一、單選題（本大題共8小題）
1．下列各組向量中，可以作為基底的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．已知，，，則（ ）
A．A、B、D三點(diǎn)共線 B．A、B、C三點(diǎn)共線
C．B、C、D三點(diǎn)共線D．A、C、D三點(diǎn)共線
3．已知方向相同，且，則等于（ ）
A．16B．256C．8D．64
4．已知向量，，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
5．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，，則（ ）
A．B．C．2D．
6．在中，為邊上的中線，，則（ ）
A．B．
C．D．
7．如圖，在三角形中，已知邊上的兩條中線相交于點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
8．在中，內(nèi)角A，，的對(duì)邊分別為，，，已知，則（ ）
A．4049B．4048C．4047D．4046
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知向量和實(shí)數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．若，則或
B．若且，則當(dāng)時(shí)，一定有與共線
C．若
D．若且，則
10．已知函數(shù)部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）.
A．
B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C．在單調(diào)遞增
D．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象
11．若的內(nèi)角的對(duì)邊分別是，外接圓的半徑為，若，，，則下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知向量，，若，則 .
13．在中，角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，若，且，則三角形的形狀為 .
14．已知是面積為的等邊三角形，且 其中實(shí)數(shù)滿足 ，則的最小值為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知，，且與的夾角為120°，求：
(1)；
(2)若向量與平行，求實(shí)數(shù)的值．
16．在中，角的對(duì)邊分別為，且.
(1)求；
(2)若，求的面積.
17．某海域的東西方向上分別有兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)（如圖），它們相距海里.現(xiàn)有一艘輪船在點(diǎn)發(fā)出求救信號(hào)，經(jīng)探測(cè)得知點(diǎn)位于點(diǎn)北偏東，點(diǎn)北偏西，這時(shí)，位于點(diǎn)南偏西且與點(diǎn)相距海里的點(diǎn)有一救援船，其航行速速為海里/小時(shí).
(1)求點(diǎn)到點(diǎn)的距離；
(2)若命令處的救援船立即前往點(diǎn)營(yíng)救，求該救援船到達(dá)點(diǎn)需要的時(shí)間.
18．在平面四邊形中，，且.
(1)中，設(shè)角、、的對(duì)邊分別為、、，若.
①當(dāng)時(shí)，求的值；
②當(dāng)時(shí)，求ac的最大值.
(2)若，當(dāng)變化時(shí)，求長(zhǎng)度的最大值.
19．定義函數(shù)的“源向量”為，非零向量的“伴隨函數(shù)”為，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)若向量的“伴隨函數(shù)”為，求在的值域；
(2)若函數(shù)的“源向量”為，且以為圓心，為半徑的圓內(nèi)切于正（頂點(diǎn)恰好在軸的正半軸上），求證：為定值；
(3)在中，角的對(duì)邊分別為，若函數(shù)的“源向量”為，且已知，求的取值范圍．
參考答案
1．【答案】B
【詳解】對(duì)于A，，A不是；
對(duì)于B，由，得不共線，B是；
對(duì)于C，，向量共線，C不是；
對(duì)于D，，向量共線，D不是.
故選B．
2．【答案】A
【詳解】，，，
，，與共線，
因?yàn)閮上蛄坑幸粋€(gè)公共點(diǎn)B，、B、D三點(diǎn)共線，故A正確．
由，，可得，
所以不存在使得，故A、B、C三點(diǎn)不共線，故B不正確；
由，，可得，
所以不存在使，故B、C、D三點(diǎn)不共線，故C不正確；
因?yàn)?，?br>所以，
又，可得，
所以不存在使，故A、C、D三點(diǎn)不共線，故D不正確；
故選A.
3．【答案】A
【詳解】因
,則.
故選A.
4．【答案】B
【詳解】，，
所以在方向上的投影向量為
故選B.
5．【答案】B
【詳解】根據(jù)正弦定理可得，
即，解得，
故選B.
6．【答案】A
【詳解】
因?yàn)椋?br>由已知可得，，
所以，，
所以，.
故選A.
7．【答案】D
【詳解】法一：分別是的中點(diǎn)，.
與的夾角等于，
，
則；
法二：以為軸，過點(diǎn)作與垂直的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則
，
則
；
法三：在中，由余弦定理，
又因?yàn)镻為的重心，則，
在中再由余弦定理，
在中由余弦定理，
在中，由余弦定理，則
.
故選D.
8．【答案】A
【詳解】在中，，可得，
即，故，
即，所以，
所以，即，所以
故.
故選A.
9．【答案】BC
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：若，則或或，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B選項(xiàng)：根據(jù)共線定理，若且，則當(dāng)且僅當(dāng)有唯一實(shí)數(shù)，使得時(shí)，一定有與共線，B正確；
對(duì)于C選項(xiàng)：當(dāng)與均不是零向量時(shí)，由，可得，即，
故與的夾角為或，可得；
當(dāng)與至少有一個(gè)是零向量時(shí)，顯然；
綜上所述：，C正確；
對(duì)于D選項(xiàng)：∵且，則，
∴，但不能確定，D錯(cuò)誤．
故選BC．
10．【答案】ACD
【詳解】根據(jù)圖象可知，即，
所以，解得，所以A選項(xiàng)正確，
此時(shí)，
將代入得，即，
所以，解得，
又，所以，，
B選項(xiàng)，，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
C選項(xiàng)，由得，，
是正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，所以在單調(diào)遞增，C選項(xiàng)正確.
D選項(xiàng)，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到
，
所以D選項(xiàng)正確.
故選ACD．
11．【答案】ABD
【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，，則，即，故A項(xiàng)正確；
對(duì)于B項(xiàng)，，則，故B項(xiàng)不成立；
對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)椋?br>所以，故C項(xiàng)正確；
對(duì)于D項(xiàng)，，
由，可知均為銳角，所以，
又，所以，
所以，
所以，故D項(xiàng)正確.
故選ABD.
12．【答案】0
【詳解】，由于，
所以.
13．【答案】等腰三角形
【詳解】由余弦定理，移項(xiàng)可得，
由三角形的面積公式得.
將上述兩個(gè)公式代入可得：
，所以.
所以，又因?yàn)?，所?
表示與同向的單位向量，表示與同向的單位向量.
以這兩個(gè)單位向量為鄰邊作平行四邊形，
則其對(duì)角線平分（菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角），
所以表示的角平分線方向的向量.
因?yàn)?，所以的角平分線垂直于，
根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知.
所以是等腰三角形，又因?yàn)?，所以?
綜上，三角形的形狀為等腰三角形.
14．【答案】
【詳解】依題意，解得，延長(zhǎng)至，使得，如圖，
因?yàn)椋?br>所以點(diǎn)在直線上，取線段的中點(diǎn)，連接，
則，
顯然當(dāng)時(shí)，有最小值，
又易知，，所以的最小值為，所以，
故的最小值為．
15．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1），
所以.
（2）由于向量與平行，
所以存在實(shí)數(shù)，使得，
所以，解得.
16．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>由正弦定理，可得，
即，
化簡(jiǎn)得，
因?yàn)?，可得，所以?br>因?yàn)?，所?
（2）因?yàn)榍遥?br>由余弦定理，可得，
即，解得或（舍去），
故的面積為.
17．【答案】(1)
(2)2小時(shí)
【詳解】（1）由題意知海里，
，
，
在中，由正弦定理得，
，
（海里）.
（2）在中，，
（海里），由余弦定理得
，
（海里），則需要的時(shí)間（小時(shí)）．
答：救援船到達(dá)點(diǎn)需要2小時(shí)．
18．【答案】(1)①16；②
(2)
【詳解】（1）①當(dāng)時(shí)，由正弦定理可得，故
.
②當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，故均為銳角，作于.
由圖可得，，由可得
，故，則
.
.
故
，當(dāng)且僅當(dāng)，
即時(shí)取等號(hào)，故的最大值為
（2）設(shè)，由余弦定理，即.
由正弦定理可得.
則，
.
故當(dāng)時(shí)，取最大值，即的最大值為.
19．【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)
【詳解】（1）函數(shù)的“源向量”為，
所以，，
則，則當(dāng)時(shí)，
則當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)的值域?yàn)?br>（2）因?yàn)?，則，則，
又，所以），
且，從而，
，
則
；
因此可得為定值.
（3）如下圖所示：
函數(shù)的“源向量”為，
則，則
則
則又，
即，
所以，
因?yàn)?，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
又因?yàn)楫?dāng)頂點(diǎn)無限接近頂點(diǎn)，邊無限接近0，即無限接近0，
綜上所述，
令，則
從而，其中，
所以，
即的取值范圍．

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