TOC \ "1-1" \n \h \z \u \l "_Tc184911805" 01考情透視·目標導航
\l "_Tc184911806" 02知識導圖·思維引航
\l "_Tc184911807" 03考點突破·考法探究
\l "_Tc184911808" 考點一 一元二次方程及解法
\l "_Tc184911809" 考點二 根的判別式
\l "_Tc184911810" 考點三 一元二次方程根與系數(shù)的關系
\l "_Tc184911811" 考點四 一元二次方程的實際應用
\l "_Tc184911812" 04題型精研·考向洞悉
\l "_Tc184911813" 命題點一 一元二次方程及其解法
\l "_Tc184911814" ?題型01 已知一元二次方程的解求未知數(shù)/代數(shù)式的值
\l "_Tc184911815" ?題型02 選用合適的方法解一元二次方程
\l "_Tc184911816" ?題型03 以注重過程性學習的形式考查解一元二次方程
\l "_Tc184911817" ?題型04 配方法的應用
\l "_Tc184911818" ?題型05 以開放性試題的形式考查解一元二次方程
\l "_Tc184911819" 命題點二 根的判別式
\l "_Tc184911820" ?題型01 不解方程，判斷一元二次方程根的情況
\l "_Tc184911821" ?題型02 根據(jù)根的情況確定一元二次方程中字母的值/取值范圍
\l "_Tc184911822" ?題型03 利用根的判別式求代數(shù)式的值
\l "_Tc184911823" ?題型04 以開放性試題的形式考查根的判別式
\l "_Tc184911824" 命題點三 一元二次方程根與系數(shù)的關系
\l "_Tc184911825" ?題型01 不解方程，求方程中參數(shù)的值
\l "_Tc184911826" ?題型02 不解方程，求出與方程兩根有關的代數(shù)式的值
\l "_Tc184911827" 命題點四 一元二次方程的實際應用
\l "_Tc184911828" ?題型01 變化率問題
\l "_Tc184911829" ?題型02 幾何圖形問題
\l "_Tc184911830" ?題型03 以真實問題情境為背景考查一元二次方程的實際應用
\l "_Tc184911831" ?題型04 以數(shù)學文化為背景考查一元二次方程的實際應用
01考情透視·目標導航
02知識導圖·思維引航
\l "_Tc184888344" 03考點突破·考法探究
考點一 一元二次方程及解法
一、一元二次方程基礎
一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式： ax2+bx+c=0(a≠0)，它的特征：等號左邊是一個關于未知數(shù)的二次多項式，等號右邊是0.其中：ax2是二次項，a是二次項系數(shù)，bx是一次項，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項.
【易錯/熱考】如果明確了ax2+bx+c=0為一元二次方程，就隱含了a≠0這個條件.
一元二次方程的根的定義：能使一元二次方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解（根）.
判斷一個數(shù)是不是一元二次方程的根：將此數(shù)代人這個一元二次方程的左、右兩邊，看是否相等，若相等，則是方程的根；若不相等，則不是方程的根.
二、一元二次方程的解法
基本思路：通過“降次”，將一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，分別解兩個一元一次方程，得到的兩個解就是原方程的解.
1. 直接開平方法（基礎）
例：形如ax2=b（a≠0）的一元二次方程：
當b＞0時，則x1=ba=，x2= -ba，此時方程有兩個不相等的實數(shù)根；
當b＝0時，則，此時方程有兩個相等的實數(shù)根；
當b＜0時，則方程無實數(shù)根.
2. 配方法（基礎）
配方的實質(zhì)：將方程化為的形式，當m≥0時，直接用直接開平方法求解.
用配方法解一元二次方程的一般步驟：
1）移項：將常數(shù)項移到等號右邊,含未知數(shù)的項移到等號左邊；
2）二次項系數(shù)化為1：如果二次項系數(shù)不是1，將方程兩邊同時除以二次項系數(shù)；
3）配方：方程兩邊都加上一次項系數(shù)一般的平方，把方程化為的形式；
4）求解：若q≥0時，直接用直接開平方法求解.
3. 公式法
用公式法解一元二次方程的一般步驟：
1）把方程化為一般形式，確定a、b、c的值(若系數(shù)是分數(shù)通常將其化為整數(shù)，方便計算)；
2）求出的值，根據(jù)其值的情況確定一元二次方程是否有解；
3）如果, 將a、b、c的值代入求根公式：；
4）最后求出.
【補充說明】求根公式的使用條件：
4. 因式分解法
依據(jù)：如果兩個一次因式的積為0，那么這兩個因式中至少一個為0，即若ab=0，則a=0或b=0.
步驟：
1）將方程右邊的各項移到方程左邊，使方程右邊為0；
2）將方程左邊分解為兩個一次因式相乘的形式；
3）令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；
4）求解.
【易錯易混】利用因式分解法解方程時，含有未知數(shù)的式子可能為零，所以在解方程時，不能在兩邊同時除以含有未知數(shù)的式子，以免丟根，需通過移項,將方程右邊化為0.
1．（2023·湖北孝感·一模）已知一元二次方程x-2x+3=0，將其化成二次項系數(shù)為正數(shù)的一般形式后，它的常數(shù)項是 ．
2．（2025·云南昆明·一模）若關于x的方程m+1x2+mx-1=0是一元二次方程，則m的取值范圍是（ ）
A．m≠-1B．m=1C．m>1D．m≠0
3．（2024·廣東深圳·中考真題）已知一元二次方程x2-3x+m=0的一個根為1，則m= ．
4．（2024·山東德州·中考真題）把多項式x2-3x+4進行配方，結(jié)果為（ ）
A．x-32-5B．x-322+74
C．x-322+254D．x+322+74
5．（2024·山東東營·中考真題）用配方法解一元二次方程x2-2x-2023=0時，將它轉(zhuǎn)化為(x+a)2=b的形式，則ab的值為（ ）
A．-2024B．2024C．-1D．1
考點二 根的判別式
根的判別式的定義：一般地，式子叫做一元二次方程根的判別式，通常用希臘字母Δ表示，即.
根的情況與判別式的關系：在實數(shù)范圍內(nèi)，一元二次方程的根的情況由其系數(shù)a，b，c，即確定.
1）?方程有兩個不相等的實根:x=-b±b2-4ac2a；
2）?方程有兩個相等的實根：x1=x2=-b2a；
3）?方程無實根.
【補充說明】由此可知，一元二次方程有解分兩種情況：1）有兩個相等的實數(shù)根；2）有兩個不相等的實數(shù)根．
【易錯易混】
1）使用一元二次方程根的判別式時，應先將方程整理成一般形式，再確定a，b，c的方程；
2）當時，方程有兩個相等的實數(shù)根，不能說方程只有一個實數(shù)根.
1．（2023·吉林·中考真題）一元二次方程x2-5x+2=0根的判別式的值是（ ）
A．33B．23C．17D．17
2．（2024·吉林長春·中考真題）若拋物線y=x2-x+c（c是常數(shù)）與x軸沒有交點，則c的取值范圍是 ．
3．（2023·四川瀘州·中考真題）若一個菱形的兩條對角線長分別是關于x的一元二次方程x2-10x+m=0的兩個實數(shù)根，且其面積為11，則該菱形的邊長為（ ）
A．3B．23C．14D．214
4．（2024·上海寶山·一模）一次函數(shù)y=-3x-a不經(jīng)過第三象限，關于x的方程ax2-3x+1=0的解的個數(shù)為 ．
5．（2024·四川眉山·二模）已知關于x的一元二次方程x2-3x=1-3m有實數(shù)根．
(1)求m的取值范圍；
(2)設方程兩實數(shù)根分別為x1、x2，且滿足x12+x22-x1x2≤15，求m的取值范圍．
QUOTE QUOTE 考點三 一元二次方程根與系數(shù)的關系
若一元二次方程的兩個根是，則與方程的系數(shù)a，b，c之間有如下關系：x1+x2＝-ba，x1?x2＝ca
【補充說明】
1）一元二次方程根與系數(shù)關系的使用條件：.
2）當一元二次方程的二次項系數(shù)為1時，如，其兩根關系為x1+x2＝-p， x1?x2＝q.
3）以兩個數(shù)為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是.
4）運用根與系數(shù)的關系和運用根的判別式一樣,都必須先把方程化為一般形式，以便正確確定a、b、c的值.
1．（2024·黑龍江綏化·中考真題）小影與小冬一起寫作業(yè)，在解一道一元二次方程時，小影在化簡過程中寫錯了常數(shù)項，因而得到方程的兩個根是6和1；小冬在化簡過程中寫錯了一次項的系數(shù)，因而得到方程的兩個根是-2和-5．則原來的方程是( )
A．x2+6x+5=0B．x2-7x+10=0
C．x2-5x+2=0D．x2-6x-10=0
2．（2024·四川巴中·中考真題）已知方程x2-2x+k=0的一個根為-2，則方程的另一個根為 ．
3．（2024·四川眉山·中考真題）已知方程x2+x-2=0的兩根分別為x1，x2，則1x1+1x2的值為 ．
4．（2023·青海西寧·中考真題）先化簡，再求值：aa2-b2-1a+b÷1a2-ab，其中a，b是方程x2+x-6=0的兩個根．
考點四 一元二次方程的實際應用
用一元二次方程解決實際問題的步驟：
審：理解并找出實際問題中的等量關系;
設：用代數(shù)式表示實際問題中的基礎數(shù)據(jù);
列：找到所列代數(shù)式中的等量關系，以此為依據(jù)列出方程;
解：求解方程;
驗：考慮求出的解是否具有實際意義;
答：實際問題的答案.
一元二次方程的常見問題及數(shù)量關系：
1．（2024·江蘇南通·中考真題）紅星村種的水稻2021年平均每公頃產(chǎn)7200kg，2023年平均每公頃產(chǎn)8450kg．求水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率．設水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率為x．列方程為（ ）
A．72001+x2=8450B．72001+2x=8450
C．84501-x2=7200D．84501-2x=7200
2．（2024·四川眉山·中考真題）眉山市東坡區(qū)永豐村是“天府糧倉”示范區(qū)，該村的“智慧春耕”讓生產(chǎn)更高效，提升了水稻畝產(chǎn)量，水稻畝產(chǎn)量從2021年的670千克增長到了2023年的780千克，該村水稻畝產(chǎn)量年平均增長率為x，則可列方程為（ ）
A．670×1+2x=780B．670×1+x2=780
C．670×1+x2=780D．670×1+x=780
3．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）某市2021年底森林覆蓋率為64%，為貫徹落實“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，該市大力發(fā)展植樹造林活動，2023年底森林覆蓋率已達到69%．如果這兩年森林覆蓋率的年平均增長率為x，則符合題意得方程是（ ）
A．0.641+x=0.69B．0.641+x2=0.69
C．0.641+2x=0.69D．0.641+2x2=0.69
4．（2023·浙江衢州·中考真題）某人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有36人患了流感．設每一輪傳染中平均每人傳染了x人，則可得到方程（ ）
A．x+1+x=36B．21+x=36C．1+x+x1+x=36D．1+x+x2=36
5．（2023·浙江湖州·中考真題）某品牌新能源汽車2020年的銷售量為20萬輛，隨著消費人群的不斷增多，該品牌新能源汽車的銷售量逐年遞增，2022年的銷售量比2020年增加了31.2萬輛．如果設從2020年到2022年該品牌新能源汽車銷售量的平均年增長率為x，那么可列出方程是（ ）
A．201+2x=31.2B．201+2x-20=31.2
C．201+x2=31.2D．201+x2-20=31.2
6．（2021·山西·中考真題）2021年7日1日建黨100周年紀念日，在本月日歷表上可以用一個方框圈出4個數(shù)（如圖所示），若圈出的四個數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為65，求這個最小數(shù)（請用方程知識解答）．
7．（2022·遼寧丹東·中考真題）丹東是我國的邊境城市，擁有豐富的旅游資源．某景區(qū)研發(fā)一款紀念品，每件成本為30元，投放景區(qū)內(nèi)進行銷售，規(guī)定銷售單價不低于成本且不高于54元，銷售一段時間調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每天的銷售數(shù)量y（件）與銷售單價x（元/件）滿足一次函數(shù)關系，部分數(shù)據(jù)如下表所示：
(1)直接寫出y與x的函數(shù)關系式；
(2)若每天銷售所得利潤為1200元，那么銷售單價應定為多少元？
(3)當銷售單價為多少元時，每天獲利最大？最大利潤是多少元？
\l "_Tc184888347" 04題型精研·考向洞悉
命題點一 一元二次方程及其解法
?題型01 已知一元二次方程的解求未知數(shù)/代數(shù)式的值
1．（2024·四川涼山·中考真題）若關于x的一元二次方程a+2x2+x+a2-4=0的一個根是x=0，則a的值為（ ）
A．2B．-2C．2或-2D．12
2．（2024·山東煙臺·中考真題）若一元二次方程2x2-4x-1=0的兩根為m，n，則3m2-4m+n2的值為 ．
3．（2024·四川南充·中考真題）已知m是方程x2+4x-1=0的一個根，則(m+5)(m-1)的值為 ．
4．（2023·湖南婁底·中考真題）若m是方程x2-2x-1=0的根，則m2+1m2= ．
QUOTE QUOTE QUOTE ?題型02 選用合適的方法解一元二次方程

已知a，b，c分別為二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項.
1）當a=1，b為偶數(shù)，c≠0時，首選配方法；
2）當b=0時，首選直接開平方法；
3）當c=0時，可選因式分解法或配方法；
4）當a=1，b≠0，c≠0時，可選配方法或因式分解法；
5）當a≠1，b≠0，c≠0時，可選公式法或因式分解法.
1．（2024·安徽·中考真題）解方程：x2-2x=3
2．（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）解方程：(2x+3)2=(3x+2)2
3．（2024·貴州·模擬預測）計算
(1)33-32+π+30+27+3-2
(2)從下列方程中任選一個方程，并用適當?shù)姆椒ń夥匠?br>①x2-8x-1=0 ②x+32=1-2x2 ③2x+32-25=0
4．（2024·湖南衡陽·一模）（1）用配方法解方程：x2=2x-1；
（2）用適當?shù)姆椒ń夥匠蹋簒2x-1=4x-2．
?題型03 以注重過程性學習的形式考查解一元二次方程
1．（2021·浙江嘉興·中考真題）小敏與小霞兩位同學解方程3x-3=x-32的過程如下框：
你認為他們的解法是否正確？若正確請在框內(nèi)打“√”；若錯誤請在框內(nèi)打“×”，并寫出你的解答過程．
2．（2024·貴州黔東南·一模）下面是小明用配方法解一元二次方程2x2+4x-8=0的過程，請認真閱讀并完成相應的任務．
(1)小明同學的解答過程，從第________步開始出現(xiàn)錯誤；
(2)請你寫出正確的解答過程．
3．（2024·浙江舟山·一模）解一元二次方程x2-2x-3=0時，兩位同學的解法如下：
(1)判斷：兩位同學的解題過程是否正確，若正確，請在框內(nèi)打“√”；若錯誤，請在框內(nèi)打“×”．
(2)請選擇合適的方法求解此方程．
4.（2024·江西·一模）課堂上，劉老師展示了一位同學用配方法解x2-42x-4=0的過程，如下：
解：原方程可化為x2-42x=4，第一步
配方，得x2-2?x?22+(42)2=4+(42)2，第二步
即(x-42x)2=36，第三步
直接開平方，得x-42=±6，第四步
所以x1=42+6，x2=42-6．第五步
(1)這位同學的解題過程從第______步開始出現(xiàn)錯誤；
(2)請你正確求解該方程．
QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE ?題型04 配方法的應用
【利用配方法求代數(shù)式的最值】求多項式的最值時，要先把多項式配方成的形式.若a＞0，則代數(shù)式有最小值；若a＜0,則代數(shù)式有最大值.
1．（2022·山東德州·中考真題）已知 M=a2-a，N=a-2（a 為任意實數(shù)），則M-N的值（ ）
A．小于 0B．等于 0C．大于 0D．無法確定
2．（2023·江蘇連云港·中考真題）若W=5x2-4xy+y2-2y+8x+3（x、y為實數(shù)），則W的最小值為 ．
3．（2024·河北石家莊·一模）（1）發(fā)現(xiàn)，比較4m與 m2+4的大小， 填“>” “0時，y>0；當x

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