1．集合用列舉法表示為（ ）
A．B．C．D．
2．命題“”的否定為（ ）
A．B．
C．D．
3．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
4．下列命題為真命題的是（ ）
A．，當(dāng)時，
B．集合與集合是相同的集合
C．若，則D．所有的素數(shù)都是奇數(shù)
5．若命題：“，使”是真命題，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
6．已知，那么命題的一個必要不充分條件是（ ）
A．B．C．D．
7．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)在玩一個猜數(shù)字游戲，甲、乙、丙共同寫出三個集合：，，然后他們?nèi)烁饔靡痪湓拋碚_描述“”表示的數(shù)字，并讓丁同學(xué)猜出該數(shù)字，以下是甲、乙、丙三位同學(xué)的描述，甲：此數(shù)為小于5的正整數(shù)；乙：是的必要不充分條件；丙：是的充分不必要條件．則“”表示的數(shù)字是（ ）
A．3或4B．2或3C．1或2D．1或3
8．已知，則的最大值為（ ）
A．4B．6C．8D．10
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分
9．已知，則（ ）
A．B．C．D．
10．已知不超過5的實數(shù)組成的集合為，則（ ）
A．B．C．D．
11．用表示非空集合A中元素的個數(shù)，定義，已知集合，則下面正確結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．“”是“”的充分不必要條件D若，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．若全集，集合，則圖中陰影部分表示的集合為______．
13．已知，則的取值范圍是______．
14．設(shè)集合，若，則實數(shù)的取值范圍為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）已知全集，集合或．
（1）求；
（2）求．
16．（15分）已知非空集合．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分而不必要條件，求實數(shù)的取值范圍．
17．（1）已知，求的最小值；
（2）已知，求的最大值．
18．（17分）已知集合。
（1）若是空集，求的取值范圍；
（2）若中只有一個元素，求的值，并求集合；
（3）若中至少有一個元素，求的取值范圍．
19．（17分）學(xué)習(xí)了不等式的內(nèi)容后，老師布置了這樣一道題：
已知，且，求的最小值．
李雷和草梅梅兩位同學(xué)都“巧妙地用了”，但結(jié)果并不相同．
李雷的解法：由于，所以，而．那么，則最小值為．
韓梅梅的解法：由于，所以，而，則最小值為．
（1）你認(rèn)為哪位同學(xué)的解法正確，哪位同學(xué)的解法有錯誤?（錯誤的需說明理由）
（2）為鞏固學(xué)習(xí)效果，老師布置了另外兩道題，請你解決：
（i）已知，且，求證：；
（ii）已知，求的最小值．
重慶市九龍坡區(qū)渝西中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．【答案】B
【解析】易知．故選B．
2．【答案】C
【解析】
【分析】由存在量詞命題的否定的定義即可得到；
【詳解】由題意，命題“”的否定為，故選：C
3．【答案】A
【解析】
【分析】解不等式得到，根據(jù)交集概念得到答案．
【詳解】，
故．故選：A
4．【答案】C
【解析】
【分析】通過舉反例判斷AD；根據(jù)集合的表示方法即可判斷B；根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷C．
【詳解】對于A，當(dāng)時，，故A錯誤；
對于B，，所以，故B錯誤；
對于C，若，則，故C正確；
對于D，2是素數(shù)，但2是偶數(shù)，故D錯誤；
故選：C．
5．【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)“”是真命題得到方程有解，然后根據(jù)根的判別式列方程求解即可．
【詳解】因為“”是真命題，所以，解得．故選：C
6．【答案】B
【解析】
【分析】解不等式，然后根據(jù)充分條件和必要條件的定義逐項判斷即可．
【詳解】解得．
對于選項A，，反之不能推出，所以是命題的一個充分不必要條件，故A錯誤；
對于選項B，，反之不能推出，所以是命題的一個必要不充分條件，故B正確；
對于選項不能推出，反之也不能推出，所以是命題的一個既不充分也不必要條件，故C錯誤；
對于選項D，是命題的充要條件，故D錯誤．
故選：B
7．【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)此數(shù)為小于5的正整數(shù)得到，再推出是A的真子集，A是的真子集，從而得到不等式，求出，得到答案．
【詳解】因為此數(shù)為小于5的正整數(shù)，所以，
因為是的必要不充分條件，是的充分不必要條件，
所以是A的真子集，A是的真子集，
所以且，解得，所以“”表示的數(shù)字是1或2，故正確．故選：C．
8．【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合基本不等式運算求解，注意基本不等式成立的條件．
【詳解】因為，則，
可得，即，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
所以的最大值為4．
故選：A．
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分
9．【答案】ABC
【解析】因為，根據(jù)不等式的性質(zhì)，則，故A正確；同理：，故BC正確．
如，但不成立，故D錯誤．
故選ABC．
10．【答案】ACD
【解析】對于A，因為，所以，所以A正確，
對于B，因為，
所以，所以B錯誤，
對于，因為，所以，
所以，所以C正確，
對于D，因為，所以，
所以，所以D正確．
故選ACD．
11．【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)集合新定義，結(jié)合一元二次方程，逐項分析判斷即可．
【詳解】對于A，當(dāng)時，，此時，A正確；
對于B，當(dāng)時，，此時錯誤；
對于C，當(dāng)時，，則，而，因此；
當(dāng)時，而，則或3，若，滿足，解得；
若，則方程的兩個根都不是方程的根，
且，解得，因此“”是“”的充分不必要條件，C正確；
對于D，由，而，得或3，由C知：或，
因此錯誤．
故選：AC
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)圖中陰影部分表示求解即可.
【詳解】由題知：圖中陰影部分表示，
，則．
13．【答案】
【解析】
【分析】先設(shè)出，求出m，n，再結(jié)合不等式的性質(zhì)解出即可；
【詳解】設(shè)，
所以，解得，
所以，
又，所以，
又，
所以上述兩不等式相加可得，
即，
所以的取值范圍是，
故答案為：16
14．【答案】
【解析】
【分析】由可知，討論與，即可求出答案．
【詳解】因為，
所以，
當(dāng)時：，滿足題意；
當(dāng)時：無解；
所以實數(shù)的取值范圍為．
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．【解析】（1）集合或，
則或，
或，所以或．
（2）由或，得，
所以．
16．【解析】（1）已知集合．
當(dāng)時，或
又，
（2）因為“”是“”充分不必要條件，所以是的真子集，
又，
所以，
所以；
當(dāng)時，是的真子集；
當(dāng)時，也滿足是的真子集，
綜上所述：．
17．【答案】（1）9；（2）．
【解析】
【分析】（1）由于，則，然后利用基本不等式求解即可，
（2）由于，變形得，然后利用基本不等式求解即可．
【詳解】（1）因為，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以的最小值為9．
（2）因為，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
故的最大值為．
18．【解析】（1）是空集，
且，
，解得，
所以的取值范圍為：；
（2）①當(dāng)時，集合；
②當(dāng)時，，
，解得，此時集合．
綜上所述，當(dāng)時，集合，當(dāng)時，集合；
（3）A中至少有一個元素，則當(dāng)A中只有一個元素時，或；
當(dāng)A中有2個元素時，則且，即，解得且；
綜上可得，A中至少有一個元素時，．
19．【答案】（1）韓梅梅的解法正確；李雷的解法錯誤，理由見解析
（2）（i）證明見解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）在李雷的解法中，取得最小值時，與已知條件相矛盾，即可說明；
（2）將轉(zhuǎn)化為，根據(jù)基本不等式即可證明；由得，代入，結(jié)合基本不等式“1”的妙用即可求解．
【小問1詳解】
韓梅梅的解法正確，李雷的解法錯誤；
在李雷的解法中，，等號成立時；
，等號成立時，
那么取得最小值時，，
這與已知條件是相矛盾的．
【小問2詳解】
（i），且，
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．
（ii）因為，所以，
即
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
所以．

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