相交.
故選：B
6. 某工廠計(jì)劃今年1月份生產(chǎn)某產(chǎn)品100件，以后每個(gè)月都比上個(gè)月多生產(chǎn)件，為保證今年該產(chǎn)品的總產(chǎn)量超過1800件，則k的最小值為（ ）
A. 10B. 11C. 12D. 13
【答案】A
【解析】
【分析】每月產(chǎn)量構(gòu)成以今年1月份的產(chǎn)量100件為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.
【詳解】因?yàn)槟彻S計(jì)劃今年1月份生產(chǎn)某產(chǎn)品100件，以后每個(gè)月都比上個(gè)月多生產(chǎn)件，
所以每月的產(chǎn)量構(gòu)成以今年1月份的產(chǎn)量100件為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
由今年該產(chǎn)品的總產(chǎn)量超過1800件，所以，
解得，又，所以k的最小值為10.
故選：A.
7. 橢圓C上存在四個(gè)點(diǎn)與其兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成邊長為1的正六邊形，則C的長軸長為（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)正六邊形的邊角關(guān)系可求橢圓的長軸長.
【詳解】如圖：
在正六邊形中，邊長為1，所以，
在中，，，，所以.
所以，即橢圓的長軸長為：.
故選：A
8. 平行六面體中，，，則點(diǎn)B到直線的距離為（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取定空間的基底，利用空間向量基本定理及向量數(shù)量積，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算得解.
【詳解】以基底，則，
由，，
得，
，
，
在上的投影向量長度為：，
所以點(diǎn)B到直線的距離為．
故選：D
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 若數(shù)列滿足：，，則（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，B. 當(dāng)時(shí)，
C. 當(dāng)時(shí)，D. 當(dāng)時(shí)，
【答案】ABD
【解析】
【分析】時(shí)，可得，，再由數(shù)列是等比數(shù)列得到，判斷AB兩個(gè)選項(xiàng)；時(shí)，類推得到，再由，計(jì)算出，判斷CD兩個(gè)選項(xiàng).
【詳解】時(shí)，，所以，，故A正確；
由得，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，，故B正確；
時(shí)，，所以，，，
以此類推，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，從而，故C錯(cuò)誤；
由得，
所以，故D正確；
故選：ABD.
10. 如圖，棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為BD，的中點(diǎn)，若點(diǎn)G滿足（，），則（ ）
A. 平面
B. 當(dāng)時(shí)，平面
C. 當(dāng)時(shí)，平面
D. 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)G到平面的距離為
【答案】AC
【解析】
【分析】利用共面向量定理可判斷A；以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量，利用向量法計(jì)算可判斷BCD.
【詳解】因?yàn)椋怨裁?，又均過點(diǎn)，
所以共面，所以平面，故A正確；
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，則，
所以平面的一個(gè)法向量為，
當(dāng)時(shí)，，所以，
所以，又，所以不平行于平面，故B錯(cuò)誤；
所以，所以，所以平面，故C正確；
當(dāng)時(shí)，，
所以點(diǎn)G到平面的距離為，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
11. 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過拋物線C：的焦點(diǎn)F，且與C交于A，B兩點(diǎn)，分別過A，B作C的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，，則（ ）
A. B. 的面積等于的面積
C. 當(dāng)時(shí)，D. 的最小值為4
【答案】ABD
【解析】
【分析】方法一：根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)可確定的值，判斷A的真假；把直線方程與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理表示出與的關(guān)系，可判斷BCD的真假.
方法二：設(shè)直線AB傾斜角為，用表示與的面積，判斷B的真假；根據(jù)條件確定的位置關(guān)系，判斷C的真假；用表示，可判斷D的真假.
【詳解】如圖：
解法一：設(shè)，，不妨設(shè)，
由，得，所以.
對(duì)于A，因?yàn)?，所以，所以A正確.
對(duì)于B，，，所以B正確．
對(duì)于C，因?yàn)椋?，又，所以，?br>此時(shí)，，，，所以C錯(cuò)誤．
對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．
所以D正確．
故選：ABD
解法二：設(shè)直線AB傾斜角為，
對(duì)于A，因?yàn)?，所以，所以A正確.
對(duì)于B，，O到直線AB的距離，
所以，所以B正確．
對(duì)于C，若，則，所以，
此時(shí)A，B關(guān)于x軸對(duì)稱，與矛盾，所以C錯(cuò)誤．
對(duì)于D，，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．所以D正確．
故選：ABD．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 軸被圓截得的弦長為______．
【答案】2
【解析】
【分析】求圓與軸的交點(diǎn)，可得弦長.
【詳解】已知圓：，令得：或.
所以圓與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：，.
所以弦長為：.
故答案為：2
13. 過雙曲線C：的右焦點(diǎn)F作C的一條漸近線的垂線，垂足為H．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則______．
【答案】2
【解析】
【分析】首先根據(jù)漸近線斜率得出，從而得到，結(jié)合，解直角三角形即可得到結(jié)果.
【詳解】如圖所示，
，，
，.
故答案為：2.
14. 數(shù)列滿足，則______；記為|的前n項(xiàng)和，若關(guān)于n的方程有解，則正整數(shù)的所有取值為______．
【答案】 ①. ②. 7和9
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式；根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，可以把問題轉(zhuǎn)化成為整數(shù)的討論.
【詳解】解法一：由，得．①
當(dāng)時(shí)，，所以．
當(dāng)時(shí)，有．②
①－②得，即．
因?yàn)榉?，所以，?br>因?yàn)椋?br>顯然為10的約數(shù)，
時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，.
綜上，正整數(shù)的所有取值為7和9．
解法二：由．①
當(dāng)時(shí)，有，②，所以．③
①－③得，即．又，故．下同解法一．
故答案為：；7和9
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知圓C的一條直徑的端點(diǎn)分別為，．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線l：與圓C相切于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）方法1：根據(jù)直徑確定圓心和半徑，可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
方法2：設(shè)圓C上任一點(diǎn)，根據(jù)可得圓的一般方程，再配方化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）方法1：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，利用幾何法確定切線方程，再結(jié)合為直角三角形求；
方法2：求出切線方程，再確定的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求.
【小問1詳解】
方法1：因?yàn)閳AC以線段PQ為直徑，所以圓心．
半徑，
所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
方法2：設(shè)圓C上任一點(diǎn)，因?yàn)閳AC以線段PQ為直徑，所以．
又因?yàn)椋?，所以?br>即，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
【小問2詳解】
方法1：因?yàn)橹本€l：與圓C相切，所以，所以，
所以或，即或，因?yàn)?，所以?br>所以直線l的方程為．所以，
又因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以?br>方法2：因?yàn)橹本€l：與圓C相切，所以，
所以，所以或，即或．
因?yàn)?，所以，所以直線l的方程為．所以．
由，，解得，
所以，所以．
16. 已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．
（1）求和；
（2）令，證明：．
【答案】（1），
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式求解即可，
（2）利用裂項(xiàng)相消法結(jié)合不等式求解即可.
【小問1詳解】
因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以．
又，所以，即．
又因?yàn)?，所以，所以公差，所以?br>．
【小問2詳解】
由（1）知，
所以．
所以．
又因?yàn)?，所以，即，所以?br>17. 已知點(diǎn)，點(diǎn)M與N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線AM，AN斜率之積是，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為．
（1）求方程；
（2）若直線l與交于P，Q兩點(diǎn)，且．
（ⅰ）當(dāng)l與y軸垂直時(shí)，求的面積；
（ⅱ）證明：l過定點(diǎn)．
【答案】（1）
（2）（?。?；（ⅱ）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意列出斜率的等式化簡為橢圓的一般方程，
（2）（ⅰ）先求出直線AP方程，再聯(lián)立直線和橢圓的方程解出點(diǎn)坐標(biāo),求出弦長結(jié)合三角形面積公式求解即可，（ⅱ）結(jié)合對(duì)稱性，若直線l過定點(diǎn)，則定點(diǎn)必在y軸上，猜測出定點(diǎn)的坐標(biāo)為，然后證明即可.
【小問1詳解】
（1）設(shè)，，
則直線AM，AN的斜率分別為，，且，
依題意有，
所以，所以的方程為．
【小問2詳解】
（2）（?。┮?yàn)閘與y軸垂直，所以P，Q關(guān)于y軸對(duì)稱，因?yàn)?，所以?br>又，不妨設(shè)P在Q的左側(cè)，則直線AP的傾斜角為，所以直線AP方程為，
聯(lián)立的方程，消去y化簡得，，解得（舍去），
所以，所以，
所以，所以的面積為．
（ⅱ）設(shè)，，由題意，l斜率存在，
設(shè)l：，聯(lián)立的方程，
消去y化簡得，，
，
，，
由題意得，所以
所以，即，解得或，
時(shí)，l：點(diǎn)A，不符合題意，
所以，此時(shí)，所以l過定點(diǎn)．
18. 如圖，在四棱錐中，平面PAD，．
（1）證明：平面ABCD；
（2）若底面ABCD是正方形，．E為PB中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱PD上，且平面AEF與平面ABCD夾角的余弦值為．
（?。┣驪F；
（ⅱ）平面AEF交PC于點(diǎn)G，點(diǎn)M在平面PBC上，求EG與平面MAD所成角的正弦值的取值范圍．
【答案】（1）證明見解析
（2）（?。?；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）由線面垂直得到線線垂直，再由線面垂直的判定定理證明線面垂直；
（2）（ⅰ）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)和向量的坐標(biāo)，由點(diǎn)是上的一點(diǎn)得到進(jìn)而得到平面的法向量的坐標(biāo)，再由（1）中平面ABCD得到是平面ABCD的一個(gè)法向量，利用兩平面夾角的余弦值求得的值，進(jìn)而得到；
（ⅱ）利用平面的法向量，確定點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到的坐標(biāo)，由點(diǎn)M在平面PBC上，可設(shè)，從而得到平面MAD的法向量，從而可以用表示出EG與平面MAD所成角的正弦值的取值范圍，利用二次函數(shù)的值域得到正弦值的取值范圍.
【小問1詳解】
因?yàn)槠矫鍼AD，平面PAD，所以．
又，平面ABCD，平面ABCD，，
所以平面ABCD．
【小問2詳解】
以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，如圖．
（?。?，，，
，，，設(shè)，
則．
設(shè)平面AEF的法向量為，則即，
取，得，，
所以是平面AEF的一個(gè)法向量，
因?yàn)槠矫鍭BCD，所以是平面ABCD的一個(gè)法向量．
因?yàn)槠矫鍭EF與平面ABCD的夾角的余弦值為，
所以，得，所以．
（ⅱ）設(shè)，則．
因?yàn)闉槠矫鍭EGF的一個(gè)法向量，所以，
所以，即，得，
所以，．
，，，，，，
因?yàn)镸在平面PBC上，所以，
所以．
設(shè)平面MAD的法向量，則即，
取得，所以是平面MAD的一個(gè)法向量，
設(shè)EG與平面MAD所成角為，則
因?yàn)?，所?br>即EG與平面MAD所成角的正弦值的取值范圍為．
19. 已知數(shù)列滿足，，．構(gòu)造一系列點(diǎn)如下：，，，…，．
（1）求的面積；
（2）證明：點(diǎn)在曲線上；
（3）的面積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
【答案】（1）
（2）證明見解析 （3）是，2
【解析】
【分析】（1）根據(jù)定義得到點(diǎn)、的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線的方程，到的距離，，由三角形的面積公式求得的面積；
（2）設(shè)，則，依據(jù)遞推關(guān)系得到，從而得到數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，即，所以點(diǎn)在上；
（3）時(shí)，計(jì)算得，時(shí)，直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離，由三角形的面積公式及遞推關(guān)系得，從而的面積為定值.
【小問1詳解】
由題意，，，，直線的方程為．
到的距離，又，
所以的面積．
【小問2詳解】
設(shè)，當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br>所以，
又因?yàn)?，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，即，
所以在曲線上.
【小問3詳解】
由題意知，，，
當(dāng)時(shí)，，，，的面積．
當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，
所以直線的方程為：．
點(diǎn)到直線的距離：
又因?yàn)椋?br>所以
．
綜上所述，的面積為定值2．
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：新定義與數(shù)列、直線問題相結(jié)合
在（1）中由遞推關(guān)系得到點(diǎn)、的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式、直線的點(diǎn)斜式方程、點(diǎn)到直線的距離、三角形的面積公式得到的面積，這種思路同樣可以用于（3），當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，分別表示出直線的方程、點(diǎn)到直線的距離、，再利用三角形的面積公式，結(jié)合遞推關(guān)系就可以得到，考查了推理論證、運(yùn)算求解的能力，化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、特殊與一般的數(shù)學(xué)思想.

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