一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由題意可得.
故選：B.
2. 已知命題，，則命題p的否定是（ ）
A ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】由題意可得命題的否定為，.
故選：C.
3. 集合的真子集個數(shù)為（ ）
A. 63B. 64C. 32D. 31
【答案】A
【解析】由，得，所以，
又，所以，共6個元素，
所以集合的真子集個數(shù)為.
故選：.
4. 已知集合，，則中的元素個數(shù)為（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】A
【解析】當，分別為時，可得分別為；
當，分別時，可得分別為；
當，分別為時，可得分別為.
根據(jù)集合的互異性，可知，共有5個元素.
故選：.
5. 設(shè)a,b,c分別是的三條邊，則“為直角三角形”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】當時，易知是直角三角形，但，
所以充分性不滿足；
根據(jù)勾股定理，由，則是直角三角形，所以必要性可證.
故選：B.
6. 下列不等式成立的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，，則D. 若，則
【答案】D
【解析】對于A，若，則，此時不成立，故A錯誤；
對于B，若，則，此時不成立，
故B錯誤；
對于C，因為，所以，
又因為，所以，故，故C錯誤；
對于D，因為，，所以，
因為，，所以，所以，故D正確.
故選：D.
7. 已知正實數(shù)，滿足，則下列說法錯誤的是（ ）
A. 有最大值B. 有最小值
C. 有最大值D. 有最小值
【答案】C
【解析】對于A，因為正實數(shù)，滿足，所以，
當且僅當時取到最大值，故A正確；
對于B，因，為正實數(shù)，
所以，
當且僅當即時，取到最小時，故B正確；
對于C，因為，所以，故，
所以，
當且僅當，即時等號成立，由于，所以取不到等號，故C錯誤；
對于D，因為，所以，故，
所以，
所以當時取到最小值，故正確.
故選：C.
8. 已知集合，，若集合中恰好只有兩個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】A
【解析】由，即，解得，
所以；
由，即，
解得，
所以，
若集合中的兩個整數(shù)是、，則，解得；
若集合中的兩個整數(shù)是、，則，解得；
綜上可得實數(shù)a的取值范圍是或.
故選：A.
二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.
9. 下列命題中，是存在量詞命題且是真命題的是（ ）
A. 有些菱形是正方形B. 若x>2，則
C ，D. ，
【答案】ACD
【解析】對于A，命題等價于存在一個菱形是正方形，顯然正方形都滿足該條件，
故A正確；
對于B，等價于，則，這不是存在量詞命題，故B錯誤；
對于C，對x=1有，故C正確；
對于D，對x=0有，故D正確.
故選：ACD.
10. 命題“，”為假命題的充分不必要條件可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】由題意，命題的否定為為真命題，
，解得，
所以的充分不必要條件可以是或.
故選：CD.
11. 下列說法正確的是（ ）
A. 不等式的解集是
B. 若，則的最小值為
C. 若，，則
D. 已知正數(shù)，滿足，則的最小值為2
【答案】ABD
【解析】對于A：不等式，即，解得，
即不等式的解集是，故A正確；
對于B：因為，所以，
當且僅當，即時取等號，所以的最小值為，故B正確；
對于C：令，
所以，解得，
所以，因為，，
所以，，
所以，即，故C錯誤；
對于D：因為正數(shù)，滿足，
所以，即，
所以，當且僅當，即時取等號，
所以的最小值為，故D正確.
故選：ABD.
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
12. 已知集合，且，則的值為________.
【答案】3或2
【解析】由，且，得或，
解得或，
當時，，符合題意；
當時，，符合題意；
當時，，不符合元素的互異性，舍；
所以的值為3或2.
13. 已知集合或，，若，則實數(shù)m的取值范圍是________.
【答案】
【解析】解得，即，
∵，∴.
14. 已知正實數(shù)，滿足，若不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是________.
【答案】
【解析】因為正實數(shù)，滿足，
所以，
當且僅當，即，時取等號，
所以的最小值為，因為不等式有解，
所以，即實數(shù)的取值范圍為.
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 設(shè)全集，，，.求：，，.
解：因為，
，，，
所以，，，
，.
16. 設(shè)命題p：實數(shù)滿足，命題q：實數(shù)滿足.
（1）若，且命題p和q都是真命題，求實數(shù)x的取值范圍；
（2）若命題p是q成立的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.
解：（1）當時，解得，即命題p：，
解得，即命題q：，
當命題p和q都是真命題時，，
∴.
（2）由（1）知：命題q：，
解得，即命題p：，
由題意可知，即，∴，∴.
17. 已知集合，.
（1）若，求及；
（2）若，求實數(shù)的取值范圍.
解：（1）當時，，
又，所以，
，所以.
（2）因為，
當，即時，滿足；
當時，要使，則或，解得或；
綜上可得實數(shù)的取值范圍為.
18. 在國家大力推廣新能源汽車的背景下，各大車企紛紛加大對新能源汽車的研發(fā)投入，某車企研發(fā)部有100名研發(fā)人員，原年人均投入40萬元，現(xiàn)準備將這100名研發(fā)人員分成兩部分：燃油車研發(fā)部和新能源車研發(fā)部，其中燃油車研發(fā)部有x名研究人員，調(diào)整后新能源車研發(fā)部的年人均投入比原來增加，而燃油車研發(fā)部的年人均投入調(diào)整為萬元.
（1）若要使新能源車研發(fā)部的年總投入不低于調(diào)整前原100名研發(fā)人員的年總投入，求調(diào)整后新能源車研發(fā)人員最少為多少人？
（2）若要使新能源車研發(fā)部的年總投入始終不低于燃油車研發(fā)部的年總投入，求正整數(shù)m的最大值.
解：（1）令新能源車研發(fā)部的年總投入，
則，
令，則，
∵，∴，，
故調(diào)整后新能源車研發(fā)人員最少為34人.
（2）令燃油車研發(fā)部的年總投入，
則，
即在恒成立.
令，即在上恒成立，
，
是開口向上的二次函數(shù)，∵，
①對稱軸時，即，時在上恒成立；
②當對稱軸時，
即，，解得，
綜上所述：，
∴的最大值為：6.
19. 已知關(guān)于x的不等式的解集為.
（1）求實數(shù)的值；
（2）求關(guān)于的不等式的解集；
（3）若對任意的實數(shù)，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.
解：（1）由題意可得：的兩根為-1和2，
所以，
解得：.
（2）由（1）知：可化為：，
即：，
當，不等式為：，得，
當，的兩根為：和，
①，的解集為：，
②，（i） ，即時，的解集為：；
（ii） ，即時，的解集為：；
（iii） ，即時，的解集為：，
綜上：時，解集為；
時，解集為：；
時，解集為：；
時，解集為：；
時，解集為：.
（3）由（1）可化為：，
即，對任意恒成立，
令，可得，
易知，對稱軸為：，所以當時，，所以.
所以實數(shù)m的取值范圍為.

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