（完卷時(shí)間：120分鐘；滿分：150分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知向量，，且，則（ ）
A. -2B. -1C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】有，可得，再根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算建立方程，解方程即可.
【詳解】因?yàn)?，所?br>又，
所以，解得
故選：C
2. 經(jīng)過點(diǎn)，且與直線平行的直線的方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】兩直線平行，斜率相等，所以與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線可以設(shè)為Ax＋By＋＝0，代入經(jīng)過的點(diǎn)，即可求出﹒
【詳解】令與直線平行的直線方程為，
由題意可得，點(diǎn)在直線上，所以
解得，
所以所求直線的方程為：
故選：B
3. 在等比數(shù)列中，若，，則（ ）
A. 6B. 8C. D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】由等比數(shù)列的定義求出公比q，從而可求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得解.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為
因?yàn)樵诘缺葦?shù)列中，，，所以
所以，所以，
故選：D
4. 如圖，在長方體中，點(diǎn)為的中點(diǎn).設(shè)，，，則（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求解.
【詳解】，
故選：B
5. 已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則點(diǎn)到軸的距離為（ ）
A. 2B. 3C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用拋物線的定義求解即得.
【詳解】拋物線的準(zhǔn)線為，設(shè)點(diǎn)，則，解得，
所以點(diǎn)到軸的距離為4.
故選：D
6. 已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，，則的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，，，可得的面積.
【詳解】在橢圓中，，，，
則，
點(diǎn)在上，，所以，
則.
故選：A
7. 已知數(shù)列滿足，，則的前25項(xiàng)和為（ ）
A. 2B. 12C. 13D. 14
【答案】D
【解析】
【分析】通過計(jì)算出等的值可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列是一個(gè)周期為3的周期數(shù)列，從而可得前25項(xiàng)和．
【詳解】
由以上可知，數(shù)列是一個(gè)周期為3周期數(shù)列，，
又，
又
的前25項(xiàng)和為.
故選：D.
8. 已知為原點(diǎn)，，若圓上存在點(diǎn)使得，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由確定的軌跡方程，通過與圓由交點(diǎn)，求解即可；
【詳解】設(shè)，由可得，
化簡得的軌跡方程為
，所以的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
若圓上存點(diǎn)使得，
則圓與圓有公共點(diǎn).因?yàn)閮蓤A的圓心距為4，所以，
解得：，
所以.
故選：A
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知點(diǎn)，，，則（ ）
A. 是直角三角形
B. 邊上的高所在直線的方程是
C. 面積是1
D. 邊上的中線所在直線的方程是
【答案】ABC
【解析】
【分析】由，可判斷A；邊上的高斜率為0，可求邊上的高所在直線的方程，判斷B；求，由直角三角形面積判斷C；求出點(diǎn)，中點(diǎn)，再求，即可得邊上的中線所在直線的方程，判斷D.
【詳解】根據(jù)題意，，，
則，所以，是直角三角形，A正確；
由，所以邊上的高斜率為0，
邊上的高則所在直線的方程是，B正確；
由，所以，C正確；
由點(diǎn)，中點(diǎn)，則，
所以邊上的中線所在直線的方程是，
即，D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
10. 將邊長為2的正方形（圖1）沿對(duì)角線折成直二面角（圖2），則（ ）
A. B.
C. 直線與所成角為D. 點(diǎn)到平面的距離是
【答案】BD
【解析】
【分析】對(duì)于A，由題意可得折疊后AB與CD異面，可判斷A；對(duì)于B，取BD中點(diǎn)O，連接AO，CO，AC，證明平面，即可判斷B；對(duì)于C，通過取分別取的中點(diǎn)，利用中位線平移異面直線，得出異面直線所成角為，證明為等邊三角形，即可判斷C；對(duì)于D，利用等體積法即可求得點(diǎn)到平面的距離.
【詳解】對(duì)于A，折疊后，AB與CD異面，并不平行，故A錯(cuò)；
對(duì)于B，取BD中點(diǎn)O，連接AO，CO，AC，
由題意可得，，
所以平面,又平面，所以，故B正確；
對(duì)于C，分別取的中點(diǎn),連接，
則，所以（或補(bǔ)角）為直線與所成角，
因?yàn)橹倍娼?，又，平面平面?br>所以平面，
取BO點(diǎn)M，連接EM，易知，所以平面，
平面，所以，
在中，，
，即，
所以，所以，
即直線與所成角為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由選項(xiàng)C知，平面，又平面，所以，
因?yàn)椋?br>所以，
在中，，
所以，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離是h，
，
解得，故D正確.
故選：BD
11. 已知曲線，則（ ）
A. 點(diǎn)在曲線上
B. 曲線關(guān)于軸對(duì)稱
C. 直線與曲線無交點(diǎn)
D. 當(dāng)直線與曲線恰有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，的取值范圍為
【答案】ACD
【解析】
【分析】直接將點(diǎn)代入曲線方程即可判斷A；上的任意一點(diǎn)，將關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為代入的方程，方程是否變化可判斷B；通過分的正負(fù)四種情況去掉絕對(duì)值符號(hào)得到曲線方程后，再結(jié)合雙曲線性質(zhì)可判斷C；由C知，直線只可能與會(huì)有兩個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立方程，利用判別式和數(shù)形即可即可判斷D.
【詳解】將代入曲線的方程可得，所以A正確；
設(shè)為上的點(diǎn)，則，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，代入的方程為，所以B錯(cuò)誤；
曲線的方程化簡為
根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可知直線為曲線的漸近線，所以與曲線無交點(diǎn)，所以C正確；
由可得，，所以，由圖象知，
當(dāng)時(shí)直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以當(dāng)直線與曲線恰有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，的取值范圍為，所以D正確.
故選：ACD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 準(zhǔn)線為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_______________
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)準(zhǔn)線方程寫出拋物線方程即可.
【詳解】由拋物線的準(zhǔn)線為，故，則拋物線方程為.
所以拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：
13. 某汽車集團(tuán)計(jì)劃大力發(fā)展新能源汽車，2024年全年生產(chǎn)新能源汽車10000輛，如果在后續(xù)的幾年中，后一年的產(chǎn)量在前一年的基礎(chǔ)上提高20%，那么2032年全年生產(chǎn)新能源汽車約_____輛. （參考數(shù)據(jù)：，，）
【答案】43000
【解析】
【分析】將其轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，運(yùn)用等比數(shù)列通項(xiàng)知識(shí)求基本量即可求出結(jié)果
【詳解】根據(jù)題意，從2024年開始，每一年新能源汽車的產(chǎn)量構(gòu)成等比數(shù)列，則
，公比，
所以，
則2032年全年約生產(chǎn)新能源汽車為（輛），
故2032年全年生產(chǎn)新能源汽車約43000輛.
故答案為：43000.
14. 如圖，是雙曲線的右焦點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線分別交的左、右兩支于兩點(diǎn).若，且線段的中
點(diǎn)在的一條漸近線上，則的離心率為_____.
【答案】
【解析】
【分析】因?yàn)镺，M為中點(diǎn)，得出，結(jié)合，得出，用點(diǎn)到直線的距離公式可以求得，進(jìn)而求得，從而求得，，再結(jié)合雙曲線定義即可求解.
【詳解】如圖，設(shè)的左焦點(diǎn)為，連接，，
與漸近線的交點(diǎn)為，由題意可知M為的中點(diǎn)，
由雙曲線對(duì)稱性可知，O為的中點(diǎn)，所以，
由得，，所以，
又，漸近線，
所以，
所以，所以，，
又由雙曲線的定義可知，
所以，所以，所以.
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知等差數(shù)列滿足，.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求的前項(xiàng)和的最大值.
【答案】（1）
（2）9
【解析】
【分析】（1）在等差數(shù)列中，根據(jù)題意建立方程組，解方程組即可求得首項(xiàng)和公差，從而得通項(xiàng)公式；
（2）思路一：由等差數(shù)列求和公式可得，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性可求最值；思路二：由易知當(dāng)時(shí)，；從第4項(xiàng)起，均為負(fù)項(xiàng)，所以前3項(xiàng)的和為最大值.
【小問1詳解】
設(shè)等差數(shù)列的公差為，
依題意，得
解方程組，得
所以；
【小問2詳解】
解法一：
.
因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，的最大值為9.
解法二：（1）同解法一；
（2）由，可得：
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
所以.
即當(dāng)時(shí)，最大，
因?yàn)?，所以的最大值?.
16. 已知圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，且圓心在直線上.
（1）求的方程；
（2）若直線與交于A，B兩點(diǎn)，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解法一：設(shè)圓的表示方程，根據(jù)條件利用待定系數(shù)法，即可求解；解法二：首先求的垂直平分線方程，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)求圓心和半徑，即可求解；
（2）解法一：代入直線與圓相交的弦長公式，即可求解；解法二：聯(lián)立直線和圓的方程，求交點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求兩點(diǎn)間距離.
【小問1詳解】
解法一：設(shè)圓的方程為，
依題意，得
解方程組，得
所以圓的方程為；
解法二：（1）設(shè)線段的中點(diǎn)為，由，，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，
線段的垂直平分線的方程是，
由得圓心的坐標(biāo)為，
圓的半徑，
所以圓的方程為；
【小問2詳解】
解法一：圓心到直線的距離，
所以.
解法二：由得，，
設(shè)，，，
所以，，
所以，，
所以.
17. 如圖，在四棱錐中，平面，，，，，.
（1）若為棱的中點(diǎn)，求證：平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩平面的法向量求其夾角余弦值.
【小問1詳解】
設(shè)棱的中點(diǎn)為，連接，，如圖所示，
因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，所以，
又因?yàn)椋?br>所以，，
所以四邊形是平行四邊形，所以.
又平面，平面，
所以平面.
【小問2詳解】
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，AD，所在直線分別為軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
則，，，，
所以，，，，
取平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面的法向量為，
則即
令，得.
所以，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
18. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記.
（i）求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（ii）若對(duì)任意的，，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）應(yīng)用計(jì)算化簡得出等比數(shù)列進(jìn)而得出通項(xiàng)公式；
（2）（i）應(yīng)用對(duì)數(shù)運(yùn)算得出，再應(yīng)用裂項(xiàng)相消計(jì)算求和；（ii）分和時(shí)結(jié)合作差法證明數(shù)列的單調(diào)性計(jì)算求參.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>故當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得：，
即，
當(dāng)時(shí)，，解得：，
可知數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
所以.
【小問2詳解】
（i）可知：
.
所以
；
（ii）對(duì)任意的，，
即對(duì)任意的，，
等價(jià)于對(duì)任意的，，
當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立；
當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于對(duì)任意的，，
設(shè)，
因?yàn)椋?br>所以是單調(diào)遞減數(shù)列，則，所以，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
19. 已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，經(jīng)過點(diǎn)，.
（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）定義：若橢圓上的兩個(gè)點(diǎn)，滿足，則稱M，N為該橢圓的一個(gè)“共軛點(diǎn)對(duì)”，記作.
（i）證明：存在兩個(gè)點(diǎn)使得是的“共軛點(diǎn)對(duì)”，并求的坐標(biāo)；
（ii）設(shè)（i）中的兩個(gè)點(diǎn)分別為，，已知過點(diǎn)的直線與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，則直線上是否存在定點(diǎn)，使得直線與的斜率之積為定值.若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）
（2）（i）證明見解析；，；（ii）存在，
【解析】
【分析】（1）由點(diǎn)在橢圓上，代入橢圓方程求解即可；
（2）（i）由新定義列出等式求解即可；
（ii）設(shè)，直線，，，聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理得到，再由其為定值得到求解即可.
【小問1詳解】
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
依題意，得，
解方程組，得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問2詳解】
（i）設(shè)，
根據(jù)“共軛點(diǎn)對(duì)”定義可知點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，
解方程組，得或，
所以有兩個(gè)點(diǎn)滿足“共軛點(diǎn)對(duì)”，且點(diǎn)的坐標(biāo)為，.
（ii）由（i）得，直線的方程為.
假設(shè)存在定點(diǎn)，依題意可知直線斜率存在，
設(shè)直線，即，
由消去得，，
其中，所以，
設(shè)，，
，，
所以
，
設(shè)為定值，則，
當(dāng)且僅當(dāng)
解得，，
所以存在定點(diǎn)，使得直線與的斜率之積為定值.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.

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